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--- 물리:수송계수 [2017/01/26 15:40] – [비가역과정의 거시적 이론] admin
+++ 물리:수송계수 [2025/03/13 22:52] (current) – [예: 열확산] admin
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 각 구획 안에서는 [[물리:평형]]이 이룩되어 있다고 했으므로 구획마다 [[물리:엔트로피]]  $S(a)$ 를 정의할 수 있고, 엔트로피는 크기 변수이므로 계 전체의 엔트로피는  $S_{\rm tot} = \sum_a S(a)$ 가 된다. 변수  $Q_i$ 의 켤레가 되는 세기 변수(intensive variable)  $\gamma_i$ 를 다음처럼 정의하자:
  $\gamma_i (a) \equiv \frac{\partial S_{\rm tot}}{\partial Q_i(a)} = \frac{\partial S(a)}{\partial Q_i(a)}.$
-혹은 좀더 작은 척도로 들어가서
+혹은 좀더 작은 척도로 들어가서 위치  $\mathbf{r}$ 과 시간  $t$ 를 지정한다면
  $\gamma_i (\mathbf{r},t) \equiv \frac{\partial S_{\rm tot}}{\partial \rho_i(\mathbf{r}, t)}$
 로 적는다. 예를 들어  $Q_i$ 가 입자 개수  $N$ 이라면 이에 해당하는 세기 변수는 [[물리:열역학 퍼텐셜|화학 퍼텐셜]]  $\mu$ 를 [[물리:온도]]  $T$ 로 나누고 부호를 뒤집은  $\gamma_N = -\mu/T$ 가 될 것이고,  $Q_i$ 가 [[물리:내부 에너지]]  $U$ 라면
  $\gamma_U = 1/T$ 가 될 것이다.
-인접한 구획 사이에는 이 세기 변수에서 차이가 있을 수 있다 (예컨대 [[물리:온도]] 차이). 그 차이를  $\Gamma_i(a,b) \equiv \gamma_i(b) - \gamma_i (a)$ 로 적고 친화성(affinity)라고 부른다. 좀더 국소적으로 기술하면,  $\beta$  방향으로 이동할 때 느껴지는 세기 변수의 변화를  $\Gamma_i^\beta(\mathbf{r}, t) = \partial \gamma_i / \partial r^{\beta}$ 로 적을 수도 있을 것이다.
+인접한 구획 사이에는 이 세기 변수에서 차이가 있을 수 있다 (예컨대 [[물리:온도]] 차이). 그 차이를  $\Gamma_i(a,b) \equiv \gamma_i(b) - \gamma_i (a)$ 로 적고 친화성(affinity)라고 부른다. 좀더 국소적으로 기술하면, 특정 위치  $\mathbf{r}$ 에서  $\beta$  방향으로 이동할 때 느껴지는 세기 변수의 변화를  $\Gamma_i^\beta(\mathbf{r}, t) = \partial \gamma_i / \partial r^{\beta}$ 로 적을 수도 있을 것이다.
 만일  $\Gamma_i$ 가 충분히 작다면, ([[수학:테일러 전개]]에 기반해서) 유량이 친화성에 비례할 것으로 예측할 수 있다. 즉 적절한 계수  $L_{ij}$ 가 존재해서
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 처럼 쓸 수 있다는 가정인데, 이 때  $L_{ij}(a,b)$ 를 두 구획 사이의 수송계수(transport coefficient)라고 부른다.
-국소적으로 기술했을 때에 이 수송계수는 일반적으로 [[수학:텐서]]여서  $L_{ij}^{\alpha \beta}$ 처럼 쓰여진다. 흐름을 성분별로 본다면
+특정 위치  $\mathbf{r}$ 을 기준으로 국소적으로 기술했을 때에 이 수송계수는 일반적으로 [[수학:텐서]]여서  $L_{ij}^{\alpha \beta}$ 처럼 쓰여진다.  $Q_i$ 의 흐름을 성분별로 본다면
  $j_i^\alpha = \sum_j L_{ij}^{\alpha \beta} \Gamma_j^\beta = \sum_j L_{ij}^{\alpha \beta} \frac{\partial \gamma_i}{\partial r^{\beta}}$
 이다.
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 픽(Fick)의 확산 법칙에 의하면 온도 기울기가 충분히 작을 때 열의 흐름은 그 기울기에 비례해서  $\mathbf{j}_U = -\kappa \nabla T$ 이고 이 때  $\kappa$ 는 열전도도(heat conductivity)이다. 위에서 이미  $\gamma_U= 1/T$ 라고 하였으므로
  $j_U^\alpha = \sum_\beta L_{UU}^{\alpha \beta} \frac{\partial(1/T)}{\partial r^\beta} = -\frac{1}{T^2} \sum_\beta L_{UU}^{\alpha \beta} \frac{\partial T}{\partial r^\beta}$
-이고 따라서 수송계수는 $L_{UU}^{\alpha \beta} = \kappa \T^2 \delta^{\alpha \beta} $이다. 이 때$ \delta^{\alpha \beta$는 [[수학:크로네커 델타]]를 의미한다.
+이고 따라서 수송계수는  $L_{UU}^{\alpha \beta} = \kappa T^2 \delta^{\alpha \beta}$ 이다. 이 때 $\delta^{\alpha \beta}$는 [[수학:크로네커 델타]]를 의미한다.
-======엔트로피 생성======
+======엔트로피 변화======
-계의 전체 [[물리:엔트로피]]는 모든 물리량이 어떻게 배열되어 있는지에 따라 결정되는 [[물리:상태함수]]일 것이다. 그러면 그 시간 변화는 모든 국소적인 위치마다 [[수학:편미분]] 공식을 사용해 변화량을 구한 후 전체 공간에 대해 적분함으로써 얻을 수 있다.
+계의 전체 [[물리:엔트로피]]는 모든 물리량이 어떻게 배열되어 있는지에 따라 결정되는 [[물리:상태함수]]일 것이다. 그러면 그 시간 변화는 모든 국소적인 위치마다 [[수학:편미분]] 공식을 사용해 변화량을 구한 후 전체 공간에 대해 적분함으로써 얻을 수 있다. 위에서 정의된 양들과 [[수학:부분적분]] 공식을 사용하면 아래처럼 된다:
-$$ \frac{dS_{\rm tot}}{dt} = \int d^3 r \sum_i \frac{\partial S_{\rm tot}}{\partial \rho_i (\mathbf{r}, t)} \frac{\partial \rho_i(\mathbf{r},t)}{\partial t}$$
+\begin{eqnarray*}
+\frac{dS_{\rm tot}}{dt} &=& \int d^3 r \sum_i \frac{\partial S_{\rm tot}}{\partial \rho_i (\mathbf{r}, t)} \frac{\partial \rho_i(\mathbf{r},t)}{\partial t}\\
+&=& -\sum_i \int d^3 r~ \gamma_i(\mathbf{r},t) \nabla \cdot \mathbf{j}_i (\mathbf{r}, t)\\
+&=& -\sum_i \int d^3 r \nabla \cdot \left[ \gamma_i(\mathbf{r},t) \mathbf{j}_i (\mathbf{r},t) \right]
++ \sum_i \int d^3 r~ \mathbf{j}_i(\mathbf{r},t) \cdot \nabla \gamma_i (\mathbf{r},t)\\
+&=& \sum_{ij} \sum_{\alpha \beta} L_{ij}^{\alpha \beta} \frac{\partial \gamma_i(\mathbf{r},t)}{\partial r^\alpha} \frac{\partial \gamma_j(\mathbf{r},t)}{\partial r^\beta}.
+\end{eqnarray*}
+[[물리:열역학 제2법칙]]에 의해 이 양은 0보다 크거나 같아야 한다.
+======함께 보기======
+[[물리:준정적과정]]
+[[물리:온사거 상환관계]]
 ======참고문헌======
   *[[https://www.apctp.org/plan.php/statws2016|The 13th KIAS-APCTP Winter School on Statistical Physics]]