위의 '이중성(duality)'에서 살펴본 내용에 따라, $\ T=0$ 에서 1차원 이징 모형의 글라우버 동역학이

그 동역학의 시간이 흐르는 방향을 역으로(opposite time direction) 취할 경우에는

'병합하는 무작위 행보 (coalescing random walk)' 모형과 이중의 관계(dual)에 있으므로,

시간에 대한 상관 함수를 사용함으로써 글라우버 동역학의 '복사 본뜨기(copy map)'를 보다 원활하게 이해할 수 있다. $$ $$ 우리는 우선 1차원 이징 모형 글라우버 동역학의 '정렬 동역학(ordering dynamics)'을 아래의

'같은 시간 상관 함수(equal-time correlation function)'로 이해하고자 한다. $$ \Phi_t(i, j) \equiv \text{Prob} [s_i(t)=s_j(t)]. $$ 이때, $s_i(t)$ 는 $i$번째 칸(site)에 있는 스핀의 상태이다.

편의를 위해서 초기($t=0$)의 스핀들은 같은 확률로 독립적이고 무작위적으로 분배 되었다고 가정하자. $$ $$ 우선 위에서 정의된 상관 함수의 값은 '특정 시간 $t$ 에서 $s_i(t)$와 $s_j(t)$의 상태가 같을 확률'을 의미한다. 어떠한 스핀의 주변 자리에 놓인 스핀들이 그와 서로 같은 방향을 향한다면 특정한 영역(domain)이 생긴다.

따라서 확률 $\Phi_t (i,j)$을 적절히 해석할 수 있다면, 우리는 스핀들이 한 방향으로 정렬되는 영역이 시간에 따라 어떻게 변화하는지 살펴볼 수 있을 것이다. $$ $$ 앞서 복사 본뜨기(copy map) 그림을 통해서 설명한 것과 같이, $s_i(t)$와 $s_j(t)$를 '무작위 행보하는' 서로 다른 두 명으로 생각할 수 있으며, 그 둘이 '병합하는(coalescing)' 상황이 포함되므로

$(1)$ 그 두 명이 (그들의 진행 경로에서) 시간 $t$ 이전에 만났는지, 또는

$(2)$ 시간 $t$ 이전에는 단 한번도 만난 적이 없는지 여부에 따라

경우를 나누어 전체적인 확률을 생각해보자. $$ $$

병합하는 무작위 행보 모형에서는, 걸어가는 이들이 서로 한번이라도 만나게 된다면 하나로 합쳐짐으로써 동일한 경로를 따라서 걷게 된다.

이러한 상황을 고려할 경우에는 다음의 '생존 확률(surviving probability)'을 정의하는 것이 편리하다. $$ C_t(i,j)\ \text{: 각각 $i$와 $j$에서 출발한 두 명의 무작위 보행자가 시간 $t$가 될 때 까지 절대 만나지 않을 확률}$$ 생존 확률 $C_t(i,j)$의 정의에 따라, '시간 $t$ 이전에 한번이라도 만난 경우'의 확률은 $1-C_t(i,j)$와 같다.

이때, 시간 $t$ 이전에 한번이라도 만난다면 병합되어 시간 $t$에서는 그 둘의 상태가 같으므로 ('이중성'에 의해) $s_i(t)=s_j(t)$임이 보장된다.

따라서, $(1)$의 경우에서 $s_i(t)=s_j(t)$일 확률의 값은 $(1-C_t(i,j) × 1) = 1-C_t(i,j)$의 값과 같다.

$$ $$

시간 $t$ 이전에 단 한번도 만나지 않을 확률은 $C_t(i,j)$와 같다. 다만 '시간 $t$의 시점'에서는 만나거나 만나지 않을 수 있으므로, 초기의 무작위한(random) 조건을 고려하면 '시간 $t$에서 $s_i(t)=s_j(t)$일 확률은 $1/2$와 같다.

따라서, $(2)$의 경우에서 $s_i(t)=s_j(t)$일 확률의 값은 $(C_t(i,j) × 1/2) = \frac{1}{2} C_t(i,j)$의 값과 같다.

$$ $$ $(1)$과 $(2)$의 경우는 서로 '배반사건'이며, 그 둘로 가능한 경우를 빠짐 없이 포함하므로

각각의 경우에서 구한 확률을 합하면 전체적인 확률을 얻어 $\Phi_t(i,j)$를 다음과 같이 구할 수 있다. $$\Phi_t(i,j) = \frac{1}{2} C_t(i,j) + (1-C_t(i,j)) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}(1-C_t(i,j)).$$

위의 식에 포함된 $C_t(i,j)$는 $\mu$의 비율 만큼 뛰는(hop) 1차원_무작위_행보 모형에서 설명한 함수를 통해 다음과 같이 표현될 수 있다.

$$ C_t(i,j)= \int ^{\infty} _t dt' F_{t'} (i | j). $$ 위와 같은 적분으로 표현할 수 있는 이유는, $F_{t} (y | x) dt$는 1차원 무작위 행보 모형에서 걸어가는 이가 $x$에서 출발하여 $y$에 '처음 도달할' 확률이기 때문이다.

즉, $F_{t'}(i | j) dt'$는 $j$에서 출발해서 $i$에 처음 도달할 확률이며, 그의 $dt'$에 대하여 $t$부터 $\infty$까지의 적분은

시간 $t$ 이후의 시간에 '처음 도달하는' 모든 경우의 확률들을 전부 고려해준다는 의미를 갖고, 이러한 의미는 위에서 설명한 생존 확률의 정의와 일치한다. $$ $$ 또한 우리가 1차원_무작위_행보에서 라플라스 변환을 사용하여 얻은 $F_t(y|x)=\frac{|y-x|}{t}e^{-t}I_{y-x}(t)$의 식을 가져오면

뛰는 비율(hopping rate)의 값을 $1$이 아닌 $\mu$라 두고, $l=|j-i|$를 함께 대입하여 생존 확률을 다음과 같은 식으로 표현할 수 있다. $$C_t(i,j)= \int ^{\infty} _t dt' \frac{l}{t'}e^{-2\mu t'}I_{l}(2\mu t').$$ 해당 모형에서는 걸어가는 각각의 이들이 $\mu$의 비율만큼 뛰므로(hop) '상대적인 위치'를 고려하여 $\mu t'$가 아닌 $2\mu t'$을 대입해야 함을 주의하자. $$ $$ 적분식에 포함된 함수(modifed Bessel function)인 $I_l (2\mu t')$의 아래와 같은 근사식을 적용하면 $C_t(i,j)$의 시간 $t$에 대한 의존성을 보다 쉽게 구할 수 있다.

Jae Dong Noh, Exactly Solvable Many-Body Stochastic Processes, 2014.