물리:드알메이다-사울레스_선 [statphys]

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=====드알메이다-사울레스 선=====
[[물리:셰링턴-커크패트릭_모형|셰링턴-커크패트릭 모형]]의 [[물리:복제_트릭|복제 트릭]]에서 $n$개의 복제본에 대한 자유에너지를 다음처럼 적었다:
$$
-\beta[f] = \lim_{n\rightarrow0}\left\{-\frac{\beta^2J^2}{4n}\sum_{\alpha\neq\beta}q_{\alpha\beta}^2 - \frac{\beta J_0}{2n}\sum_\alpha m_\alpha^2 + \frac14\beta^2J^2+\frac1n\ln\text{Tr}' e^L \right\}.
$$

여기서 $h=0$으로 놓고 $\beta Jq_{\alpha\beta} \equiv y^{\alpha\beta}$와 $\sqrt{\beta J_0}m_\alpha \equiv x^\alpha$을 정의하면 자유에너지는

$$
[f] = -\frac{\beta J^2}{4} - \lim_{n\rightarrow0}\frac{1}{\beta n}\left\{-\sum_{\alpha\beta}\frac12(y^{\alpha\beta})^2 - \sum_\alpha\frac12(x^\alpha)^2 + \ln\text{Tr}' \exp \left(\beta J\sum_{\alpha<\beta}y^{\alpha\beta}S^\alpha S^\beta + \sqrt{\beta J_0} \sum_\alpha x^\alpha S^\alpha\right) \right\}
$$

가 된다. [[물리:복제_대칭_해|복제 대칭 해]]가 안정적인지를 보려면 질서 변수들이 복제 대칭해를 조금 벗어나도록 하고 이들의 계수의 부호를 보면 될 것이다. 즉
$$
x^\alpha = x+\epsilon^\alpha,\quad y^{\alpha\beta} = y + \eta^{\alpha\beta}
$$
로 두고 $\eta^{\alpha\beta}$, $\epsilon^\alpha$로 전개할 것이다. 먼저 $\ln\text{Tr}' \exp$항은
$$
\ln\text{Tr}' \exp\left(L_0+\beta J\sum_{\alpha<\beta}\eta^{\alpha\beta}S^\alpha S^\beta + \sqrt{\beta J_0}\sum_\alpha \epsilon^\alpha S^\alpha\right)
$$

인데, 여기서 $L_0 = \beta Jy\sum_{\alpha<\beta}S^\alpha S^\beta + \sqrt{\beta J_0}x\sum_\alpha S^\alpha$로, $\epsilon^\alpha$ 및 $\eta^{\alpha\beta}$와는 상관없는 항이다. 그러므로 $L_0$를 빼고 $\exp$항을 2차항까지 전개하면 ($e^x = 1+x+x^2/2 + \ldots$)

\begin{align*}
    &\ln\text{Tr}' \exp\left(L_0+\beta J\sum_{\alpha<\beta}\eta^{\alpha\beta}S^\alpha S^\beta + \sqrt{\beta J_0}\sum_\alpha\epsilon^\alpha S^\alpha\right)\\
    =&\ln\text{Tr}'e^{L_0}\left[1+\beta J\sum_{\alpha<\beta}\eta^{\alpha\beta}S^\alpha S^\beta + \sqrt{\beta J_0}\sum_\alpha\epsilon^\alpha S^\alpha+\frac12\left(\beta J\sum_{\alpha<\beta}\eta^{\alpha\beta}S^\alpha S^\beta + \sqrt{\beta J_0}\sum_\alpha\epsilon^\alpha S^\alpha\right)^2\right]\\
    =&\ln\left[\text{Tr}'e^{L_0}+\text{Tr}'e^{L_0}\left(\beta J\sum_{\alpha<\beta}\eta^{\alpha\beta}S^\alpha S^\beta + \sqrt{\beta J_0}\sum_\alpha\epsilon^\alpha S^\alpha\right)+\frac12\text{Tr}'e^{L_0}\left\{\left(\beta J\sum_{\alpha<\beta}\eta^{\alpha\beta}S^\alpha S^\beta + \sqrt{\beta J_0}\sum_\alpha\epsilon^\alpha S^\alpha\right)^2\right\}\right]
\end{align*}
여기서 $\langle A\rangle_{L_0}=\text{Tr}'(e^{L_0}A)/\text{Tr}'e^{L_0}$로 쓰면 위 식은
\begin{align*}
    =&\ln\text{Tr}'e^{L_0}+\ln\left[1+\left\langle\beta J\sum_{\alpha<\beta}\eta^{\alpha\beta}S^\alpha S^\beta + \sqrt{\beta J_0}\sum_\alpha\epsilon^\alpha S^\alpha\right\rangle_{L_0}+\frac12\left\langle\left(\beta J\sum_{\alpha<\beta}\eta^{\alpha\beta}S^\alpha S^\beta + \sqrt{\beta J_0}\sum_\alpha\epsilon^\alpha S^\alpha\right)^2\right\rangle_{L_0}\right]
\end{align*}
로 쓸 수 있고 $\ln(1+\langle x\rangle + \frac12\langle x\rangle^2+\cdots) = \langle x\rangle+\frac12(\langle x^2\rangle-\langle x\rangle^2)+\cdots$임과 $\epsilon^\alpha$ 및 $\eta^{\alpha\beta}$에 대한 1차항들은 극값 조건에 의해 사라진다는 조건을 적용하면 최종적으로
\begin{align*}
    &\ln\text{Tr}' \exp\left(L_0+\beta J\sum_{\alpha<\beta}\eta^{\alpha\beta}S^\alpha S^\beta + \sqrt{\beta J_0}\sum_\alpha\epsilon^\alpha S^\alpha\right)\\
    =& \ln\text{Tr}'e^{L_0} + \frac12\beta^2J^2\sum_{\alpha<\beta}\sum_{\gamma<\delta}\eta^{\alpha\beta}\eta^{\gamma\delta}\left(\left\langle S^\alpha S^\beta S^\gamma S^\delta\right\rangle_{L_0}-\left\langle S^\alpha S^\beta \right\rangle_{L_0}\left\langle S^\gamma S^\delta \right\rangle_{L_0}\right)\\
    &+ \beta J\sqrt{\beta J_0}\sum_{\alpha<\beta}\sum_\gamma\eta^{\alpha\beta}\epsilon^\gamma\left(\left\langle S^\alpha S^\beta S^\gamma\right\rangle_{L_0}-\left\langle S^\alpha S^\beta\right\rangle_{L_0}\left\langle S^\gamma\right\rangle_{L_0}\right) + \frac12 \beta J_0\sum_{\alpha\beta}\epsilon^\alpha\epsilon^\beta\left(\left\langle S^\alpha S^\beta\right\rangle_{L_0}-\left\langle S^\alpha\right\rangle_{L_0}\left\langle S^\beta\right\rangle_{L_0}\right)
\end{align*}
가 된다. $\epsilon^\alpha$ 및 $\eta^{\alpha\beta}$의 2차항에 해당하는 성분을 모아 $\Delta$라고 쓰면 자유에너지를
$$\left[f\right] = -\frac{\beta J^2}{4} - \lim_{n\rightarrow0}\frac1{\beta n}\left\{-\frac14n(n-1)y^2-\frac12nx^2-\Delta\right\}$$
의 꼴로 쓸 수 있고, 
\begin{align*}
    \Delta=&\frac12\sum_{\alpha<\beta}\sum_{\gamma<\delta}\eta^{\alpha\beta}\eta^{\gamma\delta}\left[\delta_{(\alpha\beta)(\gamma\delta)}-\beta^2J^2\left(\left\langle S^\alpha S^\beta S^\gamma S^\delta\right\rangle_{L_0}-\left\langle S^\alpha S^\beta \right\rangle_{L_0}\left\langle S^\gamma S^\delta \right\rangle_{L_0}\right)\right]\\
    &+ \beta J\sqrt{\beta J_0}\sum_{\alpha<\beta}\sum_\gamma\eta^{\alpha\beta}\epsilon^\gamma\left(\left\langle S^\alpha S^\beta\right\rangle_{L_0}\left\langle S^\gamma\right\rangle_{L_0}-\left\langle S^\alpha S^\beta S^\gamma\right\rangle_{L_0}\right) + \frac12 \sum_{\alpha\beta}\epsilon^\alpha\epsilon^\beta\left[\delta_{\alpha\beta}-\beta J_0\left(\left\langle S^\alpha S^\beta\right\rangle_{L_0}-\left\langle S^\alpha\right\rangle_{L_0}\left\langle S^\beta\right\rangle_{L_0}\right)\right]
\end{align*}
이다. 오해의 여지가 없으므로 앞으로 $\langle \cdots\rangle_{L_0}$을 $\langle\cdots\rangle$로 쓰자. 이제 안정성을 논할 차례인데 $\Delta$는 $\epsilon^\alpha$ 및 $\eta^{\alpha\beta}$에 대한 2차항 뿐 아니라 교차항도 포함하고 있으므로 벡터
$$
\vec\mu=\begin{pmatrix}
    \{\epsilon^\alpha\}\\
    \{\eta^{\alpha\beta}\}
\end{pmatrix}
$$
를 도입해 다음과 같은 2차 형식으로 쓸 수 있고,
$$\Delta=\vec\mu^TG\vec\mu$$
해의 안정성은 이 행렬 $G$의 고윳값의 부호를 통해 살펴볼 수 있다. 만약 모든 고윳값이 양수이면, 복제 대칭해가 극솟값이므로 복제 대칭해는 안정적일 것이다. 행렬 $G$의 각 성분은 $\epsilon^\alpha$, $\eta^{\alpha\beta}$의 계수로부터 알아낼 수 있는데 예를 들어 $\epsilon^\alpha\epsilon^\beta$항으로부터
\begin{align*}
    G_{\alpha\alpha} &= 1-\beta J_0(1-\langle S^\alpha\rangle^2)\\
    G_{\alpha\beta} &= -\beta J_0(\langle S^\alpha S^\beta\rangle-\langle S^\alpha\rangle\langle S^\beta\rangle)
\end{align*}
임을 알 수 있다. 마찬가지로 가능한 2차항의 조합을 모두 생각한다면 행렬 $G$의 성분을 다음과 같이 모두 표현할 수 있다.
\begin{align*}
    G_{(\alpha\beta)(\alpha\beta)}&= 1-\beta^2J^2(1-\langle S^\alpha S^\beta\rangle^2)\\
    G_{(\alpha\beta)(\alpha\gamma)}&= -\beta^2J^2(\langle S^\beta S^\gamma\rangle - \langle S^\alpha S^\beta\rangle\langle S^\alpha S^\gamma\rangle)\\
    G_{(\alpha\beta)(\gamma\delta)}&= -\beta^2J^2(\langle S^\alpha S^\beta S^\gamma S^\delta\rangle-\langle S^\alpha S^\beta\rangle\langle S^\gamma S^\delta\rangle)\\
    G_{\alpha(\alpha\beta)} &= \beta J\sqrt{\beta J_0}(\langle S^\alpha\rangle\langle S^\alpha S^\beta\rangle-\langle S^\beta\rangle)\\
    G_{\gamma(\alpha\beta)} &= \beta J\sqrt{\beta J_0}(\langle S^\gamma\rangle\langle S^\alpha S^\beta\rangle-\langle S^\alpha S^\beta S^\gamma\rangle)
\end{align*}
그리고 복제 대칭성을 가정하고 있으므로
\begin{align*}
    \langle S^\alpha\rangle&\equiv m=\int Dz \tanh\beta\tilde H(z)\\
    \langle S^\alpha S^\beta\rangle&\equiv q=\int Dz \tanh^2\beta\tilde H(z)\\
    \langle S^\alpha S^\beta S^\gamma\rangle&\equiv t=\int Dz \tanh^3\beta\tilde H(z)\\
    \langle S^\alpha S^\beta S^\gamma S^\delta\rangle&\equiv r=\int Dz \tanh^4\beta\tilde H(z)
\end{align*}
로 쓰면 각 성분은
\begin{align*}
    G_{\alpha\alpha} &\equiv A = 1-\beta J_0(1-m^2)\\
    G_{\alpha\beta} &\equiv B=-\beta J_0(q-m^2)\\
    G_{(\alpha\beta)(\alpha\beta)}&\equiv P=1-\beta^2J^2(1-q^2)\\
    G_{(\alpha\beta)(\alpha\gamma)}&\equiv Q=-\beta^2J^2(q-q^2)\\
    G_{(\alpha\beta)(\gamma\delta)}&\equiv R=-\beta^2J^2(r-q^2)\\
    G_{\alpha(\alpha\beta)} &\equiv C=\beta J\sqrt{\beta J_0}(mq-m)\\
    G_{\gamma(\alpha\beta)} &\equiv D=\beta J\sqrt{\beta J_0}(mq-t)
\end{align*}
로 간단하게 쓸 수 있다.
====상자성 해에서의 안정성====
상자성 해의 경우 $m=q=t=r=0$이므로 대부분의 성분은 사라지고 대각 성분인
\begin{align*}
    A&=1-\beta J_0\\
    P&=1-\beta^2 J^2
\end{align*}
만이 살아남는다. 복제 대칭해가 안정적이려면 $1-\beta J_0>0$, $1-\beta^2 J^2$를 만족해야 하는데 이 조건은 $T>J_0$, $T>J$와 같다. 위상도표에서도 알 수 있듯이 안정성을 나누는 경계가 상의 경계이므로 상자성 해의 경우엔 복제 대칭해가 항상 안정적이다.

====강자성 해에서의 안정성====

강자성 해의 경우, $m,q\neq0$이므로 다음과 같은 고윳값방정식을 풀어야 한다.
$$G\vec\mu = \lambda\vec\mu,\quad \vec\mu = \begin{pmatrix}
    \{\epsilon^\alpha\}\\ \{\eta^{\alpha\beta}\}
\end{pmatrix}$$
강자성 해가 안정적이려면 이 고윳값 방정식을 통해 얻어낸 $\lambda$가 모두 양수여야 할 것이다.

=== (1) $\epsilon^\alpha=a$이고 $\eta^{\alpha\beta}=b$인 경우 ===
이 경우는 $\vec\mu_1 = (a,\dots,a,b,\dots,b)$의 꼴로 쓰여지기 때문에 첫 번째 행과 $n+1$번째 행만 살펴보면 된다. $G$의 첫 번째 행은
$$(A,B,\dots,B,C,\dots,C,D,\dots,D)$$
이고, 이를 $\vec\mu_1$와 곱하면
$$Aa+(n-1)Ba+(n-1)Cb+\frac12(n-1)(n-2)Db=\lambda_1a$$
가 된다. 마찬가지로 $G$의 $n+1$번째 행은
$$(C,C,D,\dots,D,P,Q,\dots,Q,R,\dots,R)$$
이고, $\vec\mu_1$와 곱하면
$$2Ca+(n-2)Da+Pb+2(n-2)Qb+\frac12(n-2)(n-3)Rb=\lambda_1b$$
가 된다. 위 두 식을 연립해서 $\lambda_1$을 구하고 $n\rightarrow0$인 극한을 취해주면
$$\lambda_1 = \frac12\left(A-B+P-4Q+3R\pm\sqrt{(A-B-P+4Q-3R)^2-8(C-D)^2}\right)$$
를 얻는다.

===(2) 특정 복제본 $\theta$에 대해서는 $\epsilon^\theta=a$, $\eta^{\theta\theta}=\eta^{\alpha\theta}=\eta^{\theta\alpha}= c$이고 나머지는 $\epsilon^\alpha=b$와 $\eta^{\alpha\beta}=d$인 경우===
편의상 $\theta=1$로 두자. 위의 경우와 마찬가지로 첫 번째 행과 $n+1$번째 행을 통해 
\begin{align*}
    Aa+(n-1)Bb+Cc(n-1)+\frac12Dd(n-1)(n-2)&=\lambda_2a\\ 
    aC+bC+(n-2)Db+Pc+(n-2)Qc+(n-2)Qd+\frac12(n-2)(n-3)Rd&=\lambda_2c
\end{align*}
임을 알 수 있다. 그리고 고유벡터 $\vec\mu_2$의 $\vec\epsilon_2, \vec\eta_2$는 앞에서 구했던 $\vec\epsilon_1, \vec\eta_1$들과 각각 직교할 것이므로 $\vec\epsilon_1\cdot\vec\epsilon_2=\vec\eta_1\cdot\vec\eta_2=0$인 조건을 통해
$$a+(n-1)b=0,\quad c+\frac12(n-2)d=0$$
를 만족해야 한다. 이를 대입하고 위 연립방정식을 푼 뒤에 $n\rightarrow0$인 극한을 취해주면 
$$\lambda_2 = \frac12\left(A-B+P-4Q+3R\pm\sqrt{(A-B-P+4Q-3R)^2-8(C-D)^2}\right)$$
를 얻는다. 이는 $\lambda_1$과 동일하다.

=== (3) 특정 복제본 $\theta,\nu$에 대해 $\epsilon^\theta=\epsilon^\nu=a$이고 $\eta^{\theta\nu}=c$와 $\eta^{\theta\alpha}=\eta^{\nu\alpha}=d$, 나머지에 대해서는 $\epsilon^\alpha=b$이고 $\eta^{\alpha\beta}=e$인 경우===
이번에도 편의상 $\theta=1$, $\nu=2$로 두자. 먼저 $\vec\mu_1=(x,\dots,x,y,\dots,y)^T$와 $\vec\mu_3$의 직교조건을 이용하면
$$2a+(n-2)b=0,\quad c+2(n-2)d+\frac12(n-2)(n-3)e=0$$
이고, $\vec\mu_2=(x,y,\dots,y,v,\dots,v,w,\dots,w)^T$와 $\vec\mu_3$의 직교조건을 이용하면
$$ax+ay+(n-2)by=0,\quad cv+(n-2)dv=0,\quad (n-2)dw+\frac12(n-2)(n-3)ew=0$$
를 얻는데, $\vec\mu_2$의 제약조건 $x+(n-1)y=0$를 적용하면
$$a=b=0,\quad c=(2-n)d,\quad d+\frac12(n-3)e=0$$
가 되어야 함을 알 수 있다. 따라서 $\vec\mu_3=(0,\dots,0,c,d,\dots,d,e,\dots,e)^T$를 가정하고 고윳값 방정식을 풀면
$$Pc+2(n-2)Qd+\frac12(n-2)(n-3)Re=\lambda_3c$$
가 되고, $n\rightarrow0$인 극한을 취해주면
$$\lambda_3=P-2Q+R$$
이 됨을 알 수 있다. 여기서 특정한 복제본 $\theta,\nu$를 선택하는 경우의 수는 $n(n-1)/2$이므로 $\lambda_3$까지만 고려하면 $G$의 차원을 모두 채우게 된다. 앞의 표현식들을 활용하면
\begin{eqnarray*}
\lambda_3 &=& \left[1-\beta^2 J^2 (1-q^2) \right] - 2\left[ -\beta^2 J^2 (q-q^2) -\beta^2 J^2 (r-q^2) \right]\\
&=& 1-\beta^2 J^2 (1-2q+r)\\
&=& 1-\beta^2 J^2 \int Dz~ \left[ 1-\tanh^2 \beta\tilde{H}(z) \right]^2\\
&=& 1-\beta^2 J^2 \int Dz~ \text{sech}^4 \beta \tilde{H}(z).
\end{eqnarray*}

이제 구해낸 두 타입의 고윳값 $\lambda_1=\lambda_2$, $\lambda_3$의 부호를 살펴볼 차례이다. 먼저 $\lambda_{1,2}$가 양수일 충분조건은
$$
    A-B = \frac1{J_0}\left.\frac{\partial^2[f]}{\partial m^2}\right\vert_{RS}>0,\quad P-4Q+3R=-\left.\frac2{\beta J^2}\frac{\partial^2[f]}{\partial q^2}\right\vert_{RS}>0
$$
인데, 이는 복제 대칭해의 자유에너지를 통해 항상 성립함을 볼 수 있다. 반면, $\lambda_3>0$일 충분조건은
$$\left(\frac TJ\right)^2>\int Dz\,\text{sech}^4\left(\beta J\sqrt qz+\beta J_0m\right)$$
인데 이 조건은 항상 성립하지는 않는다. 예를 들어, $J_0=0$이고 외부 자기장 $h$가 존재할 때 위 식을 수치적으로 풀어보면 복제 대칭해가 안정적인 영역과 그렇지 않은 영역을 구해낼 수 있다.

{{:물리:atline.png?500|}}


====비선형 감수율====

다음과 같이 스핀 유리의 감수율을 정의하자:
\[ \chi_\text{SG} = \frac{1}{T^2} \frac{1}{N} \sum_{i,j=1}^N \left[ \left( \langle S_i S_j \rangle - \langle S_i \rangle \langle S_j \rangle \right)^2 \right]. \]
이를 전개했을 때 나오는 항들을 복제본의 관점에서는 다음처럼 표현할 수 있다:
\begin{eqnarray*}
\left[ \langle S_i S_j \rangle^2 \right] &=& \lim_{n\to 0} \frac{1}{n(n-1)} \sum_{(\alpha,\beta)} \langle S_i^\alpha S_j^\alpha S_i^\beta S_j^\beta \rangle\\
\left[ \langle S_i S_j \rangle \langle S_i \rangle \langle S_j \rangle \right] &=& \lim_{n\to 0} \frac{1}{n(n-1)(n-2)} \sum_{(\alpha,\beta,\gamma)} \langle S_i^\alpha S_j^\alpha S_i^\beta S_j^\gamma \rangle\\
\left[ \langle S_i \rangle^2 \langle S_j \rangle^2 \right] &=& \lim_{n\to 0} \frac{1}{n(n-1)(n-2)(n-3)} \sum_{(\alpha,\beta,\gamma,\delta)} \langle S_i^\alpha S_j^\beta S_i^\gamma S_j^\delta \rangle.
\end{eqnarray*}
여기에서 $(\alpha,\beta)$ 등에 대한 합 기호는 서로 다른 복제본들 집합 모두에 대한 합을 의미한다. 우변에서 복제본이 달라지는 것이 좌변에서는 독립적으로 열적평균을 취하는 것에 대응된다.

[[물리:복제_트릭|복제 트릭]]에서 $J_0=h=0$의 경우 아래 식을 얻을 수 있다:
\[ \left[Z^n\right] = \text{Tr}_n \exp \left[ \frac{1}{N} \sum_{i<j} \frac{1}{2}\beta^2 J^2 \sum_{\alpha,\beta=1}^n S_{i}^{\alpha} S_{j}^{\alpha} S_{i}^{\beta} S_{j}^{\beta} \right]. \]
$\sum_i S_i^\alpha S_i^\beta$에 결합하는 장 $\Delta_{\alpha\beta}$를 추가하면
\[ \left[Z^n\right] = \text{Tr}_n \exp \left[ \frac{1}{N} \sum_{i<j} \frac{1}{2}\beta^2 J^2 \sum_{\alpha,\beta=1}^n S_{i}^{\alpha} S_{j}^{\alpha} S_{i}^{\beta} S_{j}^{\beta} + \sum_{\alpha<\beta} \Delta_{\alpha\beta} \sum_i S_i^\alpha S_i^\beta \right], \]
그리고 평균 값들은 $\Delta_{\alpha\beta}=0$ 지점에서 미분을 취하여 다음처럼 계산한다 ($\alpha<\beta$, $\gamma<\delta$):
\begin{eqnarray*}
\sum_i \langle S_i^\alpha S_i^\beta \rangle  &=& \lim_{n\to 0} \frac{\partial}{\partial \Delta_{\alpha\beta}} \left[ Z^n \right]\\
\sum_i \langle S_i^\alpha S_i^\beta S_i^\gamma S_i^\delta \rangle  &=& \lim_{n\to 0} \frac{\partial^2}{\partial \Delta_{\alpha\beta} \partial \Delta_{\gamma\delta}} \left[ Z^n \right].
\end{eqnarray*}
[[물리:복제_트릭|복제 트릭]]에서 했던 것처럼 [[수학:허바드-스트라토노비치_변환|허바드-스트라토노비치 변환]]을 수행하면 다음을 얻는데
\begin{equation}
    \left[ Z^n \right] ~=~ \exp \left( \frac{N \beta^2 J^2 n}{4} \right) \int \prod_{\alpha < \beta} dq_{\alpha \beta}
    \exp \left( -\frac{N \beta^2 J^2}{2} \sum_{\alpha < \beta} q_{\alpha \beta}^2 \right)  \exp \left( N\ln \text{Tr}^{\prime} e^{L} \right).
\end{equation}
\begin{align}
    L \equiv \beta^2 J^2 \sum_{\alpha < \beta} \left[ q_{\alpha \beta} - (\beta J)^{-2} \Delta_{\alpha\beta} \right] S^{\alpha} S^{\beta}
\end{align}
다음처럼 새로운 변수를 도입하자:
\[ u_{\alpha\beta} \equiv q_{\alpha \beta} - (\beta J)^{-2} \Delta_{\alpha\beta}.\]
그러면
\[  L \equiv \beta^2 J^2 \sum_{\alpha < \beta} u_{\alpha \beta} S^{\alpha} S^{\beta} \]
이고 입자 하나당의 자유에너지는 이렇게 기술된다:
\[
-\beta \left[ f\right] = \lim_{n\to 0} \left\{ \frac{\beta^2 J^2}{4} - \frac{1}{4n} \sum_{(\alpha,\beta)} \left[ (\beta J)^2 u_{\alpha\beta}^2 + 2\Delta_{\alpha\beta} u_{\alpha\beta} + (\beta J)^{-2} \Delta_{\alpha\beta}^2 \right] + \frac{1}{n} \ln \text{Tr}' e^{L} \right\}.
\]
앞에서 보았던 대로 $\Delta_{\alpha\beta}$에 대한 미분을 시행하여 스핀 사이의 상관함수를 계산해보자:
\begin{eqnarray*}
\frac{1}{N} \sum_i \langle S_i^\alpha S_i^\beta \rangle &=& \lim_{n\to 0} \langle q_{\alpha\beta} \rangle\\
\frac{1}{N} \sum_i \langle S_i^\alpha S_i^\beta \rangle \langle S_i^\gamma S_i^\delta \rangle &=& \lim_{n\to 0} \left[ -(\beta J)^{-2} \delta_{\alpha\beta, \gamma\delta} + \langle q_{\alpha\beta} q_{\gamma\delta} \rangle \right].
\end{eqnarray*}
그러므로 감수율은 이렇게 표현할 수 있다:
\[ \chi_\text{SG} = \frac{1}{T^2} \left[ -(\beta J)^{-2} + \langle q_{\alpha\beta}^2 \rangle - 2\langle q_{\alpha\beta} q_{\alpha\gamma} \rangle + \langle q_{\alpha\beta} q_{\gamma\delta} \rangle \right]. \]
[[물리:복제_대칭_해|복제 대칭 해]]에서의 값 $q_c$로부터 벗어나는 정도를 가지고 표시해보면
\[ q_{\alpha\beta} = q_c + \delta q_{\alpha\beta} \]
로서, 위 식에 대입해보면 $q_c$는 모두 상쇄되고 아래처럼 기술된다:
\[ \chi_\text{SG} = \frac{1}{T^2} \left[ -(\beta J)^{-2} + \langle \delta q_{\alpha\beta}^2 \rangle - 2\langle \delta q_{\alpha\beta} \delta q_{\alpha\gamma} \rangle + \langle \delta q_{\alpha\beta} \delta q_{\gamma\delta} \rangle \right]. \]

극점 근처를 살펴보고 있으므로 자유에너지가 2차 함수 형태로 주어지는데
[[수학:윅의_정리|가우스 함수의 적분]]에서 볼 수 있듯이
\[P(\left\{ x \right\}) \propto \exp \left( -\frac12 x_i A_{ij} x_j \right) \]
이라면 상관함수가 $\left< x_i x_j \right> = \left( A^{-1} \right)_{ij}$로 주어진다. $\chi_\text{SG}$의 표현식에 등장하는 평균들은 세 항을 합쳐 $\lambda_3^{-1}$로 표현할 수 있고 그러면
\begin{eqnarray*}
\chi_\text{SG} &=& -\frac{1}{J^2} + \frac{1}{T^2} \frac{1}{\lambda_r}\\
&=& -\frac{1}{J^2} + \frac{1}{J^2} \frac{1}{1-(\beta J)^2 (1-2q + r)}\\
&=& \beta^2 \frac{1-2q+r}{1-(\beta J)^2 (1-2q + r)}\\
&=& \frac{\chi_\text{SG}^0}{1-J^2 \chi_\text{SG}^0}
\end{eqnarray*}
로서 $\chi_\text{SG}^0 \equiv \beta^2(1-2q+r)$이다.

이 양이 발산하는 지점은 위에서 구한 드알메이다-사울레스 선과 일치한다.


======함께 보기======
  *[[물리:tap_방정식|TAP 방정식]]


======참고문헌======
  *H. Nishimori, //Statistical physics of spin glasses and information processing an introduction// (Clarendon, Oxford, 2001).
  *A. P. Young, //Notes on the replica symmetric solution of the classical and quantum SK model, including the matrix of second derivatives and the spin glass susceptibility//, [[https://doi.org/10.48550/arXiv.1706.07315|arXiv:1706.07315]].
  *Tomoyuki Obuchi, //Role of the Finite Replica Analysis in the Mean-Field Theory of Spin Glasses//, [[https://arxiv.org/abs/1508.05225|arXiv:1508.05225]].