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--- 수학:디락_델타_함수 [2016/04/06 09:24] – admin
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-======디락 델타 함수의 적분 표현식======
+======적분 표현======
+$f(x)$의 [[:수학:푸리에 변환]]
+$$f(x) = \int_{-\infty}^\infty g(k) e^{ikx} dx$$
+$$g(k) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty f(x) e^{-ikx} dk$$
+로부터 두 번째 식을 첫 번째 식에 대입하면
+\begin{eqnarray}
+f(x) &=& \int_{-\infty}^\infty \left[ \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty f(y) e^{-iky} dk \right] e^{ikx} dx\\
+&=& \int_{-\infty}^\infty f(y) \left( \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty e^{ik(x-y)} dk \right) dy\\
+&=& \int_{-\infty}^\infty f(y) \delta(x-y) dy
+\end{eqnarray}
+임을 알 수 있다. 식 (1)에서는 허깨비 변수 $y$를 사용했음에 유의한다. 즉
+$$\delta(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty e^{ikx} dk.$$
+=====직접 적분을 통한 유도=====
+위 식을 바로 적분해서 디락 델타 함수임을 볼 수도 있는데 이 때에는 약간의 트릭이 필요하다.
+작은 양수 $\epsilon$을 집어넣어서 적분의 진동을 감쇠시켜보자. 그 후에 $\epsilon\rightarrow 0$의 극한을 취할 것이다. 그러면
+\begin{eqnarray}
+\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty e^{ikx} dk &=& \lim_{\epsilon\rightarrow 0} \left[ \frac{1}{2\pi} \int_0^\infty e^{ikx-\epsilon x} dk + \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^0 e^{ikx+\epsilon x} dk \right]\\
+&=& \lim_{\epsilon\rightarrow 0} \frac{1}{2\pi} \left[ \frac{1}{\epsilon+ix} + \frac{1}{\epsilon-ix} \right]\\
+&=& \lim_{\epsilon\rightarrow 0} \frac{\epsilon}{\pi(\epsilon^2 + x^2)}
+\end{eqnarray}
+그런데 모든 $x\neq 0$에 대해서 $\lim_{\epsilon\rightarrow 0} \frac{\epsilon}{\pi(\epsilon^2 + x^2)}=0$이고, 임의의 $\epsilon>0$에 대해
+$$\int_{-\infty}^\infty \frac{\epsilon}{\pi(\epsilon^2 + x^2)} dx = 1$$
+이어서 디락 델타 함수의 성질을 가진다.
+======등식======
 $$\delta(t-t') = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty e^{i\omega(t-t')} d\omega$$
 인데, $\delta(t)$는 짝함수이므로 이는 또한
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 [[물리:칼데이라-레겟 모형]]의 흩어지기 부분을 묘사할 때 사용되는 식이다.
+======적분구간이 양수일 때======
+[[물리:랑주뱅 방정식|2종 요동-흩어지기 정리]]의 유도와 [[물리:칼데이라-레겟 모형]]의 흩어지기 부분 분석에서처럼
+$\delta(t)$를 $0$부터 $\infty$까지 적분해야 할 경우 $\delta(t)$가 짝함수이므로
+$$\int_0^\infty \delta(t) dt = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^\infty \delta(t) dt = \frac{1}{2}$$
+이라고 놓는다.
+======함수와 분포의 합성======
+매끄러운 함수 $g(x)=0$의 해가 $x_1, \ldots, x_K$라면 다음 등식이 성립한다:
+$$\delta\left[ g(x) \right] = \sum_{i=1}^K \frac{\delta(x-x_i)}{\left| g'(x_i) \right|}.$$
+적분 형식으로 적으면
+$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta\left[ g(x) \right] dx = \sum_{i=1}^K \frac{f(x_i)}{\left| g'(x_i) \right|}.$$
+이를 $N$차원에서 정의된 스칼라 함수로 일반화하여 적으면 $g(\mathbf{x})=0$을 만족하는 해 $\mathbf{x}_1, \ldots, \mathbf{x}_K$에 대해
+$$\int_{-\infty}^{\infty} f(\mathbf{x}) \delta\left[ g(\mathbf{x}) \right] dx = \sum_{i=1}^K \frac{f(\mathbf{x}_i)}{\left| \nabla g(\mathbf{x}_i) \right|}$$
+혹은
+$$\delta\left[ g(\mathbf{x}) \right] = \sum_{i=1}^K \frac{\delta(\mathbf{x}-\mathbf{x}_i)}{\left| \nabla g(\mathbf{x}_i) \right|}.$$
+계수(rank)가 $n$인 $n\times n$ 실수 행렬 $A$에 대해 다음 식이 성립한다:
+$$\delta(A\mathbf{x}) = \frac{1}{\left| \det A \right|} \delta (\mathbf{x}).$$
+======함께 보기======
+  * [[:수학:크로네커 델타]]
+======참고문헌======
+  * Lin Zhang, //Dirac Delta Function of Matrix Argument//, [[https://arxiv.org/pdf/1607.02871|arXiv:1607.02871]].