수학:크로네커_델타

정의

$$\delta_{nn'} = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \mbox{if~}n=n'\\ 0 & \mbox{otherwise}. \end{array} \right.$$

합으로의 표현

이산 형태의 푸리에 급수를 통해 보면 $$\sum_{j=1}^N \exp \left[ 2\pi i(n'-n) \frac{j}{N} \right] = N \delta_{nn'}.$$ 이 때에 $n=n'$에서 $N$이 되는 것은 자명하다. 또 $n \neq n'$이라면 위 합은 상쇄되어 0이 된다. 이는 등비급수의 합을 통해 바로 확인할 수 있다: $$\sum_{j=1}^N \exp \left[ 2\pi i(n'-n) \frac{j}{N} \right] = \frac{1-\exp \left[ 2\pi i(n'-n) \right]}{1-\exp \left[ \frac{2\pi i(n'-n)}{N} \right]} \exp \left[ \frac{2\pi i(n'-n)}{N} \right] = 0.$$

적분 표현

푸리에 급수에서 $$f(x) = \sum_{n=-\infty}^\infty c_n e^{inx}$$ $$c_n = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) e^{-inx} dx$$ 이므로 첫 번째 식을 두 번째 식에 대입하면 \begin{eqnarray} c_n &=& \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi \left( \sum_{m=-\infty}^\infty c_m e^{imx} \right) e^{-inx} dx\\ &=& \sum_{m=-\infty}^\infty c_m \left( \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi e^{i(m-n)x} dx \right)\\ &=& \sum_{m=-\infty}^\infty c_m \delta_{mn} \end{eqnarray} 이다. 식 (1)에서 허깨비 변수 $m$이 도입되었음에 유의한다. 즉 $$\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi e^{i(m-n)x} dx = \delta_{mn}$$ 인데, 이는 좌변의 적분을 수행함으로써 바로 확인 가능하다.

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