이 모형의 해밀토니안은 $p$-스핀 유리 모형과 같다. 단 한 가지 차이는, 이 모형에서는 스핀 변수가 $-\infty$부터 $\infty$까지 실수의 값을 가질 수 있다는 것이다.

복제 방법을 통한 정적 분석, 동역학적 분석, 그리고 TAP 방정식이라는 세 가지의 다른 방법을 사용해서 모형을 분석해보자.

$p=3$에서 하나의 분배함수를 무질서에 대해 평균한다면 다음처럼 계산된다: \begin{eqnarray*} \overline{Z} &=& \int D\sigma \prod_{i<j<k} \int dJ_{ijk} \exp \left[ -J_{ijk}^2 \frac{N^p}{p!} + \beta J_{ijk} \sigma_i \sigma_j \sigma_k \right]\\ &\approx& \int D\sigma \exp\left[ \frac{\beta^2}{4N^{p-1}} \left( \sum_i \sigma_i^2 \right)^p \right]\\ &\sim& \exp \left[ N\frac{\beta^2}{4} \right] \Omega. \end{eqnarray*} 여기에서 $\Omega$는 구면 조건 $\sum_i \sigma_i^2 = N$에 의해 생기는 초구의 면적이다. 둘째 줄로 넘어올 때에 $$p! \sum_{i<j<k}^N \approx \sum_{ijk}^N$$ 의 근사를 사용했고, 적분의 결과로 나오는 계수는 생략했다. $\ln \overline{Z}$로 자유 에너지를 구하면, 이는 상호작용의 무질서가 열풀림(annealing) 과정 안에 있어 스핀과 같은 시간 척도에서 변화한다고 가정한 것에 대응된다.

담금질된(quenched) 무질서를 다루기 위해서는 $\overline{\ln Z}$이 필요하다. $n$개의 복제본에 대해 마찬가지의 계산을 수행하면 다음과 같다: \begin{eqnarray*} \overline{Z^n} &=& \int D\sigma_i^n \prod_{i<j<k} \int dJ_{ijk} \exp \left[ -J_{ijk}^2 \frac{N^p}{p!} + \beta J_{ijk} \sum_{a=1}^n \sigma_i^a \sigma_j^a \sigma_k^a \right]\\ &\sim& \int D\sigma_i^a \prod_{i<j<k} \exp\left[ \frac{\beta^2 p!}{4N^{p-1}} \sum_{ab}^n \sigma_i^a \sigma_i^b \sigma_j^a \sigma_j^b \sigma_k^a \sigma_k^b \right]\\ &\approx& \int D\sigma_i^a \exp\left[ \frac{\beta^2}{4N^{p-1}} \sum_{ab}^n \left( \sum_{i=1}^{N} \sigma_i^a \sigma_i^b \right)^p \right]\\ &\sim& \int DQ^{ab} D\lambda^{ab} \exp [-N G(Q,\lambda)]. \end{eqnarray*} 여기에서 $Q$는 $Q^{ab}$를 원소로 가지는 $n\times n$ 행렬이며, 마찬가지로 $\lambda$는 $\lambda^{ab}$를 원소로 가지는 $n\times n$ 행렬이다. $p$-스핀 유리 모형에서 했던 것처럼 이를 형태로 정리해서 적어보면 $$\overline{Z^n} \sim \int DQ^{ab} D\lambda^{ab} D\sigma_i^a \exp\left[ \frac{\beta^2 N}{4} \sum_{ab} \left(Q^{ab}\right)^p + N\sum_{ab} \lambda^{ab} Q^{ab} - \sum_i \sum_{ab} \lambda^{ab} \sigma_i^a \sigma_i^b \right].$$ 모든 복제본의 스핀 변수 $\{ \sigma_i^a \}$들에 대해 적분을 수행하면 (대각합의 역할) 다음의 결과를 얻는데 \begin{eqnarray*} \int D\sigma_i^a \exp \left( -\sum_i \sum_{ab} \sigma_i^a \lambda^{ab} \sigma_i^b \right) &=& \left[ \int D\sigma^a \exp \left( -\sum_{ab} \sigma^a \lambda^{ab} \sigma^b \right) \right]^N\\ &=& \left\{ (2\pi)^{n/2} \left[\det(2\lambda) \right]^{-1/2} \right\}^N, \end{eqnarray*} 왜냐하면 가우스 적분의 성질에 따라 다음 식이 성립하기 때문이다: $$\int D\sigma^a \exp \left( - \frac{1}{2} \sum_{ab} \sigma^a \lambda^{ab} \sigma^b \right) = \frac{(2\pi)^{n/2}}{\sqrt{\det \lambda}}.$$ 따라서 $$G(Q, \lambda) \approx -\frac{\beta^2}{4} \sum_{ab} \left(Q^{ab}\right)^p - \sum_{ab} \lambda^{ab} Q^{ab} + \frac{1}{2} \ln \det(2\lambda).$$ 안장점 근사를 사용하면 $\partial G/\partial Q^{ab} = 0$과 $\partial G/\partial \lambda^{ab} = 0$으로부터 각각 다음을 얻는다: \begin{eqnarray*} \lambda^{ab} &=& \frac{1}{2} \beta^2 p \left( Q^{ab} \right)^{p-1}\\ Q^{ab} &=& \left[(2\lambda)^{-1}\right]^{ab} = \frac{1}{2} \left(\lambda^{-1}\right)^{ab}. \end{eqnarray*} 단, $Q^{aa}$는 구면 조건에 의해 값이 $1$로 묶여 있다. 두 방정식을 $Q^{ab}$에 대해 정리하면 다음과 같다. $$\frac{1}{2}\beta^2 p \left(Q^{ab}\right)^{p-1} + \left( Q^{-1} \right)^{ab} = 0.$$

$Q$가 다음과 같은 구조를 가지고 있다고 하자: $$Q^{ab} = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \text{if }a=b\\ q_0 & \text{otherwise.} \end{array} \right.$$ 그 역행렬은 다음처럼 주어진다: $$\left(Q^{-1}\right)^{ab} = \frac{1}{1-q_0} \delta_{ab} - \frac{q_0}{(1-q_0) \left[ 1+(n-1)q_0 \right]}.$$ 그러므로 $n\to 0$에서 $Q^{ab}$가 만족해야 할 식은 이렇다: $$\frac{1}{2} \beta^2 p q_0^{p-1} - \frac{q_0}{(1-q_0)^2} = 0.$$ 이 방정식에서 $q_0=0$는 언제나 해가 되며, 이는 앞에서 보았던 열풀림(annealed) 무질서의 경우와 같은 자유 에너지 $$F = - \lim_{n\to0} \frac{1}{2\beta n} \left[ \frac{\beta^2}{2} \sum_{ab} \left(Q^{ab} \right)^p+ \ln \det Q \right] = -\beta / 4$$ 를 준다. 즉 이는 고온의 상자성(paramagnetic) 상에 대응된다.

$\beta$가 충분히 커지면 $q_0 \neq 0$인 해가 나타난다. 그러나 그 점에서 헤세 행렬(hessian)을 구해보면 고윳값 중 음수가 존재하므로 이 답은 불안정한 것으로 판명된다.

복제 대칭성을 한번 깨뜨려서 행렬 $Q$가 예를 들어 각 그룹 안의 복제본 수가 $m=3$일 때 다음과 같은 구조를 가지고 있다고 하자: $$Q = \begin{pmatrix} 1 & q_1 & q_1 & & & & \\ q_1 & 1 & q_1 & & q_0 & & \cdots\\ q_1 & q_1 & 1 & & & & \\ & & & 1 & q_1 & q_1 & \\ & q_0 & & q_1 & 1 & q_1 & \\ & & & q_1 & q_1 & 1 & \\ & \vdots & & & & & \ddots \\ \end{pmatrix}.$$ 이때 $0\le q_0 \le q_1 \le 1$이고, $n\to0$인 극한에서 $0\le m \le 1$로서, $m$의 값은 최적화를 통해 찾아야 한다. 이제 $F$의 첫 번째 항을 계산해보면 $$\frac{1}{n} \sum_{ab} \left( Q^{ab} \right)^p = \frac{1}{n} \left[ n^2 q_0^p + (q_1^p-q_0^p) m^2 \left( \frac{n}{m} \right) + (1- q_1^p) n\right] \xrightarrow[n\to0]{}1+(m-1) q_1^p - mq_0^p.$$ 그리고 두 번째 항의 경우 행렬 $Q$의 고윳값 구조를 알아야 하는데, 고윳값들과 그것들의 겹침수가 다음과 같다: $$\begin{array}{ll} \mu_1 = 1-q_1 & \text{degeneracy } d_1 = n-n/m\\ \mu_2 = m(q_1-q_0) + (1-q_1) & \text{degeneracy } d_2 = n/m-1\\ \mu_3 = nq_0 + m (q_1-q_0) + (1-q_1) & \text{degeneracy } d_3 = 1 \end{array}$$ 따라서 \begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \ln \det Q &=& \frac{1}{n} \left( d_1 \ln \mu_1 + d_2 \ln \mu_2 + d_3 \ln \mu_3 \right)\\ &=& \left(1-\frac{1}{m}\right) \ln \left(1-q_1\right) + \left( \frac{1}{m}-\frac{1}{n} \right) \ln\left[ m(q_1-q_0)+(1-q_1)\right] + \frac{1}{n} \ln\left[ nq_0 + m(q_1-q_0) + (1-q_1) \right]\\ &=& \left(1-\frac{1}{m}\right) \ln \left(1-q_1\right) + \frac{1}{m} \ln\left[ m(q_1-q_0)+(1-q_1)\right] + \frac{1}{n} \left\{ \ln\left[ nq_0 + m(q_1-q_0) + (1-q_1) \right] - \ln\left[ m(q_1-q_0)+(1-q_1)\right] \right\}\\ &\xrightarrow[n\to0]{}& \left(1-\frac{1}{m}\right) \ln \left(1-q_1\right) + \frac{1}{m} \ln\left[ m(q_1-q_0)+(1-q_1)\right] + \frac{q_0}{m(q_1-q_0)+(1-q_1)}. \end{eqnarray*} 따라서 \begin{eqnarray*} -2\beta F_\text{1RSB} &=& \frac{\beta^2}{2} \left[ 1+(m-1)q_1^p - mq_0^p \right] + \left(1-\frac{1}{m}\right) \ln \left(1-q_1\right) + \frac{1}{m} \ln\left[ m(q_1-q_0)+(1-q_1)\right] + \frac{q_0}{m(q_1-q_0)+(1-q_1)} \end{eqnarray*} 로서, 이 식은 $q_1\to q_0$ 또는 $m\to 1$인 극한에서 복제 대칭의 경우로 돌아간다.

$\partial F/\partial q_1 = 0$과 $\partial F/\partial m=0$으로부터 다음의 두 식을 얻는다: $$(1-m) \left\{ \frac{\beta^2}{2} p q_1^{p-1} - \frac{q_1}{(1-q_1)[(m-1)q_1+1]} \right\} = 0$$ $$\frac{\beta^2}{2} q_1^p + \frac{1}{m^2} \ln \left[ \frac{1-q_1}{1-(1-m)q_1} \right] + \frac{q_1}{m[1-(1-m)q_1]} = 0.$$

고온에서는 $q_1=0$만이 유일한 해가 되며($m$은 미정), 이는 상자성 상에 해당한다. 그러나 온도를 낮추어가면 어떤 온도 $T_s$에서 $q_1=q_s \neq 0$인 해가 등장한다 ($m=1$). 온도 $T_s$ 아래에서는 $q_1>q_s$이고 $m<1$이다.

만일 두 번 이상 복제 대칭성을 깨뜨려도 지금의 결과로 돌아오므로, 복제 방법 안에서 더 이상의 복제 대칭성 깨짐은 불필요함을 알 수 있다.

마틴-시지아-로즈 형식론으로부터 다음의 식을 얻었다: \begin{eqnarray*} \rho(x,t=n\Delta t) &=& \mathcal{N} \int \left(\prod_{i=0}^{n-1} dx_i \right) \left(\prod_{i=0}^{n-1} dk_i \right) \delta(x-x_n) \exp\left(\sum_{i=0}^{n-1} \left\{ -Ik_i \left[ x_{i+1}-x_i-a(x_i) \Delta t \right] - \frac{1}{2} \Delta t k_{i+1}^2 \right\} \right) \rho(x_0,0). \end{eqnarray*} 이때 $\mathcal{N}$은 계수들을 모아서 쓴 것이다. 온도 $T$는 명시적으로 적지 않고 최종 결과에만 적을 것이다. 계의 상태 $x$가 여러 스핀 변수의 묶음으로 $\left\{\sigma_{j,i} \right\}$처럼 표현된다고 해보자. 앞의 인덱스 $j$는 스핀을 가리키고 뒤의 인덱스 $i$는 시간을 나타낸다(혼동을 피하기 위해 허수 $\sqrt{-1}$은 대문자 $I$로 적는다). 이에 대응되어 $k$에 해당하는 변수들은 $\left\{ \hat{\sigma}_{j,i} \right\}$로 표현한다. 계는 해밀토니안 동역학을 따라서, 스핀 $j$가 시간 $t_i = i\Delta t$에 받는 구동력이 다음처럼 주어진다: $$a_{j,i} = -\frac{\partial \mathcal{H} \left( \left\{\sigma_{j,i} \right\} \right)}{\partial \sigma_{j,i}} -\mu_i \sigma_{j,i} \approx \frac{p}{p!} \left( \sum_{k=1}^N \sum_{l=1}^N J_{jkl} \sigma_{k,i} \sigma_{l,i} \right) -\mu_i \sigma_{j,i}.$$ 이때 $\mu_i$는 구면 조건을 만족하기 위해 도입한 라그랑주 곱수이다. 밀도함수의 정규화 조건은 다음과 같다: \begin{eqnarray*} 1 = Z &=& \int \left( \prod_j d\sigma_{j} \right) \rho\left(\left\{\sigma_{j,i} \right\}\right)\\ &=& \mathcal{N} \int \left(\prod d\sigma_{j,i} \right) \left(\prod d\hat{\sigma}_{j,i} \right) \exp\left(\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=1}^N \left\{ -I\hat{\sigma}_{j,i} \left[ \sigma_{j,i+1}-\sigma_{j,i}-a_{j,i} \Delta t \right] - \frac{1}{2} \Delta t \hat{\sigma}_{j,i+1}^2 \right\} \right) \rho_0\\ &=& \mathcal{N} \int \left(\prod d\sigma_{j,i} \right) \left(\prod d\hat{\sigma}_{j,i} \right) \exp\left(\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=1}^N \left\{ -I\hat{\sigma}_{j,i} \left[ \sigma_{j,i+1}-\sigma_{j,i} + \mu_i \sigma_{j,i} \Delta t \right] - \frac{1}{2} \Delta t \hat{\sigma}_{j,i+1}^2 \right\} \right) \exp \left( -\Delta t\frac{Ip}{p!} \sum_{i=0}^{n-1} \sum_{j=1}^N \sum_{k=1}^N \sum_{l=1}^N J_{jkl} \hat{\sigma}_{j,i} \sigma_{k,i} \sigma_{l,i} \right) \rho_0. \end{eqnarray*} 무질서에 대한 평균은 마지막의 지수함수에만 적용된다. $\hat{\sigma}\sigma^{p-1}$을 대칭화해서 $p$개의 항으로 풀어서 적는 것이 편리하다. \begin{eqnarray*} e^{S} = \overline{\exp \left( -\Delta t\frac{Ip}{p!} \sum_i \sum_{jkl} J_{jkl} \hat{\sigma}_{j,i} \sigma_{k,i} \sigma_{l,i} \right)} &=& \prod_{j>k>l} \int dJ_{jkl} \exp\left\{ -\frac{1}{2p!} J_{jkl}^2 2N^{p-1} - J_{jkl} \Delta t \sum_i \left[ I\hat{\sigma}_{j,i}\sigma_{k,i}\sigma_{l,i} + \sigma_{j,i}I\hat{\sigma}_{k,i}\sigma_{l,i} + \sigma_{j,i}\sigma_{k,i}I\hat{\sigma}_{l,i} \right] \right\}\\ &=& \prod_{j>k>l} \sqrt{\frac{\pi N p!}{N^p}} \exp\left\{ \frac{p! \Delta t^2}{4N^{p-1}} \sum_{i,i'} \left[ I\hat{\sigma}_{j,i}\sigma_{k,i}\sigma_{l,i} + \sigma_{j,i}I\hat{\sigma}_{k,i}\sigma_{l,i} + \sigma_{j,i}\sigma_{k,i}I\hat{\sigma}_{l,i} \right] \left[ I\hat{\sigma}_{j,i'}\sigma_{k,i'}\sigma_{l,i'} + \sigma_{j,i'}I\hat{\sigma}_{k,i'}\sigma_{l,i'} + \sigma_{j,i'}\sigma_{k,i'}I\hat{\sigma}_{l,i'} \right] \right\}\\ &=& \mathcal{N} \prod_{jkl} \exp\left\{ \frac{\Delta t^2}{4N^{p-1}} \sum_{i,i'} \left[ I\hat{\sigma}_{j,i}\sigma_{k,i}\sigma_{l,i} + \sigma_{j,i}I\hat{\sigma}_{k,i}\sigma_{l,i} + \sigma_{j,i}\sigma_{k,i}I\hat{\sigma}_{l,i} \right] \left[ I\hat{\sigma}_{j,i'}\sigma_{k,i'}\sigma_{l,i'} + \sigma_{j,i'}I\hat{\sigma}_{k,i'}\sigma_{l,i'} + \sigma_{j,i'}\sigma_{k,i'}I\hat{\sigma}_{l,i'} \right] \right\}\\ &=&\mathcal{N} \exp \left\{ \frac{\Delta t^2}{4N^{p-1}} \sum_{i,i'} \left[ 3\left( \sum_j I\hat{\sigma}_{j,i} I\hat{\sigma}_{j,i'} \right) \left( \sum_k \sigma_{k,i} \sigma_{k,i'} \right) \left( \sum_l \sigma_{l,i} \sigma_{l,i'} \right) + 6\left( \sum_j I\hat{\sigma}_{j,i} \sigma_{j,i'} \right) \left( \sum_k \sigma_{k,i} I\hat{\sigma}_{k,i'} \right) \left( \sum_l \sigma_{l,i} \sigma_{l,i'} \right) \right] \right\}\\ &=&\mathcal{N} \exp \left\{ \frac{\Delta t^2}{4N^{p-1}} \sum_{i,i'} \left[ p\left( \sum_j I\hat{\sigma}_{j,i} I\hat{\sigma}_{j,i'} \right) \left( \sum_k \sigma_{k,i} \sigma_{k,i'} \right)^{p-1} + p(p-1) \left( \sum_j I\hat{\sigma}_{j,i} \sigma_{j,i'} \right) \left( \sum_k \sigma_{k,i} I\hat{\sigma}_{k,i'} \right) \left( \sum_l \sigma_{l,i} \sigma_{l,i'} \right)^{p-2} \right] \right\}. \end{eqnarray*} 여기서도 $\mathcal{N}$은 그때 그때 계수들을 합쳐서 적어놓은 것이다. 복제본 계산에서는 복제본 사이의 중첩(overlap)이 나타났다면 동역학적 분석에서는 다른 시간 $i$와 $i'$ 사이의 중첩이 나타남에 유의.

상관함수를 아래처럼 적도록 하자. (상관함수가 존재한다는 것은, 이 우변에 무질서 평균과 열적 평균을 취한 기댓값이 잘 정의되어 우변을 계산한 결과가 그 기댓값으로 잘 표현될 것이라는 뜻이다. 그래서 우변에 대응하는 보조장을 먼저 도입한 다음 그 보조장의 기댓값을 구하는 순서를 선호하는 저자들도 있다.) $$C(i,i') = \frac{1}{N} \sum_k \sigma_{k,i} \sigma_{k,i'}.$$ 그리고 마틴-시지아-로즈 형식론에 따라, 아래의 양이 마찬가지 의미에서 반응함수에 해당함을 알 수 있다: $$R(i,i') = \frac{1}{N} \sum_k \sigma_{k,i} I\hat{\sigma}_{k,i'}.$$ 이 반응함수는 인과성(causality) 때문에 $i>i'$에서만 유의미한 값을 주는데, 위의 유도과정에서는 $i$와 $i'$이 대칭적으로 다루어지고 있으므로, 이 반응함수를 써서 다시 적는다면 $i>i'$에서 $R(i,i')$으로 한번, $i<i'$에 $R(i',i)$로 한번, 이렇게 총 두 번이 계산되고 있는 셈이다. \begin{eqnarray*} e^{S} &=&\mathcal{N} \exp \left\{ \frac{\Delta t^2}{4} \sum_{i,i'} \left[ p\left( \sum_j I\hat{\sigma}_{j,i} I\hat{\sigma}_{j,i'} \right) C^{p-1}(i,i') + 2p(p-1) \left( \sum_j I\hat{\sigma}_{j,i} \sigma_{j,i'} \right) R(i,i') C^{p-2}(i,i') \right] \right\}\\ &=&\mathcal{N} \exp \left\{ \frac{\Delta t^2 p}{4} \sum_j \sum_{i,i'} \left[ \left( I\hat{\sigma}_{j,i} I\hat{\sigma}_{j,i'} \right) C^{p-1}(i,i') + 2(p-1) \left( I\hat{\sigma}_{j,i} \sigma_{j,i'} \right) R(i,i') C^{p-2}(i,i') \right] \right\} \end{eqnarray*}

정리하면 \begin{eqnarray*} \overline{Z} &=& \mathcal{N} \int \left(\prod_{i=0}^{n-1} dx_i \right) \left(\prod_{i=0}^{n-1} dk_i \right) \exp\left(\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=1}^N \left\{ -I\hat{\sigma}_{j,i} \left[ \sigma_{j,i+1}-\sigma_{j,i} + \mu_i \sigma_{j,i} \Delta t \right] - \frac{1}{2} \Delta t \hat{\sigma}_{j,i+1}^2 + \sum_{i'=0}^{n-1} \Delta t^2 \left[ \frac{p}{4} C^{p-1} I\hat{\sigma}_{j,i} I\hat{\sigma}_{j,i'} + \frac{p}{2} (p-1) R C^{p-2} I\hat{\sigma}_{j,i} \sigma_{j,i'} \right] \right\} \right) \rho_0\\ &=& \mathcal{N} \int \left(\prod_{i=0}^{n-1} dx_i \right) \left(\prod_{i=0}^{n-1} dk_i \right) \exp\left(\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=1}^N \left\{ -I\hat{\sigma}_{j,i} \left[ \sigma_{j,i+1}-\sigma_{j,i} + \left( \mu_i \sigma_{j,i} - \sum_{i'=0}^{n-1} \Delta t \frac{p}{2} (p-1) R C^{p-2} \sigma_{j,i'} \right) \Delta t \right] - \Delta t \left[ \frac{1}{2} \hat{\sigma}_{j,i+1}^2 + \sum_{i'=0}^{n-1} \Delta t \frac{p}{4} C^{p-1} \hat{\sigma}_{j,i} \hat{\sigma}_{j,i'} \right] \right\} \right) \rho_0. \end{eqnarray*} 이에 해당하는 유효(effective) 랑주뱅 방정식은 다음과 같은 꼴이 된다: \begin{eqnarray*} \partial_t \sigma(t) &=& -\mu(t) \sigma(t) + \frac{1}{2} p(p-1) \int^t dt' R(t,t') C^{p-2}(t,t') \sigma(t') + \xi(t) + \eta(t)\\ \langle \eta(t) \eta(t') \rangle &=& 2T \delta(t-t') + \frac{p}{2} C^{p-1} (t,t') \equiv D(t, t'). \end{eqnarray*} 여기에서 $\xi$는 외부로부터 오는 섭동을 손으로 써 넣은 것이고 $\eta$는 재규격화된 잡음이다. 이러한 풀이는 각각의 스핀들을 독립적으로 다루기 때문에 인덱스 $j$ 없이 일체(one-body) 문제로 다룰 수 있지만, 대신에 기억 효과(memory effect)와 잡음간의 상관관계를 도입한다.

평균하여 $\langle \sigma(t) \rangle = M(t)$의 시간 변화를 적어보자: \begin{eqnarray*} \partial_t M(t) = -\mu(t) M(t) - \frac{1}{2} p(p-1) \int_{-\infty}^t dt' R(t,t') C^{p-2}(t,t') M(t') + \xi(t). \end{eqnarray*} 스핀을 한번 곱한 다음 평균하여 상관함수의 시간 변화를 적어보면 아래와 같고 \begin{eqnarray*} \frac{\partial C(t_1, t_2)}{\partial t_1} &=& \frac{\partial}{\partial t_1} \Bigl< \sigma(t_1) \sigma(t_2) \Bigr> = \Bigl< \dot{\sigma}(t_1) \sigma(t_2) \Bigr> = -\mu(t_1) C(t_1, t_2) + \frac{1}{2} p(p-1) \int_{-\infty}^{t_1} dt' R(t_1, t') C^{p-2}(t_1, t') C(t_2, t') + \xi(t_1) \Bigl< \sigma(t_2) \Bigr> + \Bigl< \eta(t_1) \sigma(t_2) \Bigr> \end{eqnarray*} 여기에서 $\langle \ldots \rangle$은 잡음 $\eta$에 대한 평균이다. 우변의 마지막 항은 아래처럼 표현된다: \begin{eqnarray*} \Bigl< \eta(t_1) \sigma(t_2) \Bigr> &=& \int_{-\infty}^{t_2} dt' R(t_2,t') D(t_1,t')\\ &=& \int_{-\infty}^{t_2} dt' R(t_2,t') \left[ 2T\delta(t_1-t') + \frac{p}{2} C^{p-1} (t_1,t') \right]\\ &=& 2TR(t_2,t_1) + \frac{p}{2} \int_{-\infty}^{t_2} dt' R(t_2,t') C^{p-1} (t_1,t'). \end{eqnarray*} $\xi(t) = \xi$로 일정하게 두어 평형에 도달한 상태에서 $\mu(t) = \mu$과 $\langle \sigma(t) \rangle = M$으로서 각각이 시간에 의존하지 않는 상수라고 하자. 시간 병진 불변성(time translation invariance)이 있어서 $R(t_1,t_2) = R(t_1-t_2)$, 그리고 $C(t_1,t_2) = C(t_1-t_2) = C(t_2 - t_1)$이라고 하자. 그러면 $C(t_1,t_2)$에 대한 식은 아래와 같다: \begin{eqnarray*} \frac{\partial C(t_1 - t_2)}{\partial t_1} &=& -\mu C(t_1-t_2) + \frac{p}{2} (p-1) \int_{-\infty}^{t_1} dt' R(t_1- t') C^{p-2}(t_1- t') C(t_2- t') + \frac{p}{2} \int_{-\infty}^{t_2} dt' R(t_2-t') C^{p-1} (t_1-t') + \xi M + 2TR(t_2-t_1). \end{eqnarray*} 일반성을 잃지 않고 $t_1\equiv t$와 $t_2\equiv 0$으로 놓자. $t>0$이라고 했을 때 인과성에 의해 우변 마지막 항의 $R(-t)=0$이고, 평형 상태에서는 요동-흩어지기 정리의 결과로서 다음 관계가 성립한다: $$\partial_t C(t) = -\beta^{-1} R(t).$$ $\int_{-\infty}^t$를 $\int_{-\infty}^0 + \int_0^t$로 쪼개어 표현하기 위해 아래의 식을 정의하자: \begin{eqnarray*} I(t) &\equiv& \int_{-\infty}^0 dt' \left[ (p-1) R(t-t') C^{p-2}(t-t') C(-t') + R(-t') C^{p-1}(t-t') \right] \end{eqnarray*} $\int_0^t$를 위해 아래 두 개의 항등식을 유도해놓자: \begin{eqnarray*} \beta^{-1} \int_0^t dt' (p-1) R(t-t') C^{p-2}(t-t') C(-t') &=& \int_0^t \left[ \frac{\partial}{\partial t'} C^{p-1} (t-t') \right] C(t')\\ &=& C^{p-1}(0) C(t) - C^{p-1}(t)C(0) - \int_0^t dt' C^{p-1}(t-t') \partial_{t'} C(t')\\ &=& C(t) - C^{p-1}(t) - \int_0^t dt' C^{p-1}(t-t') \partial_{t'} C(t')\\ \int_0^t dt' C^{p-1}(t) \partial_{t'} C(t') &=& C^{p-1}(t) \int_0^t dt' \partial_{t'} C(t') = C^{p-1}(t) \left[ C(t) - C(0) \right] = C^p(t) - C^{p-1}(t). \end{eqnarray*} 이제 모아서 적어보면, \begin{eqnarray*} \partial_t C(t) + \mu C(t) &=& \frac{p \beta}{2} \left[ \beta^{-1} I(t) + C(t) - C^{p-1}(t) - \int_0^t dt' C^{p-1}(t-t') \partial_{t'} C(t') \right] + \xi M + 2TR(-t)\\ &=& \frac{p\beta}{2} \left\{ \beta^{-1} I(t) + C(t) - C^{p-1}(t) - \int_0^t dt' C^{p-1}(t-t') \partial_{t'} C(t') + \int_0^t dt' C^{p-1}(t) \partial_{t'} C(t') - \left[ C^p(t) - C^{p-1}(t) \right] \right\} + \xi M\\ &=& \frac{p\beta}{2} \left\{ \beta^{-1} I(t) + C(t) - C^p(t) - \int_0^t dt' \left[ C^{p-1}(t-t') - C^{p-1}(t) \right] \partial_{t'} C(t') \right\} + \xi M. \end{eqnarray*} 적분 변수를 재정의해서 $I(t)$를 아래처럼 고쳐 쓴 다음 \begin{eqnarray*} I(t) &=& \int_0^{\infty} dt' \left[ (p-1) R(t+t') C^{p-2}(t+t') C(t') + R(t') C^{p-1}(t+t') \right] \end{eqnarray*} 그 시간 변화를 보도록 하자. 이때 $\partial_t f(t+t') = \partial_{t'} f(t+t')$의 관계를 사용한다. \begin{eqnarray*} \partial_t I(t) &=& \int_0^{\infty} dt' \left\{ (p-1) \left[ \partial_t R(t+t') \right] C^{p-2}(t+t') C(t') + (p-1) R(t+t') \left[\partial_t C^{p-2} (t+t') \right] C(t') + R(t') \left[ \partial_t C^{p-1}(t+t') \right] \right\}\\ &=& \int_0^{\infty} dt' \left\{ (p-1) \left[ \partial_{t'} R(t+t') \right] C^{p-2}(t+t') C(t') + (p-1) R(t+t') \left[\partial_t C^{p-2} (t+t') \right] C(t') + R(t') \left[ \partial_{t'} C^{p-1}(t+t') \right] \right\}\\ &=& \left[ (p-1) R(t+t') C^{p-2}(t+t') C(t') \right]_{t'=0}^{\infty} + (p-1) \int_0^{\infty} dt' \left\{ -R(t+t') \left[ \partial_{t'} C^{p-2}(t+t') C(t') \right] + R(t+t') \left[\partial_t C^{p-2} (t+t') \right] C(t') + R(t') C^{p-2}(t+t') \partial_{t'} C(t+t') \right\}\\ &=& -(p-1) R(t) C^{p-2}(t) + (p-1) \int_0^{\infty} dt' \left\{ -R(t+t') C^{p-2}(t+t') \partial_{t'} C(t') + R(t') C^{p-2}(t+t') \partial_{t'} C(t+t') \right\}\\ &=& -(p-1) R(t) C^{p-2}(t) - (p-1) \int_0^{\infty} dt' C^{p-2}(t+t') \left\{ R(t+t') \partial_{t'} C(t') - R(t') \partial_{t'} C(t+t') \right\}. \end{eqnarray*} 요동-흩어지기 정리가 만족되는 한 $\{\ldots\}$ 안의 두 항이 서로 상쇄되므로 적분은 $0$이고, 따라서 $$\partial_t I(t) = \beta \partial_t C^{p-1}(t)$$ 를 얻는다. $t=0$에서 $C(0)=1$이므로, $I(t) - I(0) = \beta \left[ C^{p-1}(t) - 1 \right]$이다. $\left.\partial_t C(t) \right|_{t=0} = -\beta^{-1}$까지 사용하면 $t$가 작을 때 다음처럼 적을 수 있다: $$-\beta^{-1}+\mu \approx \xi M + \frac{p\beta}{2} \left[ \beta^{-1} I(t) + 1 - C^{p-1}(t) \right].$$ $C(t)$의 시간 변화에 이 식을 대입해 $\xi M$을 소거하자: \begin{eqnarray*} \partial_t C(t) + \mu C(t) &=& \frac{p\beta}{2} \left\{ \beta^{-1} I(t) + C(t) - C^p(t) - \int_0^t dt' \left[ C^{p-1}(t-t') - C^{p-1}(t) \right] \partial_{t'} C(t') \right\} -\beta^{-1} + \mu - \frac{p\beta}{2} \left[ \beta^{-1} I(t) + 1 - C^{p-1}(t) \right]\\ -\partial_t C(t) + \mu \left[ 1-C(t) \right] - \frac{p\beta}{2} \left[ 1-C(t) \right] \left[ 1 - C^{p-1}(t) \right]&=& \frac{p\beta}{2} \left\{ \int_0^t dt' \left[ C^{p-1}(t-t') - C^{p-1}(t) \right] \partial_{t'} C(t') \right\} +\beta^{-1}\\ \end{eqnarray*} $t\to\infty$일 때 $C(t) \to q$로 수렴한다고 하면 \begin{eqnarray*} \mu(1-q) - \frac{p\beta}{2} (1-q)\left(1-q^{p-1}\right) &=& \beta^{-1}\\ \mu &=& \frac{p\beta}{2} \left(1-q^{p-1}\right) + \frac{\beta^{-1}}{1-q}\\ \mu - \frac{p\beta}{2} &=& \frac{\beta^{-1}}{1-q} - \frac{p\beta}{2} q^{p-1}. \end{eqnarray*}

$t=0$의 정상상태에서 $M$의 시간 변화에 대한 식을 풀어보면 \begin{eqnarray*} 0 &=& -\mu M + \frac{1}{2}p(p-1) M\int_{-\infty}^0 dt' R(-t') C^{p-2}(-t') + \xi\\ &=& -\mu M + \frac{1}{2}p(p-1)M\int_0^{\infty} dt' R(t') C^{p-2}(t') + \xi\\ &=& -\mu M - \frac{p \beta}{2} M\int_0^{\infty} dt' \partial_{t'} C^{p-1}(t') + \xi\\ &=& -\mu M + \frac{p \beta}{2} M \left(1-q^{p-1}\right) + \xi\\ \frac{\xi}{M} &=& \mu - \frac{p\beta}{2} \left( 1-q^{p-1} \right) = \frac{\beta^{-1}}{1-q}. \end{eqnarray*}

• 포커-플랑크 방정식

• Tommaso Castellani and Andrea Cavagna, Spin-glass theory for pedestrians, J. Stat. Mech. (2005) P05012.
• A. Crisanti & H. -J. Sommers, The spherical p-spin interaction spin glass model: the statics, Z. Physik B - Condensed Matter 87, 341–354 (1992).
• A. Crisanti, H. Horner & H. -J. Sommers , The spherical p-spin interaction spin glass model: the dynamics, Z. Physik B - Condensed Matter 92, 257–271 (1993).
• A. Crisanti & H. -J. Sommers, Thouless-Anderson-Palmer Approach to the Spherical p-Spin Spin Glass Model, J. Phys. I France 5 805-813 (1995).