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--- 물리:xy모형 [2023/09/03 13:45] – [$i$와 $j$를 제외한 소용돌이들 주변으로의 적분] admin
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 차단길이 $\tau$를 $\tau+d\tau$로 늘리면 그러한 기술에서는 거리가 $[\tau, \tau+d\tau)$만큼 떨어져 있었던, 서로 부호가 반대인 소용돌이 쌍이 합쳐지게 될 것이다. $d\tau$가 미소량인 한 그런 쌍은 매우 드물 것이므로 $O(d\tau)$까지만 위 분배함수를 전개할 것이다. 그러면 적분구간을 아래처럼 고칠 수 있다:
-$$\int_{D_{2n}} d\mathbf{r}_{2n} \cdots \int_{D_{1}} d\mathbf{r}_{1} \approx \int_{D'_{2n}} d\mathbf{r}_{2n} \cdots \int_{D'_{1}} d\mathbf{r}_{1} + \frac{1}{2} \sum_{i \neq j} \int_{D'_{2n}} d\mathbf{r}_{2n} \cdots \int_{D'_{j+1}} d\mathbf{r}_{j+1} \int_{D'_{j-1}} d\mathbf{r}_{j-1} \cdots \int_{D'_{i+1}} d\mathbf{r}_{i+1} \int_{D'_{i-1}} d\mathbf{r}_{i-1} \cdots \int_{D'_{1}} d\mathbf{r}_{1} \int_{\overline{D}(i,j)} d\mathbf{r}_{j} \int_{\delta_{i}(j)} d\mathbf{r}_{i}.$$
+$$\int_{D_{2n}} d\mathbf{r}_{2n} \cdots \int_{D_{1}} d\mathbf{r}_{1} \approx \int_{D'_{2n}} d\mathbf{r}_{2n} \cdots \int_{D'_{1}} d\mathbf{r}_{1} + \sum_{(i,j)}^{(n,n)} \int_{D'_{2n}} d\mathbf{r}_{2n} \cdots \int_{D'_{j+1}} d\mathbf{r}_{j+1} \int_{D'_{j-1}} d\mathbf{r}_{j-1} \cdots \int_{D'_{i+1}} d\mathbf{r}_{i+1} \int_{D'_{i-1}} d\mathbf{r}_{i-1} \cdots \int_{D'_{1}} d\mathbf{r}_{1} \int_{\overline{D}(i,j)} d\mathbf{r}_{j} \int_{\delta_{i}(j)} d\mathbf{r}_{i}.$$
-$D'_k$는 $D_k$와 마찬가지로 정의되는데, 차이는 $\tau$를 $\tau+d\tau$로 바꾼 것뿐이다. 우변 두 번째 항에서는 소용돌이 $i$와 $j$를 고른 다음(순서가 바뀌어도 상관 없으므로 2로 나누어주고 있다), $\mathbf{r}_i$는 $\mathbf{r}_j$ 주변으로 반경 $[\tau, \tau+d\tau)$인 고리 $\delta_i(j)$를 따라 적분하고, $\mathbf{r}_j$는 $i$와 $j$를 제외한 모든 소용돌이 $k$ 주변으로 반경 $\tau$ 이내를 제외한 공간인 $\overline{D}(i,j)$에 대해 적분한다.
+$D'_k$는 $D_k$와 마찬가지로 정의되는데, 차이는 $\tau$를 $\tau+d\tau$로 바꾼 것뿐이다. 우변 두 번째 항에서는 소용돌이 $i$와 $j$를 고른 다음, $\mathbf{r}_i$는 $\mathbf{r}_j$ 주변으로 반경 $[\tau, \tau+d\tau)$인 고리 $\delta_i(j)$를 따라 적분하고, $\mathbf{r}_j$는 $i$와 $j$를 제외한 모든 소용돌이 $k$ 주변으로 반경 $\tau$ 이내를 제외한 공간인 $\overline{D}(i,j)$에 대해 적분한다. 합 기호 위의 $(n,n)$은 계에 $n$개의 +소용돌이와 $n$개의 -소용돌이가 있다는 의미이다. 소용돌이의 쌍 $i$와 $j$는 순서가 바뀌어도 상관 없이 합산시에 한 번만 들어간다. 전체 $2n$개의 소용돌이가 있기 때문에 (편의를 위해 $i=j$인 경우까지 포함하면) 원칙적으로 $4n^2$ 개의 쌍을 만들 수 있지만 그 중 절반은 같은 부호의 전하끼리 쌍을 이룬 것이기 때문에 $2n^2$개만 계산에 남고, 다음으로 순서가 바뀌어도 상관없다는 조건 때문에 다시 2로 나뉘어 총 $n^2$ 개의 항을 합산하게 될 것이다.
 ====고리에 대한 적분====
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 \end{eqnarray}
 ====$i$와 $j$를 제외한 소용돌이들 주변으로의 적분====
-$$2\pi \tau d\tau \left\{ 1 + \beta^2 p^4 \sum_k \frac{\tau^2}{\left| \mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k \right|^2} + \beta^2 p^2 \sum_{k \neq l} p_k p_l \frac{\tau^2 (\mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k) \cdot (\mathbf{r}_j - \mathbf{r}_l)}{\left| \mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k \right|^2 \left| \mathbf{r}_j - \mathbf{r}_l \right|^2} \right\}$$
+$$ 2\pi \tau d\tau \int_{\overline{D}(i,j)} d\mathbf{r}_j \left\{ 1 + \beta^2 p^4 \sum_k \frac{\tau^2}{\left| \mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k \right|^2} + \beta^2 p^2 \sum_{k \neq l} p_k p_l \frac{\tau^2 (\mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k) \cdot (\mathbf{r}_j - \mathbf{r}_l)}{\left| \mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k \right|^2 \left| \mathbf{r}_j - \mathbf{r}_l \right|^2} \right\}$$
+첫 번째 항의 적분은 계의 전체 면적 $A$를 준다(제외되는 반경 $\tau$는 작으므로 무시):
+$$\int_{\overline{D}(i,j)} d\mathbf{r}_j  \approx A.$$
+두 번째 항의 적분은 계의 반경을 $R$이라 했을 때에 $R$이 매우 크다면 마치 $\mathbf{r}_k$가 원점에 있는 것처럼 다음처럼 구해진다:
+$$\int_{\overline{D}(i,j)} \frac{d\mathbf{r}_j}{\left| \mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k \right|^2} \approx 2\pi \ln \frac{R}{\tau}.$$
+세 번째 항의 적분 역시 마찬가지로 $\tau$가 작고 $R$이 큰 극한에서 행한다. 편의상 $\mathbf{r}_k = (\rho,0)$, $\mathbf{r}_l = (-\rho,0)$이라고 한다면 이 적분은
+\begin{eqnarray}
+\int_0^R \int_0^{2\pi} \frac{(r^2-\rho^2)}{(r^2+\rho^2+2\rho r\cos\theta) (r^2+\rho^2-2\rho r\cos\theta)}r d\theta dr
+&=& \pi \ln\left[ \frac{1}{4} \left( 1 + \frac{R^2}{\rho^2} \right) \right]\\
+&\approx& \pi \ln\left( \frac{R^2}{\left| \mathbf{r}_k - \mathbf{r}_l \right|^2} \right)\\
+&=& 2\pi \ln\left( \frac{R}{\left| \mathbf{r}_k - \mathbf{r}_l \right|} \right).
+\end{eqnarray}
+위 결과들을 모두 더하면
+\begin{eqnarray}
+\pi \tau d\tau \left(A + 2\pi \tau^2 \beta^2 p^4 \sum_k \ln \frac{R}{\tau} + 2\pi \tau^2 \beta^2 p^2 \sum_{k \neq l} p_k p_l \ln \frac{R}{\left| \mathbf{r}_k  - \mathbf{r}_l \right|} \right)
+&\approx& 2\pi \tau d\tau \left(A - 2\pi \tau^2 \beta^2 p^2 \sum_{k\neq l} p_k p_l \ln \frac{R}{\tau} + 2\pi \tau^2 \beta^2 p^2 \sum_{k \neq l} p_k p_l \ln \frac{R}{\left| \mathbf{r}_k  - \mathbf{r}_l \right|} \right)\\
+&=& 2\pi \tau d\tau \left( A - 2\pi \tau^2 \beta^2 p^2 \sum_{k \neq l} p_k p_l \ln \left| \frac{\mathbf{r}_k - \mathbf{r}_l}{\tau} \right| \right).
+\end{eqnarray}
+따라서
+\begin{eqnarray}
+Z &=& \sum_{n} \frac{1}{(n!)^2} \kappa^{2n} \int_{D_{2n}} d\mathbf{r}_{2n} \cdots \int_{D_{1}} d\mathbf{r}_{1} e^{-\beta H_{2n}}\\
+&\approx& \sum_{n} \frac{1}{(n!)^2} \kappa^{2n} \left[ \int_{D'_{2n}} d\mathbf{r}_{2n} \cdots \int_{D'_{1}} d\mathbf{r}_{1} e^{-\beta H_{2n}}
++ \sum_{(i,j)}^{(n,n)} \int_{D'_{2n}} d\mathbf{r}_{2n} \cdots \int_{D'_{j+1}} d\mathbf{r}_{j+1} \int_{D'_{j-1}} d\mathbf{r}_{j-1} \cdots \int_{D'_{i+1}} d\mathbf{r}_{i+1} \int_{D'_{i-1}} d\mathbf{r}_{i-1} \cdots \int_{D'_{1}} d\mathbf{r}_{1} 2\pi \tau d\tau \left( A - 2\pi \tau^2 \beta^2 p^2 \sum_{k \neq l} p_k p_l \ln \left| \frac{\mathbf{r}_k - \mathbf{r}_l}{\tau} \right| \right) e^{-\beta H_{2n-2}} \right]\\
+&=& \sum_{n} \frac{1}{(n!)^2} \kappa^{2n} \int_{D'_{2n}} d\mathbf{r}_{2n} \cdots \int_{D'_{1}} d\mathbf{r}_{1} e^{-\beta H_{2n}}
++\sum_{n} \frac{1}{(n!)^2} \kappa^{2n} \sum_{(i,j)}^{(n,n)} \int_{D'_{2n}} d\mathbf{r}_{2n} \cdots \int_{D'_{j+1}} d\mathbf{r}_{j+1} \int_{D'_{j-1}} d\mathbf{r}_{j-1} \cdots \int_{D'_{i+1}} d\mathbf{r}_{i+1} \int_{D'_{i-1}} d\mathbf{r}_{i-1} \cdots \int_{D'_{1}} d\mathbf{r}_{1} 2\pi \tau d\tau \left( A - 2\pi \tau^2 \beta^2 p^2 \sum_{k \neq l} p_k p_l \ln \left| \frac{\mathbf{r}_k - \mathbf{r}_l}{\tau} \right| \right) e^{-\beta H_{2n-2}}\\
+&=& \sum_{n} \frac{1}{(n!)^2} \kappa^{2n} \int_{D'_{2n}} d\mathbf{r}_{2n} \cdots \int_{D'_{1}} d\mathbf{r}_{1} e^{-\beta H_{2n}}
++\sum_{n} \frac{1}{(n+1)!^2} \kappa^{2n+2} \sum_{(i,j)}^{(n+1,n+1)} \int_{D'_{2n}} d\mathbf{r}_{2n} \cdots \int_{D'_{1}} d\mathbf{r}_{1} 2\pi \tau d\tau \left( A - 2\pi \tau^2 \beta^2 p^2 \sum_{k \neq l} p_k p_l \ln \left| \frac{\mathbf{r}_k - \mathbf{r}_l}{\tau} \right| \right) e^{-\beta H_{2n}}\\
+&=& \sum_{n} \frac{1}{(n!)^2} \kappa^{2n} \left[ \int_{D'_{2n}} d\mathbf{r}_{2n} \cdots \int_{D'_{1}} d\mathbf{r}_{1} e^{-\beta H_{2n}}
++\frac{1}{(n+1)^2} \kappa^{2}  \sum_{(i,j)}^{(n+1,n+1)} \int_{D'_{2n}} d\mathbf{r}_{2n} \cdots \int_{D'_{1}} d\mathbf{r}_{1} 2\pi \tau d\tau \left( A - 2\pi \tau^2 \beta^2 p^2 \sum_{k \neq l} p_k p_l \ln \left| \frac{\mathbf{r}_k - \mathbf{r}_l}{\tau} \right| \right) e^{-\beta H_{2n}} \right]\\
+&\approx& \sum_{n} \frac{1}{(n!)^2} \kappa^{2n} \left[ \int_{D'_{2n}} d\mathbf{r}_{2n} \cdots \int_{D'_{1}} d\mathbf{r}_{1} e^{-\beta H_{2n}}
++\kappa^{2} \int_{D'_{2n}} d\mathbf{r}_{2n} \cdots \int_{D'_{1}} d\mathbf{r}_{1} 2\pi \tau d\tau \left( A - 2\pi \tau^2 \beta^2 p^2 \sum_{k \neq l} p_k p_l \ln \left| \frac{\mathbf{r}_k - \mathbf{r}_l}{\tau} \right| \right) e^{-\beta H_{2n}} \right]\\
+&=& \sum_{n} \frac{1}{(n!)^2} \kappa^{2n} \int_{D'_{2n}} d\mathbf{r}_{2n} \cdots \int_{D'_{1}} d\mathbf{r}_{1}
+\left[ 1 +\kappa^{2} 2\pi \tau d\tau \left( A - 2\pi \tau^2 \beta^2 p^2 \sum_{k \neq l} p_k p_l \ln \left| \frac{\mathbf{r}_k - \mathbf{r}_l}{\tau} \right| \right) \right] e^{-\beta H_{2n}}\\
+&\approx& \sum_{n} \frac{1}{(n!)^2} \kappa^{2n} \int_{D'_{2n}} d\mathbf{r}_{2n} \cdots \int_{D'_{1}} d\mathbf{r}_{1}
+\exp \left[ \kappa^{2} 2\pi \tau d\tau \left( A - 2\pi \tau^2 \beta^2 p^2 \sum_{k \neq l} p_k p_l \ln \left| \frac{\mathbf{r}_k - \mathbf{r}_l}{\tau} \right| \right) \right] e^{-\beta H_{2n}}\\
+&=& \exp(2\pi \kappa^2\tau d\tau A) \sum_{n} \frac{1}{(n!)^2} \kappa^{2n} \int_{D'_{2n}} d\mathbf{r}_{2n} \cdots \int_{D'_{1}} d\mathbf{r}_{1}
+\exp \left\{ \beta \left[ - (2\pi)^2 \beta p^2 (\kappa \tau^2)^2 \frac{d\tau}{\tau} \right] \sum_{k \neq l} p_k p_l \ln \left| \frac{\mathbf{r}_k - \mathbf{r}_l}{\tau} \right| \right\} e^{-\beta H_{2n}}\\
+&=& \exp(2\pi \kappa^2\tau d\tau A) \sum_{n} \frac{1}{(n!)^2} \kappa^{2n} \int_{D'_{2n}} d\mathbf{r}_{2n} \cdots \int_{D'_{1}} d\mathbf{r}_{1}
+\exp \left\{ \beta \left[1 - (2\pi)^2 \beta p^2 (\kappa \tau^2)^2 \frac{d\tau}{\tau} \right] \sum_{k \neq l} p_k p_l \ln \left| \frac{\mathbf{r}_k - \mathbf{r}_l}{\tau} \right| \right\}\\
+\end{eqnarray}
 ====피적분함수의 $\tau$를 $\tau+d\tau$로 변경====
+\begin{eqnarray}
+\kappa^{2n} \exp\left[ -\beta\sum_{i\neq j} p_i p_j \ln \tau \right] &\approx& \kappa^{2n} \exp \left\{ -\beta\sum_{i\neq j} p_i p_j \left[ \ln (\tau+d\tau) - \frac{d\tau}{\tau} \right] \right\}\\
+&=& \kappa^{2n} \exp \left\{ -\beta\sum_{i\neq j} p_i p_j \ln (\tau+d\tau) \right\} \exp \left( \beta \sum_{i \neq j} p_i p_j \frac{d\tau}{\tau} \right)
+\end{eqnarray}
+여기에서 $p_i = -p_j$인 인접한 소용돌이 쌍들이 대부분을 기여하므로 $\sum_{i \neq j} p_i p_j \approx -2n p^2$으로 근사하면, 위 식은
+\begin{eqnarray}
+\kappa^{2n} \exp \left( - 2n \beta p^2 \frac{d\tau}{\tau} \right) \exp \left\{ -\beta\sum_{i\neq j} p_i p_j \ln (\tau+d\tau) \right\}
+&\approx& \kappa^{2n} \left( 1 - 2n \beta p^2 \frac{d\tau}{\tau} \right) \exp \left\{ -\beta\sum_{i\neq j} p_i p_j \ln (\tau+d\tau) \right\}\\
+&\approx& \left[ \kappa \left( 1 - \beta p^2 \frac{d\tau}{\tau} \right) \right]^{2n} \exp \left\{ -\beta\sum_{i\neq j} p_i p_j \ln (\tau+d\tau) \right\}
+\end{eqnarray}
+따라서 휘산도의 변화는
+\begin{eqnarray}
+\kappa \tau^2 &\longrightarrow& \kappa \left( 1 - \beta p^2 \frac{d\tau}{\tau} \right) (\tau+d\tau)^2\\
+&\approx& \kappa \left( 1 - \beta p^2 \frac{d\tau}{\tau} \right) (\tau^2 + 2\tau d\tau)\\
+&=& \kappa \left( 1 - \beta p^2 \frac{d\tau}{\tau} \right) \tau^2 \left(1 + 2 \frac{d\tau}{\tau} \right)\\
+&\approx& \kappa\tau^2 \left( 1 - \beta p^2 \frac{d\tau}{\tau} + 2\frac{\tau}{d\tau} \right)\\
+&\approx& \kappa\tau^2 \left[ 1 - (\beta p^2-2) \frac{d\tau}{\tau} \right]
+\end{eqnarray}
+====결과====
+차단 길이 $\tau$를 $\tau+d\tau$로 변경함에 따라 계의 맺음변수들이 다음처럼 변화한다:
+\begin{eqnarray}
+\beta p^2 &\longrightarrow& (\beta p^2)' = \beta p^2 \left[ 1 - (2\pi)^2 (\beta p^2) (\kappa \tau^2)^2 \frac{d\tau}{\tau} \right]\\
+\kappa \tau^2 &\longrightarrow& (\kappa \tau^2)' = \kappa \tau^2 \left[ 1 - (\beta p^2 - 2) \frac{d\tau}{\tau} \right].
+\end{eqnarray}
+만일 $x \equiv \beta p^2 - 2$와 $y \equiv 2\pi \kappa \tau^2$을 정의한다면 아래처럼 쓸 수 있다:
+\begin{eqnarray}
+dx &=& -(x+2)^2 y^2 \frac{d\tau}{\tau}\\
+dy &=& -xy \frac{d\tau}{\tau}.
+\end{eqnarray}
+$\lambda \equiv \ln \tau$로 정의하는 것도 일반적이다:
+\begin{eqnarray}
+\frac{dx}{d\lambda} &=& -(x+2)^2 y^2\\
+\frac{dy}{d\lambda} &=& -xy.
+\end{eqnarray}
+$(x,y)=(0,0)$인 고정점 주변에서는 아래처럼 근사할 수 있고
+\begin{eqnarray}
+\frac{dx}{d\lambda} &=& -4y^2\\
+\frac{dy}{d\lambda} &=& -xy,
+\end{eqnarray}
+$x = 2\pi K -2$로 쓸 수도 있으므로 $K$와 $y$에 대해 정리하면 아래의 꼴로 나타나기도 한다:
+\begin{eqnarray}
+\frac{dK^{-1}}{d\lambda} &=& 2\pi y^2\\
+\frac{dy}{d\lambda} &=& (2-2\pi K) y.
+\end{eqnarray}
 ======참고문헌======