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--- 물리:위그너_함수 [2021/02/18 11:48] – minjae
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-양자적 위상공간에서 확률 분포를 기술하기 위한 함수다.
+위그너 함수는 슈뢰딩거 방정식에서 나타나는 파동함수를, 양자 위상공간에서 확률 분포로 기술하기 위한 함수이다. 이 함수 분포는 음의 확률도 가질 수 있다는 특성이 있어
+'준확률분포(quasiprobability distribution)'라고도 한다.
+====== 바일 변환 ======
+위그너 함수를 기술하기 앞서, 바일(Weyl) 변환 (또는 바일 양자화)에서 시작한다. 바일은 고전역학의 함수에서 양자 연산자를 제공하는 변환을 찾고자 하였다.
+힐베르트 공간에서 기술되는 임의의 연산자를  $\hat{A}$  이라고 하자. 그리고 이를 따르는 함수를  $f$  라고 하자.  $x$ 와  $y$ 로 위치 표현(position representation)으로 기술하면,
-======바일 변환======
-어떤 연산자의 바일 변환(Weyl transform)은 아래와 같이 정의된다.
 \begin{equation}
-\tilde{A}(x,p) = \int dye^{-ipy/\hbar}\langle x+\frac{y}{2}|\hat{A}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y}{2}\rangle
+\langle x | \hat{A} | y \rangle = \int dp \frac{1}{2\pi\hbar} e^{ip(x-y)/\hbar} f\left( \frac{x+y}{2}\,, p \right)
 \end{equation}
-따라서 두 연산자  $\hat{A}$ ,  $\hat{B}$ 의 바일 변환은 아래와 같다.
+이것이 바일 변환, **바일 맵**이며 이를 역변환하면
+\begin{equation}
+f(x,p) = \int dye^{-ipy/\hbar}\langle x+\frac{y}{2}|\hat{A}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y}{2}\rangle
+\end{equation}
+연산자가 아닌 함수의 식을 기술하게 되어, 이 형태를 바일 역변환, **위그너 맵**이라고 한다.
+===== 두 연산자의 대각합 =====
+바일 변환에서 두 연산자의 대각합이 동일함을 보일 수 있다. 먼저 두 연산자  $\hat{A}$ ,  $\hat{B}$ 를 따르는 함수를 각각  $f\,, g$ 라고 하자.
+두 연산자에 대한 바일 역변환은 다음과 같다.
 \begin{align*}
-\tilde{A}(x,p) &= \int dye^{-ipy/\hbar}\langle x+\frac{y}{2}|\hat{A}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y}{2}\rangle, \\
+f(x,p) &= \int dye^{-ipy/\hbar}\langle x+\frac{y}{2}|\hat{A}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y}{2}\rangle, \\
-\tilde{B}(x,p) &= \int dy^{\prime}e^{-ipy^\prime/\hbar}\langle x+\frac{y^\prime}{2}|\hat{B}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y^\prime}{2}\rangle
+g(x,p) &= \int dy^{\prime}e^{-ipy^\prime/\hbar}\langle x+\frac{y^\prime}{2}|\hat{B}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y^\prime}{2}\rangle
 \end{align*}
 변환된 두 연산자를 곱하고 위치  $x$ 와 운동량  $p$ 의 모든 공간에 적분을 계산하면
-\begin{align*}
-\int\int dxdp\tilde{A}(x,p)\tilde{B}(x,p) &= \int\int\int\int dxdpdydy^{\prime}e^{-ip(y+y^{\prime})/\hbar}\langle x+\frac{y}{2}|\hat{A}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y}{2}\rangle\langle x+\frac{y^{\prime}}{2}|\hat{B}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y^{\prime}}{2}\rangle \\
-&=\int\int\int dxdydy^{\prime}\langle x+\frac{y}{2}|\hat{A}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y^\prime}{2}\rangle\langle x+\frac{y^{\prime}}{2}|\hat{B}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y^{\prime}}{2}\rangle \times 2\pi\hbar\delta(y+y^{\prime}) \\
+\begin{equation}
+\int\int dxdpf(x,p)g(x,p) = \int\int\int\int dxdpdydy^{\prime}e^{-ip(y+y^{\prime})/\hbar}\langle x+\frac{y}{2}|\hat{A}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y}{2}\rangle\langle x+\frac{y^{\prime}}{2}|\hat{B}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y^{\prime}}{2}\rangle
+\end{equation}
+[[:수학:디락 델타 함수]]
+\begin{equation}
+\delta(y) = \frac{1}{2\pi\hbar} \int dp e^{ipy/\hbar}
+\end{equation}
+에서  $y \rightarrow y+y^{\prime}$ 으로 바꾸어 적분을 계산하면,
+\begin{align*}
+\int\int dxdpf(x,p)g(x,p)
+&=\int\int\int dxdydy^{\prime}\langle x+\frac{y}{2}|\hat{A}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y}{2}\rangle\langle x+\frac{y^{\prime}}{2}|\hat{B}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y^{\prime}}{2}\rangle \times 2\pi\hbar\delta(y+y^{\prime}) \\
 &= 2\pi\hbar\int\int dxdy\langle x+\frac{y}{2}|\hat{A}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y}{2}\rangle\langle x-\frac{y}{2}|\hat{B}(\hat{x},\hat{p})|x+\frac{y}{2}\rangle
 \end{align*}
 이 된다. 이제  $u=x-\frac{y}{2}$ ,  $v=x+\frac{y}{2}$ 으로 치환하여 계산하면  $\hat{A}\hat{B}$ 의 대각합과 관련됨을 알 수 있다.
 \begin{align*}
-\int\int dxdp\tilde{A}(x,p)\tilde{B}(x,p) = 2\pi\hbar\int\int dudv\langle v|\hat{A}|u\rangle\langle u|\hat{B}|v\rangle = h\text{Tr}[\hat{A}\hat{B}].
+\int\int dxdpf(x,p)g(x,p) = 2\pi\hbar\int\int dudv\langle v|\hat{A}|u\rangle\langle u|\hat{B}|v\rangle = h\text{Tr}[\hat{A}\hat{B}].
 \end{align*}
-======밀도 행렬과의 관계======
+이 때,
-밀도 행렬  $\hat\rho$ 와 연산자  $\hat{A}$ 를 곱하여 대각합을 취하면  $\hat{A}$ 의 평균을 구할 수 있다.
+\begin{align*}
+{\rm Tr} [\hat{A}] = \int dv \langle v | \hat{A} | v \rangle \\
+\hat{I} = \int du | u \rangle \langle u |
+\end{align*}
+임을 참고한다.
+====== 밀도 행렬과의 관계 ======
+순수 상태의 밀도 행렬과 연산자를 곱하여 대각합을 취하면, 그 연산자에 대한 평균을 구할 수 있다. 순수 상태의 밀도행렬  $\hat\rho$ 는
+\begin{equation}
+\hat\rho = | \psi \rangle \langle \psi |
+\end{equation}
+이고, 연산자  $\hat{A}$ 의 곱을 한 대각합은
 \begin{align*}
 \text{Tr}[\hat\rho\hat{A}] &= \text{Tr}[|\psi\rangle\langle\psi|\hat{A}]\\
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 \end{align*}
-이 관계식을 위에서 보인 두 연산자 곱의 대각합 관계식과 연결지으면
+이 관계식을 위에서 보인 두 연산자 곱의 대각합 관계식과 연결지으면,
 \begin{align*}
-\langle A\rangle = \text{Tr}[\hat\rho\hat{A}] = \frac{1}{2\pi\hbar}\int\int dxdp\tilde\rho\tilde{A}
+\langle A\rangle = \text{Tr}[\hat\rho\hat{A}] = \frac{1}{2\pi\hbar}\int\int dxdp\tilde\rho f
 \end{align*}
-임을 알 수 있다. 따라서 위그너 함수
+임을 알 수 있다. 이 때 연산자  $\hat\rho\,, \hat{A}$ 를 따르는 함수를  $\tilde{\rho}\,, f$ 으로 두었다.
+====== 위그너 함수 ======
+이제 우리는 위그너 함수를 다음으로 정의한다.
 \begin{align*}
-W(x,p) = \frac{\tilde\rho}{2\pi\hbar}\int dye^{-ipy/\hbar}\psi\left(x+\frac{y}{2}\right)\psi^\ast\left(x-\frac{y}{2}\right)
+W(x,p) = \frac{\tilde{\rho}}{2\pi\hbar} = \frac{1}{h}\int dye^{-ipy/\hbar}\psi\left(x+\frac{y}{2}\right)\psi^\ast\left(x-\frac{y}{2}\right)
 \end{align*}
-를 정의하면 위상 공간에서 위치  $x$ , 운동량  $p$ 를 가지는 확률 밀도 함수가  $W(x,p)$ 임을 알 수 있다. 주의할 점의 이것이 확률 밀도함수에 준하는 것이다(quasi-probability distribution function). 위그너 함수의 값은 음수가 될 수 있다.
-그러므로 위상 공간에서  $x$ 와  $p$ 의 평균값을 아래와 같이 계산할 수 있다.
+따라서 앞절의 연산자 A에 대한 기댓값은
+\begin{align*}
+\langle A \rangle = \frac{1}{2\pi\hbar}\int\int dxdp W(x,p) f(x,p)
+\end{align*}
+으로 기술하게 된다. 나아가 위상 공간에서  $x$ 와  $p$ 의 평균값은 아래와 같이 계산할 수 있다.
 \begin{align*}
 \langle x\rangle &= \int\int dxdpW(x,p)x,\\
 \langle p\rangle &= \int\int dxdpW(x,p)p
 \end{align*}
+정리하면 위그너 함수는 위상 공간에서 위치  $x$ , 운동량  $p$ 를 가지는 확률 밀도함수를 기술한다. 다만 주의할 점은 위그너 함수는 확률 밀도함수에 준하므로(quasi-probability distribution function), 함수의 값이 음의 확률이 가능하단 것이다.
+======참고문헌======
+  -William B. Case, //Wigner functions and Weyl transforms for pedestrians//, American Journal of Physics 76, 937-946 (2008) https://doi.org/10.1119/1.2957889
+  -Jon Brogaard, //Wigner function formalism in Quantum mechanics // (Niels Bohr Institute, University of Copenhagen, 2015).