수학:안장점_근사

내용

$$I = \int_a^b dt ~e^{-x f(t)} g(t)$$ 의 적분을 구하고자 한다. $x \gg 1$이고 구간 안의 어떤 $t_0$에서 $f$가 최소여서 $f'(t_0)=0$이며 $f''(t_0)>0$이라고 하자. $x$가 매우 크므로 $f$의 최소점 부근에서만 주로 적분의 기여가 있을 것으로 기대할 수 있다. 이 최소점 주위에서 $f(t)$를 이차 함수로 전개하여 $$f(t) \approx f(t_0) + \frac{1}{2} f''(t_0) (t-t_0)^2$$ 로 적는다. 위 적분은 다음과 같은 근사값을 가진다: \begin{eqnarray} I &\approx& e^{-x f(t_0)} \int_a^b dt \exp\left[ -\frac{1}{2} x f''(t_0) (t-t_0)^2 \right] g(t_0)\\ &\approx& e^{-x f(t_0)} \sqrt{\frac{2}{f''(t_0)}} \int_{-\infty}^\infty e^{-xy^2} g(t_0). \end{eqnarray} 이 때 $t = t_0 + y\sqrt{2/f''(t_0)}$처럼 $y$를 도입했고, 어차피 $t_0$에서 멀어진 부분은 무의미하므로 적분 구간을 실수 전체로 넓혔다. 이는 단순히 가우스 적분이므로 $$I \approx e^{-x f(t_0)} g(t_0) \sqrt{\frac{2\pi}{x f''(t_0)}}$$ 을 얻는다.

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  • Last modified: 2018/05/16 10:32
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