물리:xy모형

2차원 XY모형

2차원 XY모형의 해밀토니안은 다음과 같다. $$\beta H = -K\sum_{\langle mn\rangle} \cos(\theta_m-\theta_n)$$

머민-바그너 정리에 의하면 2차원 이하에서는 연속적인 대칭성의 자발 대칭 깨짐이 일어날 수 없다. 따라서 2차원 XY모형에서는 유한한 온도에서 장거리 질서가 보이지 않아야 할 것이다. 이를 직접 확인해보자.

계의 온도가 매우 낮은 상태라면, 인접한 두 스핀 사이의 각도 차이가 매우 적을 것이므로 시스템의 작용을 다음과 같이 전개할 수 있다. \begin{align*} S =& -\beta H = -K\sum_{\langle ij\rangle} \cos(\theta_i-\theta_j)\\ \approx&-K\sum_{\langle ij\rangle}\left(1-\frac12(\theta_i-\theta_j)^2\right)\\ =&\frac K2\sum_{\langle ij\rangle}(\theta_i-\theta_j)^2+\text{const} \end{align*} 여기서 상수항은 물리에 영향을 미치지 않으므로 무시하고 다음과 같은 푸리에 변환을 취하자. $$\theta(\mathbf q) = \sum_\mathbf re^{i\mathbf q\cdot \mathbf r}\theta(\mathbf r),\quad \theta(\mathbf r) = \int_{BZ}\frac{d^2q}{(2\pi)^2}e^{-i\mathbf q\cdot \mathbf r}\theta(\mathbf q)$$ 여기서 BZ는 첫번째 브릴루앙 영역을 의미한다. 인접한 방향 $\hat\mu=\hat x,\hat y$와 위치 $\mathbf r$을 가지고 위의 작용을 다시 고쳐쓰면 \begin{align*} \sum_\mathbf r\theta_\mathbf r^2=&\sum_\mathbf r\int_{BZ}\frac{d^2q}{(2\pi)^2}\frac{d^2k}{(2\pi)^2}e^{-i(\mathbf k+\mathbf q)\cdot\mathbf r}\theta(\mathbf q)\theta(\mathbf k)\\ =&\int_{BZ}\frac{d^2qd^2k}{(2\pi)^2}\,\delta^2(\mathbf k+\mathbf q)\theta(\mathbf q)\theta(\mathbf k)\\ =&\int_{BZ}\frac{d^2k}{(2\pi)^2}\vert\theta(\mathbf k)\vert^2 \end{align*} 가 되고, 위에서 소개한 푸리에 변환을 취해주면 첫 번째 항을 \begin{align*} \sum_\mathbf r\theta_\mathbf r^2=&\sum_\mathbf r\int_{BZ}\frac{d^2q}{(2\pi)^2}\frac{d^2k}{(2\pi)^2}e^{-i(\mathbf k+\mathbf q)\cdot\mathbf r}\theta(\mathbf q)\theta(\mathbf k)\\ =&\int_{BZ}\frac{d^2qd^2k}{(2\pi)^2}\,\delta^2(\mathbf k+\mathbf q)\theta(\mathbf q)\theta(\mathbf k)\\ =&\int_{BZ}\frac{d^2k}{(2\pi)^2}\vert\theta(\mathbf k)\vert^2 \end{align*} 그리고 두 번째 항의 $\hat x$을 \begin{align*} \sum_{\mathbf r,\hat\mu}\theta_\mathbf r\theta_{\mathbf r+\hat\mu}=&\frac12\sum_{\mathbf r}\left(\theta_\mathbf r\theta_{\mathbf r+\hat x}+\theta_\mathbf r\theta_{\mathbf r-\hat x}\right)\\ =&\frac12\sum_\mathbf r\int_{BZ}\frac{d^2k}{(2\pi)^2}\frac{d^2q}{(2\pi)^2}e^{-i(\mathbf k+\mathbf q)\cdot\mathbf r}\left(e^{iq_x}+e^{-iq_x}\right)\theta(\mathbf k)\theta(\mathbf q)\\ =&\int_{BZ}\frac{d^2kd^2q}{(2\pi)^2}\delta^2(\mathbf k+\mathbf q)\cos q_x \theta(\mathbf k)\theta(\mathbf q)\\ =&\int_{BZ}\frac{d^2k}{(2\pi)^2}\cos k_x\vert\theta(\mathbf k)\vert^2 \end{align*} 의 형태로 쓸 수 있으므로 운동량 공간에서 작용을 $$S = \frac K2\int_{BZ}\frac{d^2k}{(2\pi)^2}\left[\sum_{\hat\mu}\left(2-2\cos k_\mu\right)\right]\vert\theta(\mathbf k)\vert^2$$ 로 쓸 수 있다.

XY모델의 스핀-스핀 상관함수는 $$\langle \mathbf S_\mathbf r\cdot\mathbf S_{\mathbf r'}\rangle=\langle\cos(\theta(\mathbf r)-\theta(\mathbf r'))\rangle = e^{G(\mathbf r-\mathbf r')-G(\mathbf 0)}$$ 로 정의되고, 여기서 $G(\mathbf r-\mathbf r')$는 전파인자로써 다음과 같다. $$G(\mathbf r-\mathbf r')=\langle(\theta(\mathbf r)\theta(\mathbf r'))=\frac 1K\int_{BZ}\frac{d^2k}{(2\pi)^2}\frac{e^{i\mathbf k\cdot(\mathbf r-\mathbf r')}}{\sum_{\mu}(2-2\cos k_\mu)}$$ 저온 영역에서는 $k\ll1$ 근처의 기여도가 지배적일 것이므로 $\cos$항을 전개해서 쓰면 \begin{align*} G(\mathbf r)-G(\mathbf 0)=&\frac 1K\int_{\vert k\vert<\Lambda}\frac{d^2k}{(2\pi)^2}\frac{e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r}-1}{\sum_{\mu}(2-2\cos k_\mu)}\\ =&\frac 1K\int_{\vert k\vert<\Lambda}\frac{d^2k}{(2\pi)^2}\frac{e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r}-1}{k^2}\\ =&\frac1{(2\pi)^2K}\int_0^\Lambda dk\frac1k \int_0^{2\pi}d\theta \left(e^{ikr\cos\theta}-1\right)\\ =&\frac1{(2\pi)^2K}\int_0^\Lambda dk\frac1k \int_0^{2\pi}d\theta \left(J_0(kr)+2\sum_{n=1}^\infty i^nJ_n(kr)\cos n\theta-1\right)\\ =&\frac{1}{2\pi K}\int_0^\Lambda dk\frac{J_0(kr)-1}{k} \end{align*} 가 되고, 피적분 함수의 점근 거동은 $$\frac{J_0(x)-1}{x}\approx-\frac1x$$ 이므로 $kr\gg1$일 때 전파인자는 $$G(\mathbf r)-G(\mathbf 0)=-\frac{1}{2\pi K}\log(\Lambda r)$$ 와 같이 쓰여지고, 스핀-스핀 상관함수는 $$\langle \mathbf S_\mathbf r\cdot\mathbf S_{\mathbf r'}\rangle=e^{G(\mathbf r-\mathbf r')-G(\mathbf 0)}\approx \left(\frac{1}{\Lambda\vert\mathbf r-\mathbf r'\vert}\right)^{1/2\pi K}$$ 의 형태를 가진다. 따라서 매우 먼 거리에서 상관함수가 $0$에 가까우므로 장거리 질서가 존재하지는 않지만, 상자성처럼 상관함수가 거리에 따라 지수적으로 감소하지는 않기 때문에 무언가 다른 상이 존재할 가능성이 있다는 것을 짐작할 수 있다.

재규격화

위 해밀토니안에서 몇가지 변환을 거치면 다음과 같은 Sine-Gordon모형의 꼴과 같아진다. $$Z(K,y) = \int [\mathcal D\phi(\mathbf r)] \exp\left[\int d^dr \left\{-\frac12 \vert\nabla\phi\vert^2+2y\cos(2\pi\sqrt K\phi(\mathbf r))\right\}\right]$$ 여기서 $y$는 소용돌이의 퓨가시티(vortex fugacity)이다. 지금부터 이를 운동량 껍질 재규격화(Momentum shell RG)방법을 사용해 분석해보고자 한다. 재규격화는 간단히 말해 coarse-graining과 rescaling 이 두 과정으로 이루어지는데 이를 간단히 그림으로 나타내면 다음과 같다. 아래 계산에서는 축척인자를 $b=e^s$로 둘 것이다. 이를 위해 먼저 장 $\phi(\mathbf r)$를 다음 두 항으로 쪼개어 나타내자. $$\phi(\mathbf r) = \frac{1}{(2\pi)^2}\int d^2k e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r}\phi(\mathbf k) = \underbrace{\frac{1}{(2\pi)^2}\int_0^{\Lambda/b} d^2k e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r}\phi(\mathbf k)}_{\phi_l(\mathbf r)} + \underbrace{\frac{1}{(2\pi)^2}\int_{\Lambda/b}^\Lambda d^2k e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r}\phi(\mathbf k)}_{\phi_s(\mathbf r)}$$ 이렇게 하면 원래의 유효 해밀토니안도 쪼개어 나타낼 수 있다. $$\Rightarrow \mathcal H[\phi_l,\phi_s] = \mathcal H_{0,l}[\phi_l] + \mathcal H_{0,s}[\phi_s] + V[\phi_l,\phi_s]$$ 여기서 각 항은 $$\mathcal H_{0,l}[\phi_l] = \frac12 \int d^2r \vert\nabla\phi_l\vert^2,\quad \mathcal H_{0,s}[\phi_s] = \frac12 \int d^2r \vert\nabla\phi_s\vert^2$$ $$V[\phi_l,\phi_s] = -2y\int d^2r \cos\left(2\pi\sqrt K(\phi_l(\mathbf r)+\phi_s(\mathbf r))\right)$$ 이다. 우리는 일단 $y$가 작은 영역에 관심이 있으므로 $V[\phi_l,\phi_s]$를 섭동항으로 취급할 것이다. 첫 단계인 coarse-graining에서는 운동량 공간의 껍질에 해당하는 $\phi_s$를 모두 적분해서 \begin{eqnarray*} e^{-\mathcal H'[\phi_l]} &=& \int\mathcal D\phi_s(\mathbf r)e^{-\mathcal H_{0,l}[\phi_l] - \mathcal H_{0,s}[\phi_s] - V[\phi_l,\phi_s]}\\ &=& e^{-\mathcal H_{0,l}[\phi_l]}\frac{\int\mathcal D\phi_s(\mathbf r)e^{-V[\phi_s,\phi_l]-\mathcal H_{0,s}[\phi_s]}}{\int \mathcal D\phi_se^{-\mathcal H_{0,s}[\phi_s]}} \cdot\int \mathcal D\phi_se^{-\mathcal H_{0,s}[\phi_s]} \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \Rightarrow\mathcal H'[\phi_l] &=& \mathcal H_{0.l}[\phi_l] -\log \left\langle e^{-V[\phi_s,\phi_l]}\right\rangle+\log \left[\int \mathcal D\phi_se^{-\mathcal H_{0,s}[\phi_s]}\right]\\ &=&\mathcal H_{0.l}[\phi_l] + \langle V\rangle_s -\frac12 \left(\langle V^2\rangle_s - \langle V\rangle_s^2\right)+\mathcal O(y^3) \end{eqnarray*} 이와 같이 재규격화된 유효 해밀토니안을 얻을 것이다. 윗 줄의 마지막 $\log$항은 상호작용 상수의 변화에 아무런 영향도 미치지 못하므로 지금부터 무시하고, 아랫 줄로 내려올 때는 큐물런트 전개를 사용하였다.

1차항 근사

먼저 1차항에 해당하는 $\langle V\rangle_s$를 계산해보고자 한다. $\cos$ 항의 기댓값을 계산하는 것 보다 지수함수의 기댓값은 큐물런트 전개를 사용해서 비교적 쉽게 계산할 수 있기 때문에 삼각함수를 다음과 같은 지수함수의 형태로 변환하고 \begin{eqnarray*} \langle V\rangle_s &=& -2y\int d^2r \langle\cos\left(\alpha\phi_l(\mathbf r) + \alpha\phi_s(\mathbf r)\right)\rangle_s\qquad\text{where}\enspace \alpha = 2\pi\sqrt K\\ &=&-2y\int d^2r \,\text{Re}\langle e^{i\alpha(\phi_l(\mathbf r) + \phi_s(\mathbf r))}\rangle_s\\ &=&-2y\int d^2r \,\text{Re}\left[\left\langle e^{i\alpha\phi_s(\mathbf r)}\right\rangle_se^{i\alpha\phi_l(\mathbf r)}\right]\\ \end{eqnarray*} $\langle\cdot\rangle_s$항을 계산하면 \begin{eqnarray*} \log\langle e^{i\alpha\phi_s(\mathbf r)}\rangle_s &=& i\alpha\langle\phi_s(\mathbf r)\rangle_s - \frac12 (i\alpha)^2 \left(\left\langle \phi_s^2(\mathbf r)\right\rangle_s - \langle \phi_s(\mathbf r)\rangle_s^2\right)\\ &=& \frac12 \alpha^2 \langle \phi_s^2(\mathbf r)\rangle_s\\ &=& \frac12 \alpha^2 \langle \phi_s(\mathbf 0)\phi_s(\mathbf 0)\rangle_s\\ &=& \frac12 \alpha^2\int_{\Lambda/b}^\Lambda\int_{\Lambda/b}^\Lambda\frac{d^2k_1}{(2\pi)^2}\frac{d^2k_2}{(2\pi)^2}\left\langle\phi(\mathbf k_1)\phi(\mathbf k_2)\right\rangle_s\\ &=& \frac12 \alpha^2\int_{\Lambda/b}^\Lambda\frac{d^2k}{(2\pi)^2}\frac{1}{k^2}\\ &=& \frac{\alpha^2}{4\pi}\int_{\Lambda/b}^\Lambda \frac{dk}{k}\\ &=& \frac{\alpha^2}{4\pi}\log b = -\frac{\alpha^2}{4\pi}s\\ \Rightarrow \langle e^{i\alpha\phi_s(\mathbf r)}\rangle_s &=&e^{-\alpha^2s/4\pi} \approx1-\frac{\alpha^2s}{4\pi} \end{eqnarray*} 를 얻는다. 따라서 $\langle V\rangle_s$는 \begin{eqnarray*} \langle V\rangle_s &=&-2y\int d^2r\,\text{Re}\left[\left\langle e^{i\alpha\phi_s(\mathbf r)}\right\rangle_se^{i\alpha\phi_l(\mathbf r)}\right]\\ &=&-2y\left(1-\frac{\alpha^2s}{4\pi}\right)\int d^2r \cos(\alpha\phi_l(\mathbf r)) \end{eqnarray*} 이다. 이를 가지고 재규격화된 해밀토니안을 \begin{eqnarray*} \Rightarrow\mathcal H'[\phi_l] &=&\mathcal H_{0.l}[\phi_l] + \langle V\rangle_s\\ &=&\int d^2r\left\{\frac12\vert\nabla\phi_l\vert^2 - 2y\left(1-\frac{\alpha^2s}{4\pi}\right)\cos(\alpha\phi_l(\mathbf r))\right\} \end{eqnarray*} 와 같이 쓸 수 있다. 이 다음으로는 축척인자 $b$만큼 줄어든 운동량 공간을 원래대로 돌려놓아야 한다. 이 작업이 위 그림 두번째 화살표에 해당하는 rescaling 과정이다.

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  • Last modified: 2022/08/02 16:05
  • by jiwon