경제학:공통_지식 [statphys]

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======정보의 모형======
세계의 상태 $\omega$가 있고 이는 집합 $\Omega$의 원소이다. '앎'이란 세계의 상태가 이쪽인지 저쪽인지 구분할 수 있다는 의미여서, 나의 앎은 $\Omega$의 분할(partition)로 표현된다. 예를 들어 $\Omega = \{1,2,3\}$이라고 하자. 나의 정보 분할(information partition)이 $\{\{1,2\},\{3\}\}$으로 주어진다면, 이는 실제 세계의 상태가 $\omega=3$일 때 나는 그것을 $\{3\}$임을 알지만 $\omega=1$ 또는 $2$라면 나는 그 중 무엇이 참인지 알지 못한다는 뜻이다.

어떤 사건의 용의자가 있고 그의 지문이 현장이 남아있는지 확인해본다고 했을 때, 네 가지의 상태가 가능하다.
  * $\omega = 1$: 용의자는 실제 유죄이고 지문이 현장에 있다.
  * $\omega = 2$: 용의자는 실제 유죄이지만 지문이 현장에 없다.
  * $\omega = 3$: 용의자는 실제 무죄이지만 어떤 이유에서인지 지문이 현장에 있다.
  * $\omega = 4$: 용의자는 실제 무죄이고 지문도 현장에 없다.

용의자가 유죄인 '사건(event)'에 주의를 기울인다면 이 사건은 $E = {1,2}$로 표현될 수 있다. 그리고 세계의 가능한 상태들에 '사전(prior)' 확률들을 지정하면 확률 공간(probability space)을 얻게 된다. 만일 위의 네 상태들에 각각 확률 $0.4$, $0.1$, $0.05$, 그리고 $0.45$를 지정한다고 해보자. 지문이 발견되었을 때 용의자가 유죄일 '사후(posterior)' 확률은 [[수학:베이즈의_정리|베이즈의 정리]]에 따라 다음처럼 계산된다:
$$\text{Pr}\left(\text{guilty}|\text{fingerprints}\right) = \frac{\text{Pr}(\omega_1)}{\text{Pr}(\omega_1 \cup \omega_3)} = \frac{0.4}{0.4+0.05} \approx 0.889.$$

======앎에 대한 앎======
$\Omega = {1,2,3,4,5,6,7,8}$이라고 하자. 나의 분할이 $\mathcal{P}_1 = \{\{1,2,3\}, \{4,5\}, \{6,7,8\}\}$이고 당신의 분할이 $\mathcal{P}_2 = \{\{1,2\}, \{3,4,\}, \{5\}, \{6,7\}, \{8\}\}$이다. 서로의 정보 분할은 알려져 있다. 실제 세계의 상태는 $\omega=5$라고 하자.

당신은 세계의 상태가 $\omega=5$임을 안다.

반면 나는 $4$ 또는 $5$라는 사실밖에 알지 못한다. $\omega=5$라면 당신이 정확히 알겠지만, $\omega=4$라면 당신은 $3$ 또는 $4$를 생각할 것이다. 그래서 나는 당신이 세계의 상태를 $3$, $4$, 또는 $5$ 중의 하나로 알 것임을 안다.

/*
당신은 내가 세계를 $4$와 $5$ 중의 하나로 알 것임을 안다. 만일 $\omega=4$라면 당신은 $3$과 $4$를 구분하지 못하고 둘 다 가능한 것으로 여길 것이기 때문에, $\omega=3$으로서 내가 $1$, $2$, $3$ 중의 하나를 $\omega$로 생각할 가능성도 있다고 생각할 것이다(라고 내가 생각한다). 마찬가지로 $\omega=5$라면 당신은 $4$와 $5$도 내게 가능한 상태로 보일 것이라고 추측할 것이다(라고 내가 생각한다). 따라서 당신이 나에 대해 아는 것을 내 입장에서 생각하면, $\omega$가 $\{1,2,3,4,5\}$ 중의 하나라는 것이다.
*/


======참고문헌======
  * D. Quint, //Five Beautiful Results in Micro Theory, With Proofs// [[https://www.ssc.wisc.edu/~dquint/econ698|(link)]]