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--- 수학:디락_델타_함수 [2016/05/24 16:14] – [직접 적분을 통한 유도] admin
+++ 수학:디락_델타_함수 [2026/04/09 11:05] (current) – [함께 보기] admin
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-======적분 표현식======
+======적분 표현======
 $f(x)$의 [[:수학:푸리에 변환]]
 $$f(x) = \int_{-\infty}^\infty g(k) e^{ikx} dx$$
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 이라고 놓는다.
+======함수와 분포의 합성======
+매끄러운 함수 $g(x)=0$의 해가 $x_1, \ldots, x_K$라면 다음 등식이 성립한다:
+$$\delta\left[ g(x) \right] = \sum_{i=1}^K \frac{\delta(x-x_i)}{\left| g'(x_i) \right|}.$$
+적분 형식으로 적으면
+$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta\left[ g(x) \right] dx = \sum_{i=1}^K \frac{f(x_i)}{\left| g'(x_i) \right|}.$$
+이를 $N$차원에서 정의된 스칼라 함수로 일반화하여 적으면 $g(\mathbf{x})=0$을 만족하는 해 $\mathbf{x}_1, \ldots, \mathbf{x}_K$에 대해
+$$\int_{-\infty}^{\infty} f(\mathbf{x}) \delta\left[ g(\mathbf{x}) \right] dx = \sum_{i=1}^K \frac{f(\mathbf{x}_i)}{\left| \nabla g(\mathbf{x}_i) \right|}$$
+혹은
+$$\delta\left[ g(\mathbf{x}) \right] = \sum_{i=1}^K \frac{\delta(\mathbf{x}-\mathbf{x}_i)}{\left| \nabla g(\mathbf{x}_i) \right|}.$$
+계수(rank)가 $n$인 $n\times n$ 실수 행렬 $A$에 대해 다음 식이 성립한다:
+$$\delta(A\mathbf{x}) = \frac{1}{\left| \det A \right|} \delta (\mathbf{x}).$$
+======함께 보기======
+  * [[:수학:크로네커 델타]]
+======참고문헌======
+  * Lin Zhang, //Dirac Delta Function of Matrix Argument//, [[https://arxiv.org/pdf/1607.02871|arXiv:1607.02871]].