Differences
This shows you the differences between two versions of the page.
Next revision | Previous revision | ||
물리:조화_고체 [2016/05/18 18:03] – 새로 만듦 admin | 물리:조화_고체 [2023/09/05 15:46] (current) – external edit 127.0.0.1 | ||
---|---|---|---|
Line 1: | Line 1: | ||
======개요====== | ======개요====== | ||
- | 고체 내 격자의 움직임을 이해하기 위해 원자들을 용수철로 연결된 질점으로 간주해서 풀고자 한다. | + | 고체 내 격자의 움직임을 이해하기 위해 원자들을 용수철로 연결된 |
- | 격자 상수, 즉 평형 상태에서 원자들 사이의 간격을 $a$라고 보고 $j$번째 원자의 원래 위치를 $R_j = ja$라고 놓자. 원자의 전체 수는 $N$개여서 $j=1, | + | ======변위와 속도====== |
+ | 격자 상수, 즉 평형 상태에서 원자들 사이의 간격을 $a$라고 보고 $j$번째 원자의 원래 위치를 $R_j = ja$라고 놓자. 원자의 전체 수는 $N$개여서 $j=1, | ||
+ | [[: | ||
+ | $$\begin{array}{ll} | ||
+ | \hat{x}_k = N^{-1/2} \sum_j x_j e^{-ikR_j}, & \dot{\hat{x}}_k = N^{-1/2} \sum_j \dot{x}_j e^{-ikR_j}\\ | ||
+ | x_j = N^{-1/2} \sum_k \hat{x}_k e^{ikR_j}, & \dot{x}_j = N^{-1/2} \sum_k \dot{\hat{x}}_k e^{ikR_j}. | ||
+ | \end{array}$$ | ||
+ | 이 때 $k = 2\pi/ | ||
+ | |||
+ | 이후의 계산에서 다음의 두 가지 성질에 유의할 것. | ||
+ | *$x_j$가 실수이므로 푸리에 계수에 복소켤레를 취했을 때 $\hat{x}_k^\ast = \hat{x}_{-k}$이다. | ||
+ | *$\sum_j \exp[i(k' | ||
+ | 더 자세한 설명은 [[: | ||
+ | |||
+ | ======에너지====== | ||
+ | =====운동 에너지===== | ||
+ | |||
+ | \begin{eqnarray} | ||
+ | \frac{1}{2} m \sum_j \dot{x}_j^2 &=& \frac{1}{2}m \sum_j \dot{x}_j \dot{x}_j\\ | ||
+ | &=& \frac{1}{2} m \sum_j \left( N^{-1/2} \sum_k \dot{\hat{x}}_k e^{ikR_j} \right)\left( N^{-1/2} \sum_{k' | ||
+ | &=& \frac{1}{2} m N^{-1} \sum_{kk' | ||
+ | &=& \frac{1}{2} m N^{-1} \sum_{kk' | ||
+ | &=& \frac{1}{2} m \sum_k \dot{\hat{x}}_k \dot{\hat{x}}_{-k}\\ | ||
+ | &=& \frac{1}{2} m \sum_k \left| \dot{\hat{x}}_k \right|^2. | ||
+ | \end{eqnarray} | ||
+ | |||
+ | 식 (2)를 적을 때에 허깨비 변수끼리 같을 이유가 없으므로 $k$, $k' | ||
+ | |||
+ | 식 (3)으로부터 (4)로 넘어올 때에 위에서 언급한 [[: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | =====위치 에너지===== | ||
+ | |||
+ | \begin{eqnarray} | ||
+ | \frac{1}{2}K \sum_j \left( x_j - x_{j+1} \right)^2 &=& \frac{1}{2}K \sum_j \left( x_j - x_{j+1} \right) \left( x_j - x_{j+1} \right)\\ | ||
+ | & | ||
+ | & | ||
+ | &=& \frac{1}{2}K N^{-1} \sum_{kk' | ||
+ | &=& \frac{1}{2}K \sum_k \hat{x}_k \hat{x}_{-k} \left( 1-e^{ika} \right) \left( 1-e^{-ika} \right)\\ | ||
+ | &=& \frac{1}{2} \sum_k \hat{K}(k) \left| \hat{x}_k \right|^2. | ||
+ | \end{eqnarray} | ||
+ | 이 때에 $\hat{K}(k) = K\left( 1-e^{ika} \right) \left( 1-e^{-ika} \right) = 4K \sin^2 \frac{ka}{2}$로서, | ||
+ | |||
+ | =====전체 에너지===== | ||
+ | 따라서 전체 에너지는 | ||
+ | $$E = \sum_k \left[ \frac{1}{2} m \left| \dot{\hat{x}}_k \right|^2 + \frac{1}{2} \hat{K}(k) \left| \hat{x}_k \right|^2 \right]$$ | ||
+ | 로서 독립적인 [[: | ||
+ | |||
+ | ======같이 보기====== | ||
+ | [[: | ||
======참고문헌====== | ======참고문헌====== | ||
- | *Robert H. Swendsen, An Introduction to Statistical Mechanics and Thermodynamics (Oxford Univ. Press, Oxford, 2012). | + | *Robert H. Swendsen, |