수학:라플라스_방정식

개요

성질

함수 $u(x,y)$가 라플라스 방정식 $\nabla^2 u = u_{xx} + u_{yy} = 0$의 해라고 하자. 어떤 점 $(x_0, y_0)$ 주변으로 반지름 $r$인 원을 그리고 그 원주 $(x,y) = (x_0 + r\cos\theta, y_0 + r\sin\theta)$를 따라 $u$를 평균한 값을 다음처럼 적을 수 있다. \begin{eqnarray*} f(r|x_0, y_0) &=& \frac{1}{2\pi r} \int_0^{2\pi} u(x_0 + r\cos\theta, y_0 + r\sin\theta) r d\theta\\ &=& \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} u(x_0 + r\cos\theta, y_0 + r\sin\theta) d\theta \end{eqnarray*} 이 식이 반지름 $r$과 $r+dr$사이에서 얼마나 변하는지 보기 위해 $r$로 전체를 미분해보자. 사슬 규칙을 사용하면 \begin{eqnarray*} \frac{d}{dr} f(r|x_0, y_0) &=& \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} (u_x \cos\theta + u_y \sin\theta) d\theta\\ &=& \frac{1}{2\pi r} \int_0^{2\pi} (u_x r\cos\theta + u_y r\sin\theta) d\theta \end{eqnarray*} 이다. 이제 그린의 정리를 사용하자: \[ \oint_{\partial \Omega} (P dx + Q dy) = \iint_A \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx dy. \] 우리의 문제에서 $dx = -r\sin\theta d\theta$, $dy = r\cos\theta d\theta$이므로 $P = -u_y$, $Q = u_x$로 잡으면 \[ \oint_{\partial \Omega} (P dx + Q dy) = \int_0^{2\pi} (-P r \sin\theta d\theta + Q r \cos\theta d\theta) = \iint_A \left( u_{xx} + u_{yy} \right) dx dy = 0 \] 이다. 즉 $f(r|x_0, y_0)$는 $r$에 대해 변화하지 않으며, $r\to 0$에서는 $u(x_0,y_0)$로 수렴할 것이다. 따라서 $r$에 상관없이 다음 식이 성립한다. \[ u(x_0, y_0) = \frac{1}{2\pi r} \int_0^{2\pi} u(x_0 + r\cos\theta, y_0 + r\sin\theta) r d\theta. \]

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참고문헌

  • 수학/라플라스_방정식.txt
  • Last modified: 2020/10/13 21:13
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