물리:1차원_글라우버_동역학

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 === $(1)$ 시간 $t$ 이전에 한번이라도 만난 경우 === === $(1)$ 시간 $t$ 이전에 한번이라도 만난 경우 ===
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 병합하는 무작위 행보 모형에서는, 걸어가는 이들이 서로 한번이라도 만나게 된다면 하나로 합쳐짐으로써 동일한 경로를 따라서 걷게 된다. 병합하는 무작위 행보 모형에서는, 걸어가는 이들이 서로 한번이라도 만나게 된다면 하나로 합쳐짐으로써 동일한 경로를 따라서 걷게 된다.
  
 이러한 상황을 고려할 경우에는 다음의 '생존 확률(surviving probability)'을 정의하는 것이 편리하다. 이러한 상황을 고려할 경우에는 다음의 '생존 확률(surviving probability)'을 정의하는 것이 편리하다.
 $$ C_t(i,j)\  \text{: 각각 $i$와 $j$에서 출발한 두 명의 무작위 보행자가 시간 $t$가 될 때 까지 절대 만나지 않을 확률}$$ $$ C_t(i,j)\  \text{: 각각 $i$와 $j$에서 출발한 두 명의 무작위 보행자가 시간 $t$가 될 때 까지 절대 만나지 않을 확률}$$
-생존 확률의 정의에 따라, '시간 $t$ 이전에 한번이라도 만난 경우'의 확률은 $1-C_t(i,j)$와 같다.+생존 확률 $C_t(i,j)$의 정의에 따라, '시간 $t$ 이전에 한번이라도 만난 경우'의 확률은 $1-C_t(i,j)$와 같다.
  
 이때, 시간 $t$ 이전에 한번이라도 만난다면 병합되어 시간 $t$에서는 그 둘의 상태가 같으므로 ('이중성'에 의해) $s_i(t)=s_j(t)$임이 보장된다. 이때, 시간 $t$ 이전에 한번이라도 만난다면 병합되어 시간 $t$에서는 그 둘의 상태가 같으므로 ('이중성'에 의해) $s_i(t)=s_j(t)$임이 보장된다.
  
 따라서, $(1)$의 경우에서 $s_i(t)=s_j(t)$일 확률의 값은 $(1-C_t(i,j) × 1) = 1-C_t(i,j)$의 값과 같다. 따라서, $(1)$의 경우에서 $s_i(t)=s_j(t)$일 확률의 값은 $(1-C_t(i,j) × 1) = 1-C_t(i,j)$의 값과 같다.
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 === $(2)$ 시간 $t$ 이전에는 단 한번도 만난 적이 없는 경우 === === $(2)$ 시간 $t$ 이전에는 단 한번도 만난 적이 없는 경우 ===
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 시간 $t$ 이전에 단 한번도 만나지 않을 확률은 $C_t(i,j)$와 같다. 다만 '시간 $t$의 시점'에서는 만나거나 만나지 않을 수 있으므로, 초기의 무작위한(random) 조건을 고려하면 '시간 $t$에서 $s_i(t)=s_j(t)$일 확률은 $1/2$와 같다. 시간 $t$ 이전에 단 한번도 만나지 않을 확률은 $C_t(i,j)$와 같다. 다만 '시간 $t$의 시점'에서는 만나거나 만나지 않을 수 있으므로, 초기의 무작위한(random) 조건을 고려하면 '시간 $t$에서 $s_i(t)=s_j(t)$일 확률은 $1/2$와 같다.
  
 따라서, $(2)$의 경우에서 $s_i(t)=s_j(t)$일 확률의 값은 $(C_t(i,j) × 1/2) = \frac{1}{2} C_t(i,j)$의 값과 같다. 따라서, $(2)$의 경우에서 $s_i(t)=s_j(t)$일 확률의 값은 $(C_t(i,j) × 1/2) = \frac{1}{2} C_t(i,j)$의 값과 같다.
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 $(1)$과 $(2)$의 경우는 서로 '배반사건'이며, 그 둘로 가능한 경우를 빠짐 없이 포함하므로 $(1)$과 $(2)$의 경우는 서로 '배반사건'이며, 그 둘로 가능한 경우를 빠짐 없이 포함하므로
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 위의 식에 포함된 $C_t(i,j)$는 $\mu$의 비율 만큼 뛰는(hop) [[물리:1차원_무작위_행보|1차원_무작위_행보]] 모형에서 설명한 함수를 통해 다음과 같이 표현될 수 있다. 위의 식에 포함된 $C_t(i,j)$는 $\mu$의 비율 만큼 뛰는(hop) [[물리:1차원_무작위_행보|1차원_무작위_행보]] 모형에서 설명한 함수를 통해 다음과 같이 표현될 수 있다.
  
 +$$ C_t(i,j)= \int ^{\infty} _t dt' F_{t'} (i | j). $$
 +위와 같은 적분으로 표현할 수 있는 이유는, $F_{t} (y | x) dt$는 1차원 무작위 행보 모형에서 걸어가는 이가 $x$에서 출발하여 $y$에 '처음 도달할' 확률이기 때문이다.
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 +즉, $F_{t'}(i | j) dt'$는 $j$에서 출발해서 $i$에 처음 도달할 확률이며, 그의 $dt'$에 대하여 $t$부터 $\infty$까지의 적분은
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 +시간 $t$ 이후의 시간에 '처음 도달하는' 모든 경우의 확률들을 전부 고려해준다는 의미를 갖고, 이러한 의미는 위에서 설명한 생존 확률의 정의와 일치한다.
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 +또한 우리가 [[물리:1차원_무작위_행보|1차원_무작위_행보]]에서 라플라스 변환을 사용하여 얻은 $F_t(y|x)=\frac{|y-x|}{t}e^{-t}I_{y-x}(t)$의 식을 가져오면
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 +뛰는 비율(hopping rate)의 값을 $1$이 아닌 $\mu$라 두고, $l=|j-i|$를 함께 대입하여 생존 확률을 다음과 같은 식으로 표현할 수 있다.
 +$$C_t(i,j)= \int ^{\infty} _t dt' \frac{l}{t'}e^{-2\mu t'}I_{l}(2\mu t').$$
 +해당 모형에서는 걸어가는 각각의 이들이 $\mu$의 비율만큼 뛰므로(hop) '상대적인 위치'를 고려하여 $\mu t'$가 아닌 $2\mu t'$을 대입해야 함을 주의하자.
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 +적분식에 포함된 함수(modifed Bessel function)인 $I_l (2\mu t')$의 아래와 같은 근사식을 적용하면 $C_t(i,j)$의 시간 $t$에 대한 의존성을 보다 쉽게 구할 수 있다.
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 +====== 참고 문헌 ======
 +Jae Dong Noh, Exactly Solvable Many-Body Stochastic Processes, 2014.
  • 물리/1차원_글라우버_동역학.1670372982.txt.gz
  • Last modified: 2023/09/05 15:46
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