이 모형의 해밀토니안은 $p$-스핀 유리 모형과 같다. 단 한 가지 차이는, 이 모형에서는 스핀 변수가 $-\infty$부터 $\infty$까지 실수의 값을 가질 수 있다는 것이다.

복제 방법을 통한 정적 분석, 동역학적 분석, 그리고 TAP 방정식이라는 세 가지의 다른 방법을 사용해서 모형을 분석해보자.

$p=3$에서 하나의 분배함수를 무질서에 대해 평균한다면 다음처럼 계산된다: \begin{eqnarray*} \overline{Z} &=& \int D\sigma \prod_{i<j<k} \int dJ_{ijk} \exp \left[ -J_{ijk}^2 \frac{N^p}{p!} + \beta J_{ijk} \sigma_i \sigma_j \sigma_k \right]\\ &\approx& \int D\sigma \exp\left[ \frac{\beta^2}{4N^{p-1}} \left( \sum_i \sigma_i^2 \right)^p \right]\\ &\sim& \exp \left[ N\frac{\beta^2}{4} \right] \Omega. \end{eqnarray*} 여기에서 $\Omega$는 구면 조건 $\sum_i \sigma_i^2 = N$에 의해 생기는 초구의 면적이다. 둘째 줄로 넘어올 때에 $$p! \sum_{i<j<k}^N \approx \sum_{ijk}^N$$ 의 근사를 사용했고, 적분의 결과로 나오는 계수는 생략했다. 이 계산은 상호작용의 무질서가 열풀림(annealing) 과정 안에 있어 스핀과 같은 시간 척도에서 변화한다고 가정한 것에 대응된다.

이제 담금질된(quenched) 무질서를 다루기 위해 $n$개의 복제본에 대해 마찬가지의 계산을 수행하면 다음과 같다: \begin{eqnarray*} \overline{Z^n} &=& \int D\sigma_i^n \prod_{i<j<k} \int dJ_{ijk} \exp \left[ -J_{ijk}^2 \frac{N^p}{p!} + \beta J_{ijk} \sum_{a=1}^n \sigma_i^a \sigma_j^a \sigma_k^a \right]\\ &\sim& \int D\sigma_i^a \prod_{i<j<k} \exp\left[ \frac{\beta^2 p!}{4N^{p-1}} \sum_{ab}^n \sigma_i^a \sigma_i^b \sigma_j^a \sigma_j^b \sigma_k^a \sigma_k^b \right]\\ &\approx& \int D\sigma_i^a \exp\left[ \frac{\beta^2}{4N^{p-1}} \sum_{ab}^n \left( \sum_{i=1}^{N} \sigma_i^a \sigma_i^b \right)^p \right]\\ &\sim& \int DQ^{ab} D\lambda^{ab} \exp [-N G(Q,\lambda)]. \end{eqnarray*} 여기에서 $Q$는 $Q^{ab}$를 원소로 가지는 $n\times n$ 행렬이며, 마찬가지로 $\lambda$는 $\lambda^{ab}$를 원소로 가지는 $n\times n$ 행렬이다. $p$-스핀 유리 모형에서 했던 것처럼 이를 형태로 정리해서 적어보면 $$\overline{Z^n} \sim \int DQ^{ab} D\lambda^{ab} D\sigma_i^a \exp\left[ \frac{\beta^2 N}{4} \sum_{ab} \left(Q^{ab}\right)^p + N\sum_{ab} \lambda^{ab} Q^{ab} - \sum_i \sum_{ab} \lambda^{ab} \sigma_i^a \sigma_i^b \right].$$ 모든 복제본의 스핀 변수 $\{ \sigma_i^a \}$들에 대해 적분을 수행하면 (대각합의 역할) 다음의 결과를 얻는데 \begin{eqnarray*} \int D\sigma_i^a \exp \left( -\sum_i \sum_{ab} \sigma_i^a \lambda^{ab} \sigma_i^b \right) &=& \left[ \int D\sigma^a \exp \left( -\sum_{ab} \sigma^a \lambda^{ab} \sigma^b \right) \right]^N\\ &=& \left\{ (2\pi)^{n/2} \left[\det(2\lambda) \right]^{-1/2} \right\}^N, \end{eqnarray*} 왜냐하면 가우스 적분의 성질에 따라 다음 식이 성립하기 때문이다: $$\int D\sigma^a \exp \left( - \frac{1}{2} \sum_{ab} \sigma^a \lambda^{ab} \sigma^b \right) = \frac{(2\pi)^{n/2}}{\sqrt{\det \lambda}}.$$ 따라서 $$G(Q, \lambda) \approx -\frac{\beta^2}{4} \sum_{ab} \left(Q^{ab}\right)^p - \sum_{ab} \lambda^{ab} Q^{ab} + \frac{1}{2} \ln \det(2\lambda).$$ 안장점 근사를 사용하면 $\partial G/\partial Q^{ab} = 0$과 $\partial G/\partial \lambda^{ab} = 0$으로부터 각각 다음을 얻는다: \begin{eqnarray*} \lambda^{ab} &=& \frac{1}{2} \beta^2 p \left( Q^{ab} \right)^{p-1}\\ Q^{ab} &=& \left[(2\lambda)^{-1}\right]^{ab} = \frac{1}{2} \left(\lambda^{-1}\right)^{ab}. \end{eqnarray*} 단, $Q^{aa}$는 구면 조건에 의해 값이 $1$로 묶여 있다. 두 방정식을 $Q^{ab}$에 대해 정리하면 다음과 같다. $$\frac{1}{2}\beta^2 p \left(Q^{ab}\right)^{p-1} + \left( Q^{-1} \right)^{ab} = 0.$$

$Q$가 다음과 같은 구조를 가지고 있다고 하자: $$Q^{ab} = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \text{if }a=b\\ q_0 & \text{otherwise.} \end{array} \right.$$ 그 역행렬은 다음처럼 주어진다: $$\left(Q^{-1}\right)^{ab} = \frac{1}{1-q_0} \delta_{ab} - \frac{q_0}{(1-q_0) \left[ 1+(n-1)q_0 \right]}.$$ 그러므로 $n\to 0$에서 $Q^{ab}$가 만족해야 할 식은 이렇다: $$\frac{1}{2} \beta^2 p q_0^{p-1} - \frac{q_0}{(1-q_0)^2} = 0.$$ 이 방정식에서 $q_0=0$는 언제나 해가 되며, 이는 앞에서 보았던 열풀림(annealed) 무질서의 경우와 같은 자유 에너지 $$F = - \lim_{n\to0} \frac{1}{2\beta n} \left[ \frac{\beta^2}{2} \sum_{ab} \left(Q^{ab} \right)^p+ \ln \det Q \right] = -\beta / 4$$ 를 준다. 즉 이는 고온의 상자성(paramagnetic) 상에 대응된다.

$\beta$가 충분히 커지면 $q_0 \neq 0$인 해가 나타난다. 그러나 그 점에서 헤세 행렬(hessian)을 구해보면 고윳값 중 음수가 존재하므로 이 답은 불안정한 것으로 판명된다.

복제 대칭성을 한번 깨뜨려서 행렬 $Q$가 예를 들어 각 그룹 안의 복제본 수가 $m=3$일 때 다음과 같은 구조를 가지고 있다고 하자: $$Q = \begin{pmatrix} 1 & q_1 & q_1 & & & & \\ q_1 & 1 & q_1 & & q_0 & & \cdots\\ q_1 & q_1 & 1 & & & & \\ & & & 1 & q_1 & q_1 & \\ & q_0 & & q_1 & 1 & q_1 & \\ & & & q_1 & q_1 & 1 & \\ & \vdots & & & & & \ddots \\ \end{pmatrix}.$$ 이때 $0\le q_0 \le q_1 \le 1$이고, $n\to0$인 극한에서 $0\le m \le 1$로서, $m$의 값은 최적화를 통해 찾아야 한다. 이제 $F$의 첫 번째 항을 계산해보면 $$\frac{1}{n} \sum_{ab} \left( Q^{ab} \right)^p = \frac{1}{n} \left[ n^2 q_0^p + (q_1^p-q_0^p) m^2 \left( \frac{n}{m} \right) + (1- q_1^p) n\right] \xrightarrow[n\to0]{}1+(m-1) q_1^p - mq_0^p.$$ 그리고 두 번째 항의 경우 행렬 $Q$의 고윳값 구조를 알아야 하는데, 고윳값들과 그것들의 겹침수가 다음과 같다: $$\begin{array}{ll} \mu_1 = 1-q_1 & \text{degeneracy } d_1 = n-n/m\\ \mu_2 = m(q_1-q_0) + (1-q_1) & \text{degeneracy } d_2 = n/m-1\\ \mu_3 = nq_0 + m (q_1-q_0) + (1-q_1) & \text{degeneracy } d_3 = 1 \end{array}$$ 따라서 \begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \ln \det Q &=& \frac{1}{n} \left( d_1 \ln \mu_1 + d_2 \ln \mu_2 + d_3 \ln \mu_3 \right)\\ &=& \left(1-\frac{1}{m}\right) \ln \left(1-q_1\right) + \left( \frac{1}{m}-\frac{1}{n} \right) \ln\left[ m(q_1-q_0)+(1-q_1)\right] + \frac{1}{n} \ln\left[ nq_0 + m(q_1-q_0) + (1-q_1) \right]\\ &=& \left(1-\frac{1}{m}\right) \ln \left(1-q_1\right) + \frac{1}{m} \ln\left[ m(q_1-q_0)+(1-q_1)\right] + \frac{1}{n} \left\{ \ln\left[ nq_0 + m(q_1-q_0) + (1-q_1) \right] - \ln\left[ m(q_1-q_0)+(1-q_1)\right] \right\}\\ &\xrightarrow[n\to0]{}& \left(1-\frac{1}{m}\right) \ln \left(1-q_1\right) + \frac{1}{m} \ln\left[ m(q_1-q_0)+(1-q_1)\right] + \frac{q_0}{m(q_1-q_0)+(1-q_1)}. \end{eqnarray*} 따라서 \begin{eqnarray*} -2\beta F_\text{1RSB} &=& \frac{\beta^2}{2} \left[ 1+(m-1)q_1^p - mq_0^p \right] + \left(1-\frac{1}{m}\right) \ln \left(1-q_1\right) + \frac{1}{m} \ln\left[ m(q_1-q_0)+(1-q_1)\right] + \frac{q_0}{m(q_1-q_0)+(1-q_1)} \end{eqnarray*} 로서, 이 식은 $q_1\to q_0$ 또는 $m\to 1$인 극한에서 복제 대칭의 경우로 돌아간다.

$\partial F/\partial q_1 = 0$과 $\partial F/\partial m=0$으로부터 다음의 두 식을 얻는다: $$(1-m) \left\{ \frac{\beta^2}{2} p q_1^{p-1} - \frac{q_1}{(1-q_1)[(m-1)q_1+1]} \right\} = 0$$ $$\frac{\beta^2}{2} q_1^p + \frac{1}{m^2} \ln \left[ \frac{1-q_1}{1-(1-m)q_1} \right] + \frac{q_1}{m[1-(1-m)q_1]} = 0.$$

고온에서는 $q_1=0$만이 유일한 해가 되며($m$은 미정), 이는 상자성 상에 해당한다. 그러나 온도를 낮추어가면 어떤 온도 $T_s$에서 $q_1=q_s \neq 0$인 해가 등장한다 ($m=1$). 온도 $T_s$ 아래에서는 $q_1>q_s$이고 $m<1$이다.

만일 두 번 이상 복제 대칭성을 깨뜨려도 지금의 결과로 돌아오므로, 복제 방법 안에서 더 이상의 복제 대칭성 깨짐은 불필요함을 알 수 있다.

• Tommaso Castellani and Andrea Cavagna, Spin-glass theory for pedestrians, J. Stat. Mech. (2005) P05012.
• A. Crisanti & H. -J. Sommers, The spherical p-spin interaction spin glass model: the statics, Z. Physik B - Condensed Matter 87, 341–354 (1992).
• A. Crisanti, H. Horner & H. -J. Sommers , The spherical p-spin interaction spin glass model: the dynamics, Z. Physik B - Condensed Matter 92, 257–271 (1993).
• A. Crisanti & H. -J. Sommers, Thouless-Anderson-Palmer Approach to the Spherical p-Spin Spin Glass Model, J. Phys. I France 5 805-813 (1995).