물리:전자기장과_해밀토니안

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 ====== 개요 ====== ====== 개요 ======
 점전하 q가 전자기장 $\mathbf{E} \,, \mathbf{B}$ 하에서 속도 $\mathbf{v}$ 로 움직여서 전자기력을 받는 상황에서 점전하 q가 전자기장 $\mathbf{E} \,, \mathbf{B}$ 하에서 속도 $\mathbf{v}$ 로 움직여서 전자기력을 받는 상황에서
-해밀토니안을 구하는 과정이다. 먼저 지금의 상황에 대해 로런츠 힘은+[[물리:해밀토니안]]을 구하는 과정이다. 먼저 지금의 상황에 대해 로런츠 힘은
  
 \begin{align} \begin{align}
Line 7: Line 7:
 \end{align} \end{align}
  
-으로 쓰였다. 여기서 전기장과 자기장은 각각 스칼라 퍼텐셜 $\phi$ 와 벡터 퍼텐셜 $\mathbf{A}$ 의 표현으로 바꾸어 보자. +으로 쓰였다. 여기서 전기장과 자기장을 각각 스칼라 퍼텐셜 $\phi$ 와 벡터 퍼텐셜 $\mathbf{A}$ 의 표현으로 바꾸어 보자. 
 전자기장과 각 퍼텐셜과의 관계는 전자기장과 각 퍼텐셜과의 관계는
  
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 \end{align} \end{align}
  
-이다. 먼저 삼중곱 형태로 된 항을 벡터 항등식을 이용해서 형태를 바꾸도록 하자. +이다. 이제 이 표현식에서 삼중곱 형태로 된 항을 벡터 항등식을 이용해서 형태를 바꾸도록 하자. 벡터 삼중곱은 아래와 같은 식으로 형태를 바꿀 수 있다.
  
 \begin{align} \begin{align}
Line 32: Line 32:
 \end{align} \end{align}
  
-으로 바뀐다. 이 때 뒤의 항은 **흐름 도함수 (convective derivative)** 로, 예를들어 입자가 특정위치 $\mathbf{r}$ 에서 $\mathbf{v}$ +===== 흐름 도함수 ===== 
-이라는 속도로 움직여서 dt만큼 시간이 지났을 때, $\mathbf{A}$ 의 변화는+여기서 뒤의 항은 **흐름 도함수 (convective derivative)** 로, 예를들어 입자가 특정위치 $\mathbf{r}$ 에서 $\mathbf{v}$ 
 +이라는 속도로 움직여서 dt만큼 시간이 지났을 때, $\mathbf{A}$ 의 변화를 보는 도함수이다. 정의는 다음과 같다.
  
 \begin{align} \begin{align}
Line 47: Line 48:
 \end{align} \end{align}
  
-따라서 최종적인 로런츠 힘의 형태는+앞에서 나왔던 흐름 도함수의 형태인 것을 확인할 수 있다. 따라서 $d\mathbf{A}/dt$ 으로 식을 대체하면
  
 \begin{align} \begin{align}
Line 53: Line 54:
 \end{align} \end{align}
  
 +===== 정준 운동량과 속도 의존 퍼텐셜 =====
 한편 좌변의 $\mathbf{F}$ 가 $d\mathbf{p}/dt$ 이므로 식을 옮기면 한편 좌변의 $\mathbf{F}$ 가 $d\mathbf{p}/dt$ 이므로 식을 옮기면
  
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 \end{align} \end{align}
  
-각각 canonical momentum, velocity dependent quantity 이라고 한다. 이제 이를 이용하여 라그랑지언을 구해보자.+각각 **정준 운동량 (canonical momentum), 속도-의존량 (또는 퍼텐셜) (velocity-dependent quantity (or potential)** 이라고 한다. 이제 이를 이용하여 [[물리:라그랑지언]]을 구해보자.
  
 \begin{align} \begin{align}
-    \mathcal{L} = T - U_{vel} = \frac{1}{2}m\dot{\mathbf{r}}\dot{\mathbf{r}} - q \left( {\phi} - \dot{\mathbf{r}} \cdot \mathbf{A} \right)+    \mathcal{L}(\mathbf{r}, \dot{\mathbf{r}}) = T - U_{vel} = \frac{1}{2}m\dot{\mathbf{r}}\dot{\mathbf{r}} - q \left( {\phi} - \dot{\mathbf{r}} \cdot \mathbf{A} \right)
 \end{align} \end{align}
  
-만약 오일러-라그랑주 역학의 canonical momentum 을 구하는 관계식을 적용한다면,+만약 오일러-라그랑주 역학의 정준 운동량을 구하는 관계식을 사용한다면,
  
 \begin{align} \begin{align}
Line 77: Line 79:
 \end{align} \end{align}
  
-으로 동일하게 나오는 것을 확인할 수 있다. 이제 라그랑지언을 알고 있으므로 해밀토니안을 구해보자. 르장드르 변환을 이용하면 +으로 정준 운동량이 동일하게 나오는 것을 확인할 수 있다. 한편 앞에서 라그랑지언을 구했기 때문에 해밀토니안을 얻을 수 있다.  
-간단히 해밀토니안을 유도할 수 있다.+간단히 르장드르 변환을 이용함으로 해밀토니안을 유도할 수 있다.
  
 \begin{align} \begin{align}
-    \mathcal{H} = \sum_i \mathbf{p}_i \dot{\mathbf{r}}_i - \mathcal{L}+    \mathcal{H}(\mathbf{p}, \mathbf{q}) = \mathbf{p} \dot{\mathbf{r}} - \mathcal{L}(\mathbf{r}, \dot{\mathbf{r}})
 \end{align} \end{align}
  
-여기서 $\mathbf{p} \,, \dot{\mathbf{r}}$ 는 canonical momentum 식을 이용하여+여기서 $\mathbf{p} \,, \dot{\mathbf{r}}$ 는 정준 운동량식을 이용하여
  
 \begin{align} \begin{align}
Line 93: Line 95:
  
 \begin{align} \begin{align}
-    \mathcal{H} &= \mathbf{p}_i \dot{\mathbf{r}}_i - \frac{1}{2}m\dot{\mathbf{r}}\dot{\mathbf{r}} + q \left( {\phi} - \dot{\mathbf{r}} \cdot \mathbf{A} \right) \\+    \mathcal{H}(\mathbf{p}, \mathbf{q}) &= \mathbf{p}_i \dot{\mathbf{r}}_i - \frac{1}{2}m\dot{\mathbf{r}}\dot{\mathbf{r}} + q \left( {\phi} - \dot{\mathbf{r}} \cdot \mathbf{A} \right) \\
     &= \left( \mathbf{P}_{can} - q\mathbf{A} \right) \left( \frac{\mathbf{P}_{can} - q\mathbf{A}}{m} \right)     &= \left( \mathbf{P}_{can} - q\mathbf{A} \right) \left( \frac{\mathbf{P}_{can} - q\mathbf{A}}{m} \right)
     - \left[ \frac{m}{2} \left( \frac{\mathbf{P}_{can} - q\mathbf{A}}{m} \right)      - \left[ \frac{m}{2} \left( \frac{\mathbf{P}_{can} - q\mathbf{A}}{m} \right) 
Line 109: Line 111:
 여기서 $q\mathbf{A}$ (SI unit) $\rightarrow e\mathbf{A}/c$ (cgs unit), $\phi = -zq^2/r$ (cgs, SI unit 으로는  여기서 $q\mathbf{A}$ (SI unit) $\rightarrow e\mathbf{A}/c$ (cgs unit), $\phi = -zq^2/r$ (cgs, SI unit 으로는 
 $\phi = -ze^2/4\pi\epsilon_0 r$) 이다. 또한 여기서 z는 양성자 수이다. $\phi = -ze^2/4\pi\epsilon_0 r$) 이다. 또한 여기서 z는 양성자 수이다.
 +
 +===== 시간 의존 슈뢰딩거 방정식 =====
 +전자기장에 대한 에너지 표현식을 양자역학이나 응집물리학에서 종종 사용된다. 예를들어 시간에 의존하는 슈뢰딩거 방정식
 +
 +\begin{align}
 +    i\hbar \frac{\partial{\Psi}}{\partial t} = \mathcal{H}\Psi
 +\end{align}
 +
 +에서 $\mathcal{H}$를 앞에서 계산한 해밀토니안을 대입한다. 이 때 $\mathbf{P}_{can}$ 은 양자역학에서
 +momentum operator $-i\hbar\nabla$ 그대로 작용하여
 +\begin{align}
 +    i\hbar \frac{\partial{\Psi}}{\partial t} = 
 +    \left[ \frac{1}{2m} \left( -i\hbar\nabla - q\mathbf{A} \right)^2 + q\phi \right] \Psi
 +\end{align}
 +
 +====== 참고문헌 ======
 +  * Herbert Goldstein, //Classical Mechanics//, 2nd ed., 8-1 legendre transformations, 1-5 velecity-dependent potentials
 +  * David J. Griffiths, //Classical Electrodynamics//, 4th ed., 10.1.4 Lorentz Force Law in Potential Form
 +  * Wikipedia, [[https://en.wikipedia.org/wiki/Hamiltonian_mechanics#Hamiltonian_of_a_charged_particle_in_an_electromagnetic_field]], [[https://en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_force#Lorentz_force_in_terms_of_potentials]]
 +
  • 물리/전자기장과_해밀토니안.1618196755.txt.gz
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