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--- 수학:안장점_근사 [2026/06/12 13:07] – [안장점 방법] admin
+++ 수학:안장점_근사 [2026/06/15 14:18] (current) – [안장점 방법] admin
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-======라플라스 방법======
-$$I = \int_a^b dt ~e^{-x f(t)} g(t)$$
-의 적분을 구하고자 한다.
-$x \gg 1$이고 구간 안의 어떤 $t_0$에서 $f$가 최소여서 $f'(t_0)=0$이며 $f''(t_0)>0$이라고 하자.
-$x$가 매우 크므로 $f$의 최소점 부근에서만 주로 적분의 기여가 있을 것으로 기대할 수 있다.
-이 최소점 주위에서 $f(t)$를 이차 함수로 전개하여
-$$f(t) \approx f(t_0) + \frac{1}{2} f''(t_0) (t-t_0)^2$$
-로 적는다. 위 적분은 다음과 같은 근사값을 가진다:
-\begin{eqnarray}
-I &\approx& e^{-x f(t_0)} \int_a^b dt \exp\left[ -\frac{1}{2} x f''(t_0) (t-t_0)^2 \right] g(t_0)\\
-&\approx& e^{-x f(t_0)} \sqrt{\frac{2}{f''(t_0)}} \int_{-\infty}^\infty e^{-xy^2} g(t_0).
-\end{eqnarray}
-이 때 $t = t_0 + y\sqrt{2/f''(t_0)}$처럼 $y$를 도입했고, 어차피 $t_0$에서 멀어진 부분은 무의미하므로 적분 구간을 실수 전체로 넓혔다. 이는 단순히 가우스 적분이므로
-$$I \approx e^{-x f(t_0)} g(t_0) \sqrt{\frac{2\pi}{x f''(t_0)}}$$
-을 얻는다.
 ======안장점 방법======
 채플링은 다음과 같은 구체적인 예로 설명하고 있다. $x$는 매우 큰 양수이다.
 $$I(x) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{x \phi(t)} dt = \int_{-\infty}^{\infty} e^{ix(t^4-4t)} dt.$$
-따라서 $\phi(z) \equiv iz^4 - 4iz$이고 $z=p+iq$로 실수부와 허수부를 표현하면,
+복소 적분을 활용하여 이 실수 적분의 값을 구하려고 한다. 이를 위해 복소평면상에서 적절한 경로(contour)를 택할 필요가 있다.
+먼저 $\phi(z) \equiv iz^4 - 4iz$로 정의하고 $z=p+iq$로 실수부와 허수부를 표현하면,
 $$\phi = u + iv = \left( -4p^3 q + 4pq^3 + 4q \right) + i\left(p^4 + q^4 - 6p^2 q^2 - 4p\right)$$
 로서 $u(p,q) = -4p^3 q + 4pq^3 + 4q$와 $v(p,q) = p^4 + q^4 - 6p^2 q^2 - 4p$이다.
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 \end{eqnarray*}
-$v(p,q)$가 상수 $C$가 되는 경로를 찾자. 지금의 경우 $z_0$를 대입하면 $C=-3$이고 나머지 두 해에 대해서는 $C =3/2$이다. 방정식 $v(p,q)=C$를 $q$에 대해 풀어보면,
+이 점들을 지나면서 피적분함수의 절댓값 크기가 가장 가파르게 변화하는 경로를 찾아야 한다. $\phi(z)$가 해석적인 함수이므로, $\nabla u$를 따라가는 경로는 $\phi$의 허수부인 $v(p,q)$가 상수 $C$가 되는 경로에 해당한다. 또 허수부가 상수이므로 피적분함수가 빠르게 진동할 때 생기는 수렴성의 문제도 피해갈 수 있다.
+지금의 경우 $z_0$를 대입하면 $C=-3$이고 나머지 두 해에 대해서는 $C =3/2$이다. 방정식 $v(p,q)=C$를 $q$에 대해 풀어보면,
 $$q = \pm \sqrt{3p^2 \pm \sqrt{8p^4+ 4p + C}}$$
 이고 이 선이 $C$의 값에 따라 $z_0$ 또는 $z_1$ 또는 $z_2$를 지나야 한다. 아래 그림은 $C=-3$일 때이고
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 {{:수학:steepest_contour2.png?400|}}
-경로의 양 끝이 어디를 향해야 하는지 알고 있으므로 그 조건을 만족하는 경로만을 고르면 아래와 같다. 이 경로는 $z_0$와 $z_2$를 지난다.
+경로의 양 끝이 어디를 향해야 하는지 알고 있으므로 그 조건을 만족하는 경로만을 고르면 아래와 같다. 이 경로는 $z_0=1$과 $z_2=e^{-2\pi i/3}$를 지난다. 두 곡선이 가까워지는 부분은 피적분함수가 0으로 접근하는 영역이므로 적분 값에 영향을 주지 않고 두 선을 연결할 수 있다.
 {{:수학:steepest_contour3.png?400|}}
-$z_0$와 $z_2$의 기여분을 비교해보면 ($\Re$는 실수부 의미)
+또 $z_0$와 $z_2$의 기여분을 비교해보면 ($\Re$는 실수부 의미)
 $$\frac{\exp\left[x \Re{\phi(z_2)}\right]}{\exp\left[x \Re{\phi(z_0)}\right]} = \exp \left( -\frac{3\sqrt{3}}{2}x \right)$$
 로서, $z_2$에서 오는 기여분이 지수함수적으로 작다. 따라서 $z_0=1$ 부근만을 살펴보기로 한다.
-$z_0$를 지나는 경로 $\gamma$를 실수 변수 $t$로 표현해보자: $F_n(t) = \sum_{k=0}^n c_k t^k$이고 계수 $c_k$는 복소수이다. 이를 따라갈 때에 $\phi = \phi(z_0) - t^2 + O(t^n)$ 형태가 되게끔 계수들을 결정하려고 한다. $c_0=z_0=1$임은 자명하다. 다음 식을 적고
+$z_0$를 지나는 경로 $\gamma$를 실수 변수 $t$의 급수 전개 $F_n(t) = \sum_{k=0}^n c_k t^k$로 표현해보자. 계수 $c_k$는 복소수이다. 이를 따라갈 때에 $\phi = \phi(z_0) - t^2 + O(t^n)$ 형태가 되게끔 계수들을 결정하려고 한다. $c_0=z_0=1$임은 자명하다. 다음 식을 적고
 \begin{eqnarray*}
 \phi(1+c_1t+\ldots) &=& -3i + 6i c_1^2 t^2 + 4i(c_1^3+3c_2 c_1) t^3 + i(c_1^4 + 12 c_2 c_1^2 + 12 c_3 c_1 + 6 c_2^2) t^4 + \ldots\\
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 계수끼리 비교해보면, $6i c_1^2 =-1$에서 $c_1 = e^{i\pi/4}/\sqrt{6}$이고
 $c_1^3+3c_2 c_1 = 0$에서 $c_2 = -i/18$이다. 이어 이 값들을 $c_1^4+12c_2 c_1^2+12c_3 c_1 + 6c_2^2 = 0$에 대입하면 $c_3 = -\frac{7}{432\sqrt{3}}(1-i)$이다.
+이렇게 근사한 경로는 $t \in (-\epsilon, \epsilon)$ 영역에서 원래의 $\gamma$를 따라가며($\epsilon$은 적절한 양수), 이를 $\gamma_\epsilon$이라고 부를 것이다.
-$$I(x) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{x\phi(t)} dt = $$
+$$I(x) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{x\phi(t)} dt = \int_\gamma e^{x\phi(z)} dz \approx \int_{\gamma_\epsilon} e^{x\phi(z)} dz = \int_{-\epsilon}^{\epsilon} e^{x\phi\left[ z(t) \right]} z'(t) dt$$
+경로 상에서 $z(t) = 1 + c_1 t+ c_2 t^2 + c_3 t^3 + \ldots$이고 따라서 $z'(t) = c_1 + 2c_2 t + 3c_3 t^2 +\ldots$로 적을 수 있다. 그러면 $u \equiv \sqrt{x}t$로 변수변환할 때 다음처럼 적분을 수행할 수 있다:
+\begin{eqnarray*}
+I(x) &\approx& e^{-3ix} \int_{-\epsilon}^{\epsilon} e^{-xt^2} \left( c_1 + 2c_2 t + 3c_3 t^2 \right) dt\\
+&=& \frac{e^{-3ix}}{\sqrt{x}} \int_{-\sqrt{x}\epsilon}^{\sqrt{x}\epsilon} e^{-u^2} \left( c_1 + 2c_2 \frac{u}{\sqrt{x}} + 3c_3 \frac{u^2}{x} \right) du\\
+&\approx& \frac{e^{-3ix}}{\sqrt{x}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-u^2} \left( c_1 + 2c_2 \frac{u}{\sqrt{x}} + 3c_3 \frac{u^2}{x} \right) du\\
+&=& e^{-3ix + i\pi/4} \frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{6x}} \left( 1 + \frac{7i}{144x} \right).
+\end{eqnarray*}
+만일 큰 고민 없이 곧바로 [[수학:라플라스의_방법|라플라스의 방법]]을 쓴다고 하면 얻게 되는 결과는
+$$I(x) \approx e^{-3ix} \frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{6x}}.$$
 ======함께 보기======
-[[물리:평균장 이론]]
+  * [[수학:라플라스의_방법|라플라스의 방법]]
+  * [[수학:정지_위상_근사|정지 위상 근사]]
-[[물리:무작위장 이징 모형]]
+  * [[물리:평균장 이론]]
+  * [[물리:무작위장 이징 모형]]
 ======참고문헌======
   * Richard Chapling, [[https://rc476.user.srcf.net/asymptoticmethods/am_steepdesc.v2.1.pdf|Summary: The Method of Steepest Descent]].