물리:위그너_함수

위그너 함수는 슈뢰딩거 방정식에서 나타나는 파동함수를, 양자 위상공간에서 확률 분포로 기술하기 위한 함수이다. 이 함수 분포는 음의 확률도 가질 수 있다는 특성이 있어 '준확률분포(quasiprobability distribution)'라고도 한다.

바일 변환

위그너 함수를 기술하기 앞서, 바일(Weyl) 변환 (또는 바일 양자화)에서 시작한다. 바일은 고전역학의 함수에서 양자 연산자를 제공하는 변환을 찾고자 하였다. 힐베르트 공간에서 기술되는 임의의 연산자를 $\hat{A}$ 이라고 하자. 그리고 이를 따르는 함수를 $f$ 라고 하자. $x$와 $y$로 위치 표현(position representation)으로 기술하면,

\begin{equation} \langle x | \hat{A} | y \rangle = \int dp \frac{1}{2\pi\hbar} e^{ip(x-y)/\hbar} f\left( \frac{x+y}{2}\,, p \right) \end{equation}

이것이 바일 변환, 바일 맵이며 이를 역변환하면

\begin{equation} f(x,p) = \int dye^{-ipy/\hbar}\langle x+\frac{y}{2}|\hat{A}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y}{2}\rangle \end{equation}

연산자가 아닌 함수의 식을 기술하게 되어, 이 형태를 바일 역변환, 위그너 맵이라고 한다.

바일 변환에서 두 연산자의 대각합이 동일함을 보일 수 있다. 먼저 두 연산자 $\hat{A}$, $\hat{B}$를 따르는 함수를 각각 $f\,, g$라고 하자. 두 연산자에 대한 바일 역변환은 다음과 같다.

\begin{align*} f(x,p) &= \int dye^{-ipy/\hbar}\langle x+\frac{y}{2}|\hat{A}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y}{2}\rangle, \\ g(x,p) &= \int dy^{\prime}e^{-ipy^\prime/\hbar}\langle x+\frac{y^\prime}{2}|\hat{B}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y^\prime}{2}\rangle \end{align*}

변환된 두 연산자를 곱하고 위치 $x$와 운동량 $p$의 모든 공간에 적분을 계산하면

\begin{equation} \int\int dxdpf(x,p)g(x,p) = \int\int\int\int dxdpdydy^{\prime}e^{-ip(y+y^{\prime})/\hbar}\langle x+\frac{y}{2}|\hat{A}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y}{2}\rangle\langle x+\frac{y^{\prime}}{2}|\hat{B}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y^{\prime}}{2}\rangle \end{equation}

디락 델타 함수

\begin{equation} \delta(y) = \frac{1}{2\pi\hbar} \int dp e^{ipy/\hbar} \end{equation}

에서 $y \rightarrow y+y^{\prime}$으로 바꾸어 적분을 계산하면,

\begin{align*} \int\int dxdpf(x,p)g(x,p) &=\int\int\int dxdydy^{\prime}\langle x+\frac{y}{2}|\hat{A}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y}{2}\rangle\langle x+\frac{y^{\prime}}{2}|\hat{B}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y^{\prime}}{2}\rangle \times 2\pi\hbar\delta(y+y^{\prime}) \\ &= 2\pi\hbar\int\int dxdy\langle x+\frac{y}{2}|\hat{A}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y}{2}\rangle\langle x-\frac{y}{2}|\hat{B}(\hat{x},\hat{p})|x+\frac{y}{2}\rangle \end{align*}

이 된다. 이제 $u=x-\frac{y}{2}$, $v=x+\frac{y}{2}$으로 치환하여 계산하면 $\hat{A}\hat{B}$의 대각합과 관련됨을 알 수 있다.

\begin{align*} \int\int dxdpf(x,p)g(x,p) = 2\pi\hbar\int\int dudv\langle v|\hat{A}|u\rangle\langle u|\hat{B}|v\rangle = h\text{Tr}[\hat{A}\hat{B}]. \end{align*}

이 때,

\begin{align*} {\rm Tr} [\hat{A}] = \int dv \langle v | \hat{A} | v \rangle \\ \hat{I} = \int du | u \rangle \langle u | \end{align*}

임을 참고한다.

밀도 행렬과의 관계

순수 상태의 밀도 행렬과 연산자를 곱하여 대각합을 취하면, 그 연산자에 대한 평균을 구할 수 있다. 순수 상태의 밀도행렬 $\hat\rho$는

\begin{equation} \hat\rho = | \psi \rangle \langle \psi | \end{equation}

이고, 연산자 $\hat{A}$의 곱을 한 대각합은

\begin{align*} \text{Tr}[\hat\rho\hat{A}] &= \text{Tr}[|\psi\rangle\langle\psi|\hat{A}]\\ &=\sum_n\langle n|\psi\rangle\langle\psi|\hat{A}|n\rangle \\ &=\sum_n \langle\psi|\hat{A}|n\rangle\langle n|\psi\rangle \\ &=\langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle \\ &=\langle A\rangle \end{align*}

이 관계식을 위에서 보인 두 연산자 곱의 대각합 관계식과 연결지으면,

\begin{align*} \langle A\rangle = \text{Tr}[\hat\rho\hat{A}] = \frac{1}{2\pi\hbar}\int\int dxdp\tilde\rho f \end{align*}

임을 알 수 있다. 이 때 연산자 $\hat\rho\,, \hat{A}$를 따르는 함수를 $\tilde{\rho}\,, f$으로 두었다.

위그너 함수

이제 우리는 위그너 함수를 다음으로 정의한다.

\begin{align*} W(x,p) = \frac{\tilde{\rho}}{2\pi\hbar} = \frac{1}{h}\int dye^{-ipy/\hbar}\psi\left(x+\frac{y}{2}\right)\psi^\ast\left(x-\frac{y}{2}\right) \end{align*}

따라서 앞절의 연산자 A에 대한 기댓값은

\begin{align*} \langle A \rangle = \frac{1}{2\pi\hbar}\int\int dxdp W(x,p) f(x,p) \end{align*}

으로 기술하게 된다. 나아가 위상 공간에서 $x$와 $p$의 평균값은 아래와 같이 계산할 수 있다.

\begin{align*} \langle x\rangle &= \int\int dxdpW(x,p)x,\\ \langle p\rangle &= \int\int dxdpW(x,p)p \end{align*}

정리하면 위그너 함수는 위상 공간에서 위치 $x$, 운동량 $p$를 가지는 확률 밀도함수를 기술한다. 다만 주의할 점은 위그너 함수는 확률 밀도함수에 준하므로(quasi-probability distribution function), 함수의 값이 음의 확률이 가능하단 것이다.

참고문헌

  1. William B. Case, Wigner functions and Weyl transforms for pedestrians, American Journal of Physics 76, 937-946 (2008) https://doi.org/10.1119/1.2957889
  2. Jon Brogaard, Wigner function formalism in Quantum mechanics (Niels Bohr Institute, University of Copenhagen, 2015).
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  • by yong