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--- 물리:bbgky_계층 [2022/04/19 13:38] – [BBGKY 계층] jiwon
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 이 계의 해밀토니안이 다음과 같이 주어진다고 생각해보자.
 $$H(\mathbf p, \mathbf q) = \sum_{i=1}^N \left[\frac{\vec p_i^2}{2m}+U(\vec q_i)\right]+\frac12\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^NV(\vec q_i-\vec q_j)$$
-$U(\vec q_i)$는 외부 퍼텐셜, $V(\vec q_i-\vec q_j)$는 두 입자 상호작용을 나타낸다. 현재 우리의 관심사는 $\rho_s$의 시간변화이기 때문에 위 해밀토니안을 세 부분으로 나누어보도록 하자.
+$U(\vec q_i)$는 외부 퍼텐셜, $V(\vec q_i-\vec q_j)$는 두 입자 상호작용을 나타낸다. 지금은 전체 $N$개의 입자 중 $s$개를 부분계로 선택해서 이들의 시간에 따른 분포를 볼 것이다. 이를 위해 전체 해밀토니안을 세 부분으로 나누어보자.
 $$H_s = \sum_{n=1}^s \left[\frac{\vec p_n^2}{2m}+U(\vec q_n)\right]+\frac12\sum_{n=1}^s\sum_{m=1}^sV(\vec q_n-\vec q_m)$$
 $$H_{N-s} = \sum_{i=s+1}^N \left[\frac{\vec p_i^2}{2m}+U(\vec q_i)\right]+\frac12\sum_{i=s+1}^N\sum_{j=s+1}^NV(\vec q_i-\vec q_j)$$
 $$H' = \sum_{n=1}^s\sum_{i=s+1}^NV(\vec q_n-\vec q_j)$$
-여기에 [[물리:리우빌 정리]]를 적용하면, $\rho_s$의 시간변화는
+$\rho_s$의 시간변화는 [[물리:리우빌 정리]]를 적용하면 다음과 같이 주어진다.
 $$\frac{\partial\rho_s}{\partial t} = \int\prod_{i=s+1}^Nd^3p_id^3q_i\frac{\partial\rho}{\partial t} = -\int\prod_{i=s+1}^Nd^3p_id^3q_i \{\rho,H_s+H_{N-s}+H'\}$$
-로 주어진다.
 ==== 푸아송 괄호 계산 ====
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 	\int \prod_{i=s+1}^N d^3p_id^3q_i\{\rho,H_{N-s}\} &= \int \prod_{i=s+1}^N d^3p_id^3q_i\sum_{j=1}^N\left[\frac{\partial\rho}{\partial\vec q_j}\cdot\frac{\partial H_{N-s}}{\partial\vec p_j}-\frac{\partial\rho}{\partial\vec p_j}\cdot\frac{\partial H_{N-s}}{\partial\vec q_j}\right]
 \end{align*}
-이고, $s+1\le j\le N$인 $j$에 대해
+이고, 각각의 $j$항을 따로 계산할 수 있다.
+\begin{align*}
+	&\int d^3p_jd^3q_j\left[\frac{\partial\rho}{\partial\vec q_j}\cdot\frac{\partial H_{N-s}}{\partial\vec p_j}-\frac{\partial\rho}{\partial\vec p_j}\cdot\frac{\partial H_{N-s}}{\partial\vec q_j}\right]\\
+	=&\int d^3p_j\left[\rho\frac{\partial H_{N-s}}{\partial\vec p_j}\right]_{\vec q_j\text{ at }\infty}-\int d^3q_j\left[\rho\frac{\partial H_{N-s}}{\partial\vec q_j}\right]_{\vec p_j\text{ at }\infty}+\int d^3p_jd^3q_j \rho\left[-\frac{\partial^2H_{N-s}}{\partial\vec p_j\partial\vec q_j}+\frac{\partial^2H_{N-s}}{\partial\vec q_j\partial\vec p_j}\right]\\
+	=&0
+\end{align*}
+이는 우리가 고려하고자 하는 $s$개의 입자를 제외한 나머지들 끼리의 운동은 $\rho_s$에 아무 영향을 끼치지 않음을 의미한다.
+===세 번째 항===
+마찬가지로 푸아송 괄호를 풀어서 적어보면
+\begin{align*}
+	-\int \prod_{i=s+1}^N d^3p_id^3q_i\sum_{j=1}^N\left[\frac{\partial\rho}{\partial\vec q_j}\cdot\frac{\partial H'}{\partial\vec p_j}-\frac{\partial\rho}{\partial\vec p_j}\cdot\frac{\partial H'}{\partial\vec q_j}\right]
+\end{align*}
+이다. $\partial H'/\partial\vec q_j=0$이 되고, $j\le s$일 때는
+\begin{align*}
+	\frac{\partial H'}{\partial\vec q_j} = \frac{\partial}{\partial\vec q_j}\left(\sum_{n=1}^s\sum_{i=s+1}^NV(\vec q_n-\vec q_i)\right) = \sum_{i=s+1}^NV(\vec q_j-\vec q_i)
+\end{align*}
+$s+1\le j\le N$일 때는
+\begin{align*}
+	\frac{\partial H'}{\partial\vec q_j} = \frac{\partial}{\partial\vec q_j}\left(\sum_{n=1}^s\sum_{i=s+1}^NV(\vec q_n-\vec q_i)\right) = \sum_{n=1}^sV(\vec q_n-\vec q_j)
+\end{align*}
+이므로, 이를 모두 모아서 적어보면
+\begin{align*}
+	&-\int \prod_{i=s+1}^N d^3p_id^3q_i\sum_{j=1}^N\left[\frac{\partial\rho}{\partial\vec q_j}\cdot\frac{\partial H'}{\partial\vec p_j}-\frac{\partial\rho}{\partial\vec p_j}\cdot\frac{\partial H'}{\partial\vec q_j}\right]\\
+	=&\int \prod_{i=s+1}^N d^3p_id^3q_i\left[\sum_{n=1}^s\frac{\partial\rho}{\partial\vec p_n}\cdot\sum_{j=s+1}^N\frac{\partial V(\vec q_n-\vec q_j)}{\partial\vec q_n} + \sum_{j=s+1}^N\frac{\partial\rho}{\partial\vec p_j}\cdot\sum_{n=1}^s\frac{\partial V(\vec q_j-\vec q_n)}{\partial\vec  q_j}\right]
+\end{align*}
+이 된다. 두 번째 항 중에서 $j$인덱스를 하나 골라 계산해보면
 \begin{align*}
-	\frac{\partial H_{N-s}}{\partial\vec p_j} &= \frac{\vec p_j}{m}\\
+	&\int d^3p_jd^3q_j\frac{\partial\rho}{\partial\vec p_j}\sum_{n=1}^s\cdot\frac{\partial V(\vec q_j-\vec q_n)}{\partial\vec q_j}\\
-	\frac{\partial H_{N-s}}{\partial\vec q_j} &= \frac{\partial U(\vec q_j)}{\partial\vec q_j} + \frac12\sum_{k=s+1}\frac{V(\vec q_j-\vec q_k)}{\partial\vec q_j}
+	=&\int d^3q_j\left[\rho\sum_{n=1}^s\cdot\frac{\partial V(\vec q_j-\vec q_n)}{\partial\vec q_j}\right]_{\vec p_j\text{ at }\infty}-\int d^3q_jd^3p_j\rho\sum_{n=1}^s\cdot\frac{\partial^2 V(\vec q_j-\vec q_n)}{\partial\vec p_j\partial\vec q_j}\\
+	=&0
 \end{align*}
-이므로
+가 된다. 그리고 $j$인덱스는 분포에서 고려하지 않을 것이고, 모든 입자는 동일하기 때문에 이들에 대한 합은 단순히 상수배가 된다. 정리해보면,
 \begin{align*}
-	&= \int \prod_{i=s+1}^N d^3p_id^3q_i\sum_{j=s+1}^N\left[\frac{\partial\rho}{\partial\vec q_j}\cdot\frac{\vec p_j}{m}-\frac{\partial\rho}{\partial\vec p_j}\cdot\left(\frac{\partial U(\vec q_j)}{\partial\vec q_j} + \frac12\sum_{k=s+1}\frac{V(\vec q_j-\vec q_k)}{\partial\vec q_j}\right)\right]
+	&(N-s)\int\prod_{i=s+1}^Nd^3q_id^3p_i \sum_{i=1}^s \frac{\partial V(\vec q_n-\vec q_{s+1})}{\partial\vec q_n}\cdot\frac{\partial\rho}{\partial\vec p_n}\\
+	=&(N-s)\sum_{n=1}^s\int d^3q_{s+1}d^3p_{s+1}\frac{\partial V(\vec q_n-\vec q_{s+1})}{\partial\vec q_n}\cdot\frac{\partial\rho_{s+1}}{\partial\vec p_n}
 \end{align*}
-이다. 위의 적분은 사실 $0$이 되는데 $j$하나를 골라서 적분해보면
+이다. 이제 계산해두었던 푸아송 괄호들을 다 모아보면
+$$
+	\frac{\partial\rho_s}{\partial t}-\{H_s,\rho_s\}=(N-s)\sum_{n=1}^s\int d^3q_{s+1}d^3p_{s+1}\frac{\partial V(\vec q_n-\vec q_{s+1})}{\partial\vec q_n}\cdot\frac{\partial\rho_{s+1}}{\partial\vec p_n}
+$$
+를 얻는다. 여기서 좌변은 현재 관심을 가지는 부분계에 대한 위상점의 시간변화를 나타낸다. 만일 외부 입자와의 상호작용이 없다면 부분계를 나타내는 위상점은 리우빌 정리를 만족할테지만 나머지 $N-s$개의 입자와의 상호작용이 존재하는 경우에는 우변과 같은 충돌항이 추가된다.
+==== 의미 ====
+위 식을 통해 단일 입자의 분포의 시간변화 $\partial\rho_1/\partial t$는 두 입자의 분포 $\rho_2$에 의존하고, $\partial\rho_2/\partial t$는 $\rho_3$에 의존함을 볼 수 있다. 결국 $\partial\rho/\partial t$를 정확히 알아내기 위해서는 $\rho_N$까지 모두 알아야 할 것이다. 따라서 실제 문제를 풀려면 특정 근사를 통해 이 계층구조를 적정 선에서 끊어주는 작업이 필요하다.