물리:가우스_고정점

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내용

d차원의 긴즈버그-란다우 모형의 해밀토니안이 다음처럼 주어져 있다. H=12ddx[r0σ2+14uσ4+c(σ)2] 일반적으로 스핀 변수 σ(x)n차원 벡터로서 σ2σσ이고 σ4=(σσ)2을 의미한다. xd차원의 공간 벡터이다.

스핀 변수를 푸리에 변환하여 위 식을 다시 적으면 아래와 같다. H=12i,k(r0+ck2)|σik|2+u8Ldk,k,kijσi,kσi,kσj,kσj,kkk i는 스핀의 성분을 나타내는 인덱스이고 kd차원 역공간(reciprocal space)의 벡터이다.

여기에서 4차항이 문제를 복잡하게 만들고 있으므로 간단히 u=0으로 놓아보자. 그러면 H=12i,k<Λ(r0+ck2)|σi,k|2 이고 여기에서 Λk 벡터의 상한이다. 재규격화를 통해서 새로운 해밀토니안 H을 구하고자 한다. H=12i,k<Λ/s(r0+ck2)|s1η/2σi,sk|212i,k<Λ/s(r0+ck2)s2η|σi,sk|212i,k<Λ(r0+cs2k2)s2η|σi,k|212i,k<Λ(r0s2η+csηk2)|σi,k|2

따라서 재규격화된 새로운 맺음변수들은 r0s2η=r0sηc=c이다.

맺음변수 공간에서 원래의 점이 μ=(r0,u,c)=(r0,0,c)였다면, 재규격화 Rs를 가했을 때 옮겨진 점은 μ=Rsμ=(r0s2η,0,csη)이다.

만일 η=0이라면 μ=(0,0,c)Rs의 고정점이고 그 떄의 해밀토니안은 H=c2ddx(σ)2 이다. (σ)2은 인접한 스핀들 간의 상호작용을 나타내므로, 이 고정점은 임계점을 기술한다고 볼 수 있다.

안정성

재규격화의 고정점에 해당하는 H 주변으로 약간의 섭동항 ΔH가 있다고 하자. 즉 H=H+ΔH이다. 재규격화를 통하면 일반적으로 해밀토니안 HH+ALd처럼 바뀐다: eHALd=[δϕeH]σks1η/2σsk 이 때, δϕ는 높은 파수 부분과 스핀의 모든 성분 i에 대해 적분한다는 뜻이다: δϕΛ/s<q<Λidσi,q 따라서 H=H+ΔH처럼 항이 두 개이면 각각이 재규격화를 통해 둘로 갈라져 H+ALd+ΔH+ΔALd로 바뀐다. eHALdΔHΔALd=[δϕeHΔH]σks1η/2σsk 섭동이 작다고 가정되어 있으므로 지수함수를 전개하여 1차항까지만 적으면 위 식은 다음처럼 쓸 수 있다. (1ΔHΔALd)eHALd=[δϕ(1ΔH)eH]σks1η/2σsk H는 고정점이므로 eHALd=[δϕeH]σks1η/2σsk 이고, 이 성질을 활용하면 앞에서 전개했던 식은 좀더 간단히 (ΔH+ΔALd)eHALd=[δϕΔHeH]σks1η/2σsk 가 된다. 달리 말하면, ΔH+ΔALd=[δϕΔHeH]σks1η/2σskeHALd=[δϕΔHeH]σks1η/2σsk[δϕeH]σks1η/2σsk=[δϕΔHeHδϕeH]σks1η/2σsk=ΔHσks1η/2σsk 이라는 것이다. 보통 그렇듯이 첫 번째 섭동항은 고정점 H의 성질만을 가지고 구할 수 있다.

H를 가우스 고정점으로 놓고 나머지 항들을 섭동으로 처리하자: H=H+ΔH=c2ddx(σ)2+12ddx(r0σ2+14uσ4). 그러면 위의 일반론에 의해 우리가 먼저 구해야 할 양은 아래와 같다: ΔH=12ddx(r0σ2+14uσ4).

스핀 변수 σi 번째 성분 σi를 파수에 따라 두 부분으로 나누어 적어보자. 즉 σi=σi+ϕi 로서 그 푸리에 성분들을 밝혀 적으면 다음과 같다. σi=Ld/2k<Λ/sσi,keikx ϕi=Ld/2Λ/s<q<Λσi,qeiqx 우리는 뭉뚱그림의 과정으로서 높은 파수 부분인 Λ/s<k<Λ에 대해 σ2을 평균할 것이다. 먼저 σ2=σ2+2σϕ+ϕ2Λ/s<k<Λ=σ2+ϕ2 인데 σ은 낮은 파수만을 가져서 평균에 영향을 받지 않고, ϕ의 홀수차항은 가우스 적분의 성질상 0이 되기 때문이다.

이제 우리가 봐야할 항은 ϕ2의 평균인데, 그 자세한 표현식은 다음과 같다: ϕ2=iϕ2i=LdΛ/s<q<Λiσi,qσi,q. 가우스 고정점의 성질로부터 σi,qσi,q=(cq2)1이며, qLd(2π)dddq에 대응된다. 스핀의 n개의 성분들이 모두 같은 방식으로 정리되어 ϕ2=nϕ2i=n(2π)dddq(cq2)1=nΛΛ/sdq Kd qd1(cq2)1=nc(1s2d) 이며, 이 때 ncncKdΛd2/(d2)로 정의된다.

σ가 벡터라는 사실에 유의해서 써보면 σ4=σ4+2σ2ϕ2+4(ϕσ)2+ϕ4 인데 이 중 ϕ2까지는 이미 위에서 구했으므로 마지막 두 항을 살펴보자. (ϕσ)2=ijσiσjϕiϕj=iσ2iϕ2i=1nϕ2iσ2i=1nϕ2σ2=σ2ncn(1s2d)ϕ4=iϕ2ijϕ2j=i=jϕ2iϕ2j+2i>jϕ2iϕ2j=3nϕ2i2+2n(n1)2ϕ2i2=(n2+2n)ϕ2i2=(n2+2n)[ncn(1s2d)]2

참고문헌

  • Shang-Keng Ma, Modern Theory of Critical Phenomena (Westview Press, 1976, 2000).
  • 물리/가우스_고정점.1525878714.txt.gz
  • Last modified: 2023/09/05 15:46
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