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내용
d차원의 긴즈버그-란다우 모형의 해밀토니안이 다음처럼 주어져 있다. H=12∫ddx[r0σ2+14uσ4+c(∇σ)2] 일반적으로 스핀 변수 σ(x)는 n차원 벡터로서 σ2은 σ⋅σ이고 σ4=(σ⋅σ)2을 의미한다. x는 d차원의 공간 벡터이다.
스핀 변수를 푸리에 변환하여 위 식을 다시 적으면 아래와 같다. H=12∑i,k(r0+ck2)|σik|2+u8L−d∑k,k′,k″∑ijσi,kσi,k′σj,k″σj,−k−k′−k″ i는 스핀의 성분을 나타내는 인덱스이고 k는 d차원 역공간(reciprocal space)의 벡터이다.
여기에서 4차항이 문제를 복잡하게 만들고 있으므로 간단히 u=0으로 놓아보자. 그러면 H=12∑i,k<Λ(r0+ck2)|σi,k|2 이고 여기에서 Λ는 k 벡터의 상한이다. 재규격화를 통해서 새로운 해밀토니안 H′을 구하고자 한다. H′=12∑i,k<Λ/s(r0+ck2)|s1−η/2σi,sk|212∑i,k<Λ/s(r0+ck2)s2−η|σi,sk|212∑i,k′<Λ(r0+cs−2k′2)s2−η|σi,k′|212∑i,k′<Λ(r0s2−η+cs−ηk′2)|σi,k′|2
따라서 재규격화된 새로운 맺음변수들은 r0s2−η=r′0과 s−ηc=c′이다.
맺음변수 공간에서 원래의 점이 μ=(r0,u,c)=(r0,0,c)였다면, 재규격화 Rs를 가했을 때 옮겨진 점은 μ′=Rsμ=(r0s2−η,0,cs−η)이다.
만일 η=0이라면 μ∗=(0,0,c)는 Rs의 고정점이고 그 떄의 해밀토니안은 H∗=c2∫ddx(∇σ)2 이다. (∇σ)2은 인접한 스핀들 간의 상호작용을 나타내므로, 이 고정점은 임계점을 기술한다고 볼 수 있다.
안정성
일반론
재규격화의 고정점에 해당하는 H∗ 주변으로 약간의 섭동항 ΔH가 있다고 하자. 즉 H=H∗+ΔH이다. 재규격화를 통하면 일반적으로 해밀토니안 H가 H′+ALd처럼 바뀐다: e−H′−ALd=[∫δϕe−H]σk→s1−η/2σsk 이 때, ∫δϕ는 높은 파수 부분과 스핀의 모든 성분 i에 대해 적분한다는 뜻이다: δϕ≡∏Λ/s<q<Λ∏idσi,q 따라서 H=H∗+ΔH처럼 항이 두 개이면 각각이 재규격화를 통해 둘로 갈라져 H∗+A∗Ld+ΔH′+ΔALd로 바뀐다. e−H∗−A∗Ld−ΔH−ΔALd=[∫δϕe−H∗−ΔH]σk→s1−η/2σsk 섭동이 작다고 가정되어 있으므로 지수함수를 전개하여 1차항까지만 적으면 위 식은 다음처럼 쓸 수 있다. (1−ΔH′−ΔALd)e−H∗−A∗Ld=[∫δϕ(1−ΔH)e−H∗]σk→s1−η/2σsk H∗는 고정점이므로 e−H∗−ALd=[∫δϕe−H∗]σk→s1−η/2σsk 이고, 이 성질을 활용하면 앞에서 전개했던 식은 좀더 간단히 (ΔH′+ΔALd)e−H∗−A∗Ld=[∫δϕΔHe−H∗]σk→s1−η/2σsk 가 된다. 달리 말하면, ΔH′+ΔALd=[∫δϕΔHe−H∗]σk→s1−η/2σske−H∗−A∗Ld=[∫δϕΔHe−H∗]σk→s1−η/2σsk[∫δϕe−H∗]σk→s1−η/2σsk=[∫δϕΔHe−H∗∫δϕe−H∗]σk→s1−η/2σsk=⟨ΔH⟩σk→s1−η/2σsk 이라는 것이다. 보통 그렇듯이 첫 번째 섭동항은 고정점 H∗의 성질만을 가지고 구할 수 있다.
긴즈버그-란다우 모형에서의 섭동 계산
H∗를 가우스 고정점으로 놓고 나머지 항들을 섭동으로 처리하자: H=H∗+ΔH=c2∫ddx(∇σ)2+12∫ddx(r0σ2+14uσ4). 그러면 위의 일반론에 의해 우리가 먼저 구해야 할 양은 아래와 같다: ⟨ΔH⟩=12∫ddx(r0⟨σ2⟩+14u⟨σ4⟩).
σ2의 평균
스핀 변수 σ의 i 번째 성분 σi를 파수에 따라 두 부분으로 나누어 적어보자. 즉 σi=σ′i+ϕi 로서 그 푸리에 성분들을 밝혀 적으면 다음과 같다. σ′i=L−d/2∑k<Λ/sσ′i,keik⋅x ϕi=L−d/2∑Λ/s<q<Λσ′i,qeiq⋅x 우리는 뭉뚱그림의 과정으로서 높은 파수 부분인 Λ/s<k<Λ에 대해 σ2을 평균할 것이다. 먼저 ⟨σ2⟩=⟨σ′2+2σ′⋅ϕ+ϕ2⟩Λ/s<k<Λ=σ′2+⟨ϕ2⟩ 인데 σ′은 낮은 파수만을 가져서 평균에 영향을 받지 않고, ϕ의 홀수차항은 가우스 적분의 성질상 0이 되기 때문이다.
이제 우리가 봐야할 항은 ϕ2의 평균인데, 그 자세한 표현식은 다음과 같다: ⟨ϕ2⟩=∑i⟨ϕ2i⟩=L−d∑Λ/s<q<Λ∑i⟨σi,qσi,−q⟩. 가우스 고정점의 성질로부터 ⟨σi,qσi,−q⟩=(cq2)−1이며, ∑q는 Ld(2π)−d∫ddq에 대응된다. 스핀의 n개의 성분들이 모두 같은 방식으로 정리되어 ⟨ϕ2⟩=n⟨ϕ2i⟩=n(2π)−d∫ddq(cq2)−1=n∫ΛΛ/sdq Kd qd−1(cq2)−1=nc(1−s2−d) 이며, 이 때 nc≡ncKdΛd−2/(d−2)로 정의된다.
σ4의 평균
σ가 벡터라는 사실에 유의해서 써보면 ⟨σ4⟩=σ′4+2σ′2⟨ϕ2⟩+4⟨(ϕ⋅σ′)2⟩+⟨ϕ4⟩ 인데 이 중 ⟨ϕ2⟩까지는 이미 위에서 구했으므로 마지막 두 항을 살펴보자. ⟨(ϕ⋅σ′)2⟩=∑ijσ′iσ′j⟨ϕiϕj⟩=∑iσ′2i⟨ϕ2i⟩=1n⟨ϕ2⟩∑iσ′2i=1n⟨ϕ2⟩σ′2=σ′2ncn(1−s2−d)⟨ϕ4⟩=⟨∑iϕ2i∑jϕ2j⟩=⟨∑i=jϕ2iϕ2j+2∑i>jϕ2iϕ2j⟩=3n⟨ϕ2i⟩2+2n(n−1)2⟨ϕ2i⟩2=(n2+2n)⟨ϕ2i⟩2=(n2+2n)[ncn(1−s2−d)]2
참고문헌
- Shang-Keng Ma, Modern Theory of Critical Phenomena (Westview Press, 1976, 2000).