점전하 q가 전자기장 $\mathbf{E} \,, \mathbf{B}$ 하에서 속도 $\mathbf{v}$ 로 움직여서 전자기력을 받는 상황에서 해밀토니안을 구하는 과정이다. 먼저 지금의 상황에 대해 로런츠 힘은

\begin{align} \mathbf{F} = q \left( \mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B} \right) \end{align}

으로 쓰였다. 여기서 전기장과 자기장을 각각 스칼라 퍼텐셜 $\phi$ 와 벡터 퍼텐셜 $\mathbf{A}$ 의 표현으로 바꾸어 보자. 전자기장과 각 퍼텐셜과의 관계는

\begin{align} \mathbf{E} = - \nabla{\phi} -\frac{\partial{\mathbf{A}}}{\partial t} \qquad \mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A} \end{align}

이므로 퍼텐셜 형태로 나타낸 로런츠 힘은

\begin{align} \mathbf{F} = q \left( - \nabla{\phi} -\frac{\partial{\mathbf{A}}}{\partial t} + \mathbf{v} \times \nabla \times \mathbf{A} \right) \end{align}

이다. 이제 이 표현식에서 삼중곱 형태로 된 항을 벡터 항등식을 이용해서 형태를 바꾸도록 하자. 벡터 삼중곱은 아래와 같은 식으로 형태를 바꿀 수 있다.

\begin{align} \mathbf{v} \times \nabla \times \mathbf{A} = \nabla (\mathbf{v} \cdot \mathbf{A}) - (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{A} \end{align}

이를 다시 로런츠 힘 식에 대입하면,

\begin{align} \mathbf{F} = q \left( - \nabla({\phi} - \mathbf{v} \cdot \mathbf{A}) -\frac{\partial{\mathbf{A}}}{\partial t} - (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{A} \right) \end{align}

여기서 뒤의 항은 흐름 도함수 (convective derivative) 로, 예를들어 입자가 특정위치 $\mathbf{r}$ 에서 $\mathbf{v}$ 이라는 속도로 움직여서 dt만큼 시간이 지났을 때, $\mathbf{A}$ 의 변화를 보는 도함수이다. 정의는 다음과 같다.

\begin{align} d\mathbf{A} &= \mathbf{A}(\mathbf{r} + \mathbf{v} dt, t + dt) - \mathbf{A}(\mathbf{r},t) \\ &= \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}dt + \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x}dx + \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial y}dy + \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial z}dz \end{align}

이를 dt로 나누어 주게 되면

\begin{align} \frac{d\mathbf{A}}{dt} = \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{A} \end{align}

앞에서 나왔던 흐름 도함수의 형태인 것을 확인할 수 있다. 따라서 $d\mathbf{A}/dt$ 으로 식을 대체하면

\begin{align} \mathbf{F} = q \left( - \nabla({\phi} - \mathbf{v} \cdot \mathbf{A}) - \frac{d\mathbf{A}}{dt} \right) \end{align}

한편 좌변의 $\mathbf{F}$ 가 $d\mathbf{p}/dt$ 이므로 식을 옮기면

\begin{align} \frac{d}{dt}\left( \mathbf{p} + q\mathbf{A} \right) = -q\nabla({\phi} - \mathbf{v} \cdot \mathbf{A}) \end{align}

작용하는 힘이 보존력일 때 퍼텐셜과의 관계 $\mathbf{F} = -\nabla U$ 의 형태를 맞추어 볼 때,

\begin{align} \mathbf{P}_{can} = \mathbf{p} + q\mathbf{A} \qquad U_{vel} = q \left( {\phi} - \mathbf{v} \cdot \mathbf{A} \right) \end{align}

각각 정준 운동량 (canonical momentum), 속도-의존량 (또는 퍼텐셜) (velocity-dependent quantity (or potential) 이라고 한다. 이제 이를 이용하여 라그랑지언을 구해보자.

\begin{align} \mathcal{L}(\mathbf{r}, \dot{\mathbf{r}}) = T - U_{vel} = \frac{1}{2}m\dot{\mathbf{r}}\dot{\mathbf{r}} - q \left( {\phi} - \dot{\mathbf{r}} \cdot \mathbf{A} \right) \end{align}

만약 오일러-라그랑주 역학의 정준 운동량을 구하는 관계식을 사용한다면,

\begin{align} \mathbf{P}_{can} = \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{r}}} = m\dot{\mathbf{r}} + q\mathbf{A} \end{align}

으로 정준 운동량이 동일하게 나오는 것을 확인할 수 있다. 한편 앞에서 라그랑지언을 구했기 때문에 해밀토니안을 얻을 수 있다. 간단히 르장드르 변환을 이용함으로 해밀토니안을 유도할 수 있다.

\begin{align} \mathcal{H}(\mathbf{p}, \mathbf{q}) = \mathbf{p} \dot{\mathbf{r}} - \mathcal{L}(\mathbf{r}, \dot{\mathbf{r}}) \end{align}

여기서 $\mathbf{p} \,, \dot{\mathbf{r}}$ 는 정준 운동량식을 이용하여

\begin{align} \mathbf{p} = \mathbf{P}_{can} - q\mathbf{A} \qquad \dot{\mathbf{r}} = \frac{\mathbf{P}_{can} - q\mathbf{A}}{m} \end{align}

따라서 해밀토니안은

\begin{align} \mathcal{H}(\mathbf{p}, \mathbf{q}) &= \mathbf{p}_i \dot{\mathbf{r}}_i - \frac{1}{2}m\dot{\mathbf{r}}\dot{\mathbf{r}} + q \left( {\phi} - \dot{\mathbf{r}} \cdot \mathbf{A} \right) \\ &= \left( \mathbf{P}_{can} - q\mathbf{A} \right) \left( \frac{\mathbf{P}_{can} - q\mathbf{A}}{m} \right) - \left[ \frac{m}{2} \left( \frac{\mathbf{P}_{can} - q\mathbf{A}}{m} \right) \left( \frac{\mathbf{P}_{can} - q\mathbf{A}}{m} \right) + q \left( {\phi} - \frac{\mathbf{P}_{can} - q\mathbf{A}}{m} \cdot \mathbf{A} \right) \right] \\ &= \frac{1}{2m} \left( \mathbf{P}_{can} - q\mathbf{A} \right)^2 + q\phi \end{align}

으로 얻어진다. 만약에 cgs 단위계를 선택하는 경우, 식은

\begin{align} \mathcal{H} = \frac{1}{2m} \left( \mathbf{P}_{can} - \frac{e}{c}\mathbf{A} \right)^2 - \frac{ze^2}{r} \end{align}

여기서 $q\mathbf{A}$ (SI unit) $\rightarrow e\mathbf{A}/c$ (cgs unit), $\phi = -zq^2/r$ (cgs, SI unit 으로는 $\phi = -ze^2/4\pi\epsilon_0 r$) 이다. 또한 여기서 z는 양성자 수이다.

전자기장에 대한 에너지 표현식을 양자역학이나 응집물리학에서 종종 사용된다. 예를들어 시간에 의존하는 슈뢰딩거 방정식

\begin{align} i\hbar \frac{\partial{\Psi}}{\partial t} = \mathcal{H}\Psi \end{align}

에서 $\mathcal{H}$를 앞에서 계산한 해밀토니안을 대입한다. 이 때 $\mathbf{P}_{can}$ 은 양자역학에서 momentum operator $-i\hbar\nabla$ 그대로 작용하여 \begin{align} i\hbar \frac{\partial{\Psi}}{\partial t} = \left[ \frac{1}{2m} \left( -i\hbar\nabla - q\mathbf{A} \right)^2 + q\phi \right] \Psi \end{align}

• Herbert Goldstein, Classical Mechanics, 2nd ed., 8-1 legendre transformations, 1-5 velecity-dependent potentials
• David J. Griffiths, Classical Electrodynamics, 4th ed., 10.1.4 Lorentz Force Law in Potential Form
• Wikipedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Hamiltonian_mechanics#Hamiltonian_of_a_charged_particle_in_an_electromagnetic_field, https://en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_force#Lorentz_force_in_terms_of_potentials