수학:푸리에_변환

푸리에 급수

주기함수를 삼각함수의 가중치로 분해한 급수. 주기가 $L$이며 $x \in [0,L)$에서 정의된 함수 $f(x) = f(x+L)$을 생각하자. 이를 푸리에 급수로 전개하면 다음처럼 쓸 수 있다: $$f(x) = \sum_{n=-\infty}^\infty c_n \exp \left(i \frac{2\pi n x}{L} \right).$$ 결국 문제는 계수 $c_n$을 찾는 것인데, 이는 복소 지수함수의 직교성을 이용하면 다음처럼 구할 수 있다: $$c_n = \frac{1}{L} \int_0^L f(x) \exp\left(-i \frac{2\pi n x}{L} \right).$$

전체 구간을 $N$개로 나누어 $a=L/N$의 간격마다 함수값 $y_j = f(x_j)$를 가지고 있다고 하자 ($x_j = ja$). 이 정보를 사용해 위의 적분을 사다리꼴 규칙으로써 근사적으로 구하면 \begin{eqnarray} c_n &\approx& \frac{1}{L} \frac{L}{N} \left[ \frac{1}{2}f(0) + \frac{1}{2}f(L) + \sum_{j=1}^{N-1} \exp \left( -i \frac{2\pi n x_j}{L} \right) \right]\\ &=& \frac{1}{N} \sum_{j=0}^{N-1} f(x_j) \exp \left( -i \frac{2\pi n x_j}{L} \right)\\ &=& \frac{1}{N} \sum_{j=0}^{N-1} y_j \exp \left( -i \frac{2\pi n j}{N} \right). \end{eqnarray} 그리고 우리가 가지고 있던 $\{ y_j \}$는 다음처럼 구해지는데 $$y_j = \sum_{n=0}^{N-1} c_n \exp \left(i \frac{2\pi n j}{N} \right)$$ 이 식은 크로네커 델타의 합 표현식 덕분에, 근사가 아닌 정확한 표현이다.

모양을 더욱 대칭적으로 만들기 위해 아래처럼 정의하는 경우도 있다: \begin{eqnarray} c_n &=& \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{j=0}^{N-1} y_j \exp \left( -i \frac{2\pi n j}{N} \right)\\ y_j &=& \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{n=0}^{N-1} c_n \exp \left(i \frac{2\pi n j}{N} \right). \end{eqnarray}

푸리에 변환

참고 문헌

  • M. E. J. Newman, Computational Physics (Createspace Independent, 2012).
  • 수학/푸리에_변환.txt
  • Last modified: 2021/11/16 14:30
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