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--- 물리:1차원_글라우버_동역학 [2022/12/07 09:09] – minwoo
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 === $(1)$ 시간 $t$ 이전에 한번이라도 만난 경우 ===
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 병합하는 무작위 행보 모형에서는, 걸어가는 이들이 서로 한번이라도 만나게 된다면 하나로 합쳐짐으로써 동일한 경로를 따라서 걷게 된다.
 이러한 상황을 고려할 경우에는 다음의 '생존 확률(surviving probability)'을 정의하는 것이 편리하다.
 $$ C_t(i,j)\  \text{: 각각 $i$와 $j$에서 출발한 두 명의 무작위 보행자가 시간 $t$가 될 때 까지 절대 만나지 않을 확률}$$
-생존 확률의 정의에 따라, '시간 $t$ 이전에 한번이라도 만난 경우'의 확률은 $1-C_t(i,j)$와 같다.
+생존 확률 $C_t(i,j)$의 정의에 따라, '시간 $t$ 이전에 한번이라도 만난 경우'의 확률은 $1-C_t(i,j)$와 같다.
 이때, 시간 $t$ 이전에 한번이라도 만난다면 병합되어 시간 $t$에서는 그 둘의 상태가 같으므로 ('이중성'에 의해) $s_i(t)=s_j(t)$임이 보장된다.
-따라서, $(1)$의 경우에서 $s_i(t)=s_2(t)$일 확률의 값은 $1-C_t(i,j) × 1 = 1-C_t(i,j)$의 값과 같다.
+따라서, $(1)$의 경우에서 $s_i(t)=s_j(t)$일 확률의 값은 $(1-C_t(i,j) × 1) = 1-C_t(i,j)$의 값과 같다.
+----
 $$ $$
 === $(2)$ 시간 $t$ 이전에는 단 한번도 만난 적이 없는 경우 ===
+시간 $t$ 이전에 단 한번도 만나지 않을 확률은 $C_t(i,j)$와 같다. 다만 '시간 $t$의 시점'에서는 만나거나 만나지 않을 수 있으므로, 초기의 무작위한(random) 조건을 고려하면 '시간 $t$에서 $s_i(t)=s_j(t)$일 확률은 $1/2$와 같다.
+따라서, $(2)$의 경우에서 $s_i(t)=s_j(t)$일 확률의 값은 $(C_t(i,j) × 1/2) = \frac{1}{2} C_t(i,j)$의 값과 같다.
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+$$ $$
+$(1)$과 $(2)$의 경우는 서로 '배반사건'이며, 그 둘로 가능한 경우를 빠짐 없이 포함하므로
+각각의 경우에서 구한 확률을 합하면 전체적인 확률을 얻어 $\Phi_t(i,j)$를 다음과 같이 구할 수 있다.
+$$\Phi_t(i,j) = \frac{1}{2} C_t(i,j) + (1-C_t(i,j)) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}(1-C_t(i,j)).$$
+위의 식에 포함된 $C_t(i,j)$는 $\mu$의 비율 만큼 뛰는(hop) [[물리:1차원_무작위_행보|1차원_무작위_행보]] 모형에서 설명한 함수를 통해 다음과 같이 표현될 수 있다.
+$$ C_t(i,j)= \int ^{\infty} _t dt' F_{t'} (i | j). $$
+위와 같은 적분으로 표현할 수 있는 이유는, $F_{t} (y | x) dt$는 1차원 무작위 행보 모형에서 걸어가는 이가 $x$에서 출발하여 $y$에 '처음 도달할' 확률이기 때문이다.
+즉, $F_{t'}(i | j) dt'$는 $j$에서 출발해서 $i$에 처음 도달할 확률이며, 그의 $dt'$에 대하여 $t$부터 $\infty$까지의 적분은
+시간 $t$ 이후의 시간에 '처음 도달하는' 모든 경우의 확률들을 전부 고려해준다는 의미를 갖고, 이러한 의미는 위에서 설명한 생존 확률의 정의와 일치한다.
+$$ $$
+또한 우리가 [[물리:1차원_무작위_행보|1차원_무작위_행보]]에서 라플라스 변환을 사용하여 얻은 $F_t(y|x)=\frac{|y-x|}{t}e^{-t}I_{y-x}(t)$의 식을 가져오면
+뛰는 비율(hopping rate)의 값을 $1$이 아닌 $\mu$라 두고, $l=|j-i|$를 함께 대입하여 생존 확률을 다음과 같은 식으로 표현할 수 있다.
+$$C_t(i,j)= \int ^{\infty} _t dt' \frac{l}{t'}e^{-2\mu t'}I_{l}(2\mu t').$$
+해당 모형에서는 걸어가는 각각의 이들이 $\mu$의 비율만큼 뛰므로(hop) '상대적인 위치'를 고려하여 $\mu t'$가 아닌 $2\mu t'$을 대입해야 함을 주의하자.
+$$ $$
+적분식에 포함된 함수(modifed Bessel function)인 $I_l (2\mu t')$의 아래와 같은 근사식을 적용하면 $C_t(i,j)$의 시간 $t$에 대한 의존성을 보다 쉽게 구할 수 있다.
+====== 참고 문헌 ======
+Jae Dong Noh, Exactly Solvable Many-Body Stochastic Processes, 2014.