물리:포커-플랑크_방정식 [statphys]

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======포커-플랑크 방정식======
간단한 예로서 다음과 같은 확률미분방정식
$$dx = a[x(t)] dt + \sqrt{D} dW$$
가 주어져 있다고 하자. $D$는 상수로서 편의를 위해 $1$로 놓을 것이며, $dW$는 위너 확률과정이다.
시간을 이산화할 때에 이토 해석을 따르면, $a$를 $t+\Delta t$가 아니라 $t$의 시점에서 계산하므로 다음처럼 적게 된다:
$$x(t+\Delta t)-x(t) = a[x(t)] \Delta t + \Delta W.$$

시간 $t+\Delta t$에 위치 $x$에서 발견될 확률은 다음처럼 계산된다:
$$\rho(x, t+\Delta t) = \int dx' \int d\Delta W P(\Delta W) \delta \left[ x-x'-a(x')\Delta t- \Delta W \right] \rho(x',t).$$
즉 시간 $t$에 위치 $x'$에서 출발하되, $\Delta t$의 시간 동안 위의 이산 방정식을 통해 $x$에 도달할 수 있게끔 잡음이 발생할 확률들을 합하는 것이다.

다음의 두 식을 대입한다:
$$P(\Delta W) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \Delta t}} \exp \left[ -\frac{(\Delta W)^2}{2\Delta t}\right]$$
$$\delta(x) = \int \frac{dk}{2\pi} \exp[-ikx].$$
그러면 그 결과는 아래와 같다:
\begin{eqnarray*}
\rho(x, t+\Delta t) &=& \int dx' \int \frac{dk}{2\pi} \int \frac{d\Delta W}{\sqrt{2\pi \Delta t}} \exp\left\{ -ik \left[ x-x'-a(x') \Delta t-\Delta W \right] - \frac{(\Delta W)^2}{2\Delta t} \right\} \rho(x',t)\\
&=& \frac{1}{\sqrt{2\pi \Delta t}} \int dx' \exp\left\{- \frac{[x-x'-a(x')\Delta t]^2}{2\Delta t} \right\} \rho(x',t).
\end{eqnarray*}
$y\equiv x-x'-a(x)\Delta t$라고 정의하자. 그러면 $x'-x = -y-a(x) \Delta t$이고, 지수 안의 분자에 들어가 있는 표현식은 다음처럼 적힌다:
\begin{eqnarray*}
x-x'-a(x') \Delta t &\approx& x-x' - \left[ a(x) + (x'-x) a'(x) \right] \Delta t\\
&=& y-(x'-x)a'(x) \Delta t\\
&=& y+ \left[ y+a(x)\Delta t \right] a'(x) \Delta t.
\end{eqnarray*}
이때 $a'(x) \equiv \frac{da}{dx}(x)$이다. 따라서 다음처럼 고쳐 적자:
$$\frac{1}{2\Delta t}\left[ x-x'-a(x') \Delta t \right]^2 \approx \frac{y^2}{2\Delta t} + \left[y+a(x)\Delta t\right] a'(x)y$$
\begin{eqnarray*}
\rho(x',t) &\approx& \rho(x,t) + (x'-x) \rho'(x,t) + \frac{1}{2} (x'-x)^2 \rho''(x,t)\\
&=& \rho(x,t) - \left[ y+a(x)\Delta t \right] \rho'(x,t) + \frac{1}{2} \left[ y+a(x)\Delta t \right]^2 \rho''(x,t).
\end{eqnarray*}
이때 $\rho'(x,t)\equiv \partial_x \rho(x,t)$이고 $\rho''(x,t) \equiv \partial_x^2 \rho(x,t)$이다.

$x'$에서 $y$로 적분 변수를 바꿀 때에 자코비언이 $1$이므로 아래처럼 적을 수 있다:
\begin{eqnarray*}
\rho(x, t+\Delta t) &\approx& \frac{1}{\sqrt{2\pi \Delta t}} \int dy \exp\left(-\frac{y^2}{2\Delta t}\right) \exp\left\{ -\left[y+a(x)\Delta t\right] a'(x)y \right\} \rho(x',t)\\
&\approx& \frac{1}{\sqrt{2\pi \Delta t}} \int dy \exp\left(-\frac{y^2}{2\Delta t}\right) \left\{ 1-\left[y+a(x)\Delta t\right] a'(x)y \right\} \rho(x',t)\\
&\approx& \frac{1}{\sqrt{2\pi \Delta t}} \int dy \exp\left(-\frac{y^2}{2\Delta t}\right) \left\{ 1-\left[y+a(x)\Delta t\right] a'(x)y \right\} \left\{ \rho(x,t) - \left[ y+a(x)\Delta t \right] \rho'(x,t) + \frac{1}{2} \left[ y+a(x)\Delta t \right]^2 \rho''(x,t) \right\}.
\end{eqnarray*}
적분을 수행하고 $\Delta t$ 차수까지만 남겨놓자:
\begin{eqnarray*}
\rho(x, t+\Delta t) &\approx& \left[ 1-a'(x)\Delta t\right] \rho(x,t) -a(x) \Delta t\left[1-2a'(x) \Delta t \right] \rho'(x,t) + \frac{1}{2} \Delta t \left[ 1+a^2(x)\Delta t \right] \left[ 1-3a'(x)\Delta t\right] \rho''(x,t)\\
&\approx& \left[ 1-a'(x)\Delta t \right] \rho(x,t) - a(x)\Delta t \rho'(x,t) + \frac{1}{2} \Delta t \rho''(x,t).
\end{eqnarray*}

$\Delta t\to 0$의 극한을 취하면 다음의 식을 얻는다:
$$\partial_t \rho(x,t) = -\partial_x \left[ a(x) \rho(x,t) \right] + \frac{1}{2} \partial_x^2 \rho(x,t).$$
======마틴-시지아-로즈(Martin-Siggia-Rose, MSR) 범함수 형식론======

======같이 보기======
[[물리:경로적분_계산|경로적분]]

======참고문헌======
  * [[https://old.apctp.org/plan.php/statws2016|The 13th KIAS-APCTP Winter School on Statistical Physics]]
  * [[http://events.kias.re.kr/h/winter2025|The 22nd KIAS-APCTP Winter School on Statistical Physics]]
  * [[https://www.dsf.unica.it/~olla/statmec/|Piero Olla's lecture note]]