양자기체의 밀도행렬 문서에서 우리는 밀도행렬이 아래와 같은 방정식을 만족한다고 언급하였다.

\begin{align} \hbar \frac{\partial \rho(u)}{\partial u} = -H \rho (u) \end{align}

이 때 만족하는 해는 $\rho(u) = e^{-Hu / \hbar}$ 이고 이 때, $u = \beta \hbar$이다. 기존 방정식과 다른 점은 $\hbar$ 가 곱해졌다는 것과, 해의 지수부분의 $\beta$ 가 $u/\hbar$ 로 바뀌었다는 점인데, 이는 경로적분을 설명하면서 어떤 지점에서 특정 지점까지의 시간을 볼 것이기 때문이다. 다시말해 변수 u의 차원은 시간인데, 이를 간단하게 살펴보면,

\begin{align} u [s] = \beta\hbar = \frac{\hbar}{k_B T} [\frac{J \cdot s}{J/K \cdot K} = s] \end{align}

시간차원인 것을 확인할 수 있다. 또한, 여기서 시간 u 를 아주 작은 $\epsilon$ 으로 n개 만큼 쪼개면,

\begin{align} \rho(u) = e^{-Hu / \hbar} &= e^{-H\epsilon / \hbar}e^{-H\epsilon / \hbar} \cdots e^{-H\epsilon / \hbar} \\ &= \rho_\epsilon \rho_\epsilon \cdots \rho_\epsilon \end{align}

으로 나타낼 수 있고 (물론, $u = n\epsilon$), $\rho(u)$ 가 위치 $x^{\prime}$ 에서 $x$ 의 지점을 시간 $u$ 만큼의 궤적을 말하려면, 양자역학에서의 좌표계 표현 (coordinate representation) 을 이용하여,

\begin{align} \rho(x, x^{\prime}; u) = \langle x \vert \rho(u) \vert x^{\prime} \rangle &= \int \cdots \int \langle x \vert \rho_\epsilon \vert x_{n-1} \rangle \langle x_{n-1} \vert \rho_\epsilon \vert x_{n-2} \rangle \cdots \langle x_1 \vert \rho_\epsilon \vert x^{\prime} \rangle dx_1 dx_2 \cdots dx_{n-1} \\ &= \int \cdots \int \rho(x, x_{n-1};\epsilon) \rho(x_{n-1}, x_{n-2};\epsilon) \cdots \rho(x_1, x^{\prime};\epsilon) dx_1 dx_2 \cdots dx_{n-1} \end{align}

이라고 쓸 수 있다. $\epsilon$ 만큼 쪼갠 $\rho$ 를 '경로(path)' 라고 하면, 그 모든 경로에 대해 적분한 것, 즉 $\rho(x, x^{\prime}; u)$ 는 전체 진폭이라고 하자. 이제 앞에서 $\epsilon$ 만큼 쪼갠 시간을 0으로 보내는 극한으로 보내면, 지금의 식은

\begin{align} \rho(x, x^{\prime}; U) = \int \Phi[x(u)]\mathcal{D}x(u) \end{align}

으로 바꿀 수 있다. 여기서 전체 경로 적분에 대한 시간을 U, 각 부분 $\epsilon$ 으로 쪼갠 부분의 시간을 u로 썼다. 여기서 $\Phi[x(u)] \,, \mathcal{D}x(u)$ 는

\begin{align} &\Phi[x(u)] = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \rho(x, x_{n-1};\epsilon) \rho(x_{n-1}, x_{n-2};\epsilon) \cdots \rho(x_1, x^{\prime};\epsilon) \\ &\mathcal{D}x(u) = \lim_{n \rightarrow \infty} dx_1 dx_2 \cdots dx_{n-1} \end{align}

여기서 파인만 책에서는 슈뢰딩거 방정식을 따라가지 않다 보니 일반적인 형태의 시간 변화 연산자 $e^{-iHt/\hbar}$ 의 형태를 사용하고 있지 않다. 이점에 대해서는 책에서도 언급하고 있는데, 사실 처음에 쓴 방정식에서 시간 $u \rightarrow iu$ 이면 익숙한 슈뢰딩거 방정식,

\begin{align} -i\hbar \frac{\partial \rho(u)}{\partial u} = H \rho (u) \end{align}

이다. 책에서는 다음과 같이 언급하고 있다.

방정식의 “u” 가 “iu”로 대치되면 우리는 슈뢰딩거 방정식을 얻을 수 있다. 이러한 통계역학적 방법과
같이, 양자역학도 경로적분의 관점으로 공식화 될 수 있다. 수학자들에게는, 통계역학이 더 다루기 쉬운데
이는 경로 적분의 지수함수에서 지수부분이 실수의 양인게 다루기 쉽다.

p80 에 있는 식 3.36 은 식 $F(U)$ 에 대한 일반적인 해라고 소개하고 있다. $F(U)$ 는 아래와 같이

\begin{align} F(U) = \sqrt{m/2\pi\hbar U} e^{\alpha U} \end{align}

으로 주어지는데, 이것을 유도해보도록 하자. 먼저 자유입자의 경로적분 표현으로 부터 얻는 밀도행렬의 식 3.34 가

\begin{align} \rho(x_2, x_1, U) = F(U)\exp\left[-\frac{m(x_2 - x_1)^2}{2\hbar U}\right] \end{align}

으로 주어진다. 그리고 위의 식의 $F(U)$ 를 얻는 방법은 아래의 식

\begin{align} \rho(x, y, u_1 + u_2) = \int dx^{\prime} \rho(x, x^{\prime}; u_2)\rho(x^{\prime}, y; u_1) \end{align}

으로 부터 얻을 수 있다고 한다. 밀도행렬 $\rho$ 를 두 번째 식을 이용하여 나타내면, 좌변은

\begin{align} \rho(x, y, u_1 + u_2) = F(u_1 + u_2)\exp\left[-\frac{m(x - y)^2}{2\hbar \left(u_1 + u_2\right)}\right] \end{align}

이고, 우변은

\begin{align} \rho(x, x^{\prime}, u_2) = F(u_2)\exp\left[-\frac{m(x - x^{\prime})^2}{2\hbar u_2}\right] \\ \rho(x^{\prime}, y, u_1) = F(u_1)\exp\left[-\frac{m(x^{\prime} - y)^2}{2\hbar u_1}\right] \end{align}

으로 나타내어 진다. 계산을 위해 우변의 밀도행렬을 적분항에 대입하면,

\begin{align} \rho(x, y, u_1 + u_2) = \int dx^{\prime} F(u_1)F(u_2)\exp\left[-\frac{m(x - x^{\prime})^2}{2\hbar u_2}\right] \exp\left[-\frac{m(x^{\prime} - y)^2}{2\hbar u_1}\right] \end{align}

으로 되는데, 이 적분은 양자기체의 밀도행렬 에서 보였던 적분으로, 아래의 적분 테이블을 이용하면 간단하게 계산할 수 있다.

\begin{align} \int dy \exp[-a(x-y)^2] \exp[-b(y-z)^2] = \left(\frac{\pi}{a+b}\right)^{1/2} \exp \left[-\frac{ab}{a+b}\left(x-z\right)^2\right] \end{align}

적분을 계산하여 정리하면,

\begin{align} \rho(x, y, u_1 + u_2) = F(u_1)F(u_2)\left[\frac{2\pi\hbar u_1 u_2}{m(u_1 + u_2)}\right]^{1/2} \exp\left[-\left(\frac{m}{2\hbar}\right)\left(\frac{1}{u_1 + u_2}\right)(x-y)^2\right] \end{align}

이를 좌변의 계산값과 비교하면 아래와 같은 간단한 형태로 정리된다.

\begin{align} F(u_1 + u_2) = F(u_1)F(u_2)\left[\frac{2\pi\hbar u_1 u_2}{m(u_1 + u_2)}\right]^{1/2} \end{align}

등식을 만족하기 위해서 양 변에 $\left[ 2\pi\hbar\left( u_1 + u_2 \right) / m \right]^{1/2}$ 를 곱해주면

\begin{align} F(u_1 + u_2)\left[\frac{2\pi\hbar \left( u_1 + u_2 \right)}{m}\right]^{1/2} = F(u_1)\left[\frac{2\pi\hbar u_1}{m}\right]^{1/2}F(u_2)\left[\frac{2\pi\hbar u_2}{m}\right]^{1/2} \end{align}

이며 등식을 만족시키기 위해서는 처음에 소개한 $F(U)$ 같은 식이 된다.