상관 함수에서 파수 벡터 공간의 상관함수 $G(k)$ 는 $k=0$ 에서 $G(0) = \chi T$ 인 봉우리값과 그 주변으로 폭 $\xi^{-1}$ 를 가지는 뾰족한 함수로 근사될 수 있다.

이때 폭을 상관 길이의 역수라고 가정하는데 온도가 상전이 온도 근처이고 외부에서 아무런 자기장이 걸리지 않았을 때 테일러 전개의 2차 미분과 상관 길이가 발산한다는 사실을 이용하여

테일러 전개를 이용하여 함수를 근사하면 상관 길이의 값을 추측할 수 있다.

$$\xi^{2} = -\frac{1}{2}G^{-1}(0)(d^{2}G(k)/dk^{2})_{k=0} , \quad |T-T_c| <<1,\quad h = 0$$

이 때 $G(k)$가 0 근처에서 매우 뾰족한 함수이기 떄문에 2차 미분의 값은 매우 클 것이다. 따라서 $\xi$ 는 임계온도 근처에서 발산한다는 사실을 알 수 있다.

따라서 상관 길이 $\xi$에 대해 아래와 같이 쓸 수 있다.

$$\xi\propto |T-T_c|^{-\nu}, T>T_c$$ $$\xi\propto |T-T_c|^{-\nu^{\prime}}, T<T_c$$

눈금 바꿈 가설은 강자성체의 상전이 온도 근방에서 일어나는 모든 특이 현상들이 자성체를 이루는 스핀들의 긴 범위에 걸쳐있는 상관 관계 때문에 나타난다는 가설이다.

이 때 스핀들이 상관관계를 가지는 범위를 상관 길이라고 부른다. 중요한 점은 상관 길이가 특정한 함수의 가우스 어림법을 푸는 과정에서 나오는 것만은 아니라는 사실이다.

또한 상관 길이는 상전이 온도 근방에서 발산하기 때문에 상전이 현상에서 상관 길이가 온도에만 의존하는 어떤 함수라고 가정한다.

$G(k)$ 를 변수 $k\xi$, $b_1/\xi,b_2/\xi,...$ 의 함수로 쓸 수 있다고 하자. 이 때 $b_1,b_2,...$은 $|T-T_c|$ 가 충분히 작을 때 $\xi$ 를 넘지 않는 임의의 길이로 둔다.

$\xi$ 가 발산할 때 $G(k)$를 위 변수의 함수로 나타낸다면

$$G(k) = f(k\xi,b_1\xi,b_2\xi, \dots) $$ $$= f(k\xi) + \sum_{i=1}\frac{\partial{f(k\xi,b_1\xi,b_2\xi,\dots)}}{\partial{(b_i\xi)}} (b_i \xi) + \sum_{i=1}\frac{\partial^{2}{f(k\xi,b_1 \xi,b_2\xi,\dots)}}{\partial{(b_i\xi)^2}}(b_i\xi)^2 + higher\: orders \: of \: (b_i\xi) $$ $$= f(k\xi) + c_{b_1, x_1}(b_1\xi)^{x_1} + c_{b_1, x_1-1}(b_1\xi)^{{x_1}-1} + \dots + c_{b_2, x_2}(b_2\xi)^{x_2} + \dots $$ $$= \xi^{y}(g(k\xi) + \: higher \: powers \: of \: \xi^{-1}) $$ $$ \approx \xi^{y}g(k\xi)$$

다음을 유도할 때 2번째 줄에서는 $b_i/\xi$ 에 대해 급수전개 하였고 3번쨰 줄에서는 $-y = x_1 + x_2 +\dots$ 를 이용하였다.

위 근사의 요지는 $\xi$ 가 발산 할 때 $G(k)$는 단위가 없는 숫자 $k\xi$의 함수인 $g(k\xi)$ 와 상관 길이의 멱수 $\xi^{y}$의 곱으로 나타난다는 것이다.

$g(k\xi)$의 값이 상전이 온도 근방에서 어떤 상수로 정해진다고 가정할 때 $G(k)$ 의 행동은 오직 $\xi$와 지수 $y$에만 의존하게 된다.

지수 $y$와 이전에 정의된 자기 감수율의 임계지수 $\gamma$ 는 $$\chi/T = G(0)$$이고 $g(0)$ 가 어떤 상수라고 할 때 $G(0)$ 에 대해서 $$ G(0) = \xi^{y}g(0) \propto |T-T_c|^{-\nu y} $$ $$\chi \propto |T-T_c|^{-\gamma}$$ $$\nu y = \gamma $$ $$ y = \frac{\nu}{\gamma}$$ 라고 쓸 수 있다.

$k$ 가 $0$에 가깝지만 $0$은 아닐 때 중성자 산란 단면적은 발산하는 것이 관측되어있다. 이 때 산란 단면적을 전체 부피로 나눈 값은 상관 함수에 비례한다.

따라서 상전이 온도 근방에서 상관 함수를 $k$가 0에 매우 가까울때 $ G(k) \propto k^{-2+\eta} $ 라고 쓰고 $\eta$ 또한 다른 임계 지수라고 두자.

$$ G(k) \propto k^{-2+\eta} $$ $$ \lim_{k\xi\rightarrow\infty} g(k\xi) \propto (k\xi)^{-2+\eta} $$ $$ G(k) = \xi^{y}g(k\xi) \propto \xi^{y}(k\xi)^{-2+\eta} \propto k^{-2+\eta} $$ $$ 2-\eta = y = \gamma/\nu $$

의 결론을 얻는다.

이같은 관계는 종종 “눈금 법칙” 이라고 불린다.

길이 $L$ 을 갖는 선분 안에 $\Delta l$의 간격으로 나누었다고 가정하자.

각 구간의 시작 위치는 아래와 같이 쓰여질 수 있을 것이다.

$$ \vec{x}_n = n\Delta l,\quad n = 0, 1, 2, 3, \dots $$

이 선 위를 여행하는 여행자가 있다고 가정하자. 이 여행자는 $\vec{x} = 0$ 에서 시작하여 $\Delta l$만큼 움직여 각 구간의

시작 위치마다 여행자가 몇 칸을 왔는지 기록한다. 위와 같은 상황에서 여행자가 $L$ 에 도달하면 기록한 총 횟수는 $L/\Delta l$일 것이다. 이 때 기록된 횟수를 “걸음 수” 라고 표현하자.

이제 선분을 $2\Delta l$로 나누자. 그렇게 되면 여행자가 길이 $L$ 선분을 지날 때의 걸음 수는 1/2배가 될 것이다.

걸음 수를 길이의 단위 라고 생각 할 수 있다면 길이의 단위는 반이 된 것이다. 이제 이 걸음 수 혹은 이 길이의 단위를 $\Delta x$ 라고 표현하자.

그리고 $\Delta l$ 앞에 곱해지는 수를 “척도” 라고 표현하고 $s$ 라고 쓰자. $\Delta x$ 에 대해서 $s$를 $\Delta l$ 에 곱하는 것은 $\Delta x$ 에

$s^{-1}$ 을 곱하는 것과 같다. 즉 여행자 입장에서는 길이 $L$ 의 선분이 $1/2$ 만큼 짧게 보이게 되는 것이다. (공간이 수축한 것 처럼 보이는 효과이다.)

이제 척도 차원이라는 물리량을 도입하자. 척도 차원에서는 길이에 해당하는 차원을 $-1$ 로 둔다. 따라서 파수의 차원은 $1$이 될 것이다.

일반적으로 척도 변환 관계식은 아래와 같이 쓸 수 있다.

$$A \rightarrow A^{\prime} = As^{\lambda} $$

이렇게 쓸 때 $A$ 의 척도 차원은 $\lambda$ 이다. 하나의 예로 $(\delta x)^{2}$ 의 척도 차원은 $-2$ 라는 것을 알 수 있다.

$s$ 를 척도 변환 요소로 써주고 싶다면 $\lambda$는 $-2$ 여야만 한다. 그래야 길이의 제곱 차원에 해당하는 양을 $s$ 배 할 수 있기 때문이다.

강자성체의 상전이 온도 근방의 임계 현상을 연구할 때눈금 바꿈 가설에서 상관함수가 임계 온도 근바엥서 $\xi^{y}$ 의 함수로 근사 될 수 있음을 보였었다.

또한 상관함수는 $(spin density)^{2} \times (volume)$ 이기도 하다. 상관길이 $\xi$의 척도 차원이 $-1$이기 때문에 아래와 같이 두 표현의 척도 차원이 맞아야 한다.

$$ 2d_{\sigma} - d = -y $$

$$ d_{\sigma} = \frac{1}{2}(d-y) = \frac{1}{2}(d-2+\eta)$$

두 번째 줄에서 눈금 바꿈 가설에서 유도된 결과인 $$y = 2 - \eta$$ 를 사용하였다. $d_{\sigma}$ 를 스핀 밀도의 척도 차원이라고 하자.

비슷한 방식으로 단위 부피 당 자유에너지(F)의 척도차원은 $d$가 될 것이다. 상관길이를 이용하여 다음과 같이 써줄 수 있다. $$ \xi \propto |T-T_c|^{-\nu}, \quad T > T_c, \rightarrow \nu $$ $$ \xi \propto |T-T_c|^{-\nu^{\prime}}, \quad T < T_c, \rightarrow \nu^{\prime} $$ $$ F \propto |T-T_c|^{\nu d} $$

열용량은 단위 부피 당 자유에너지의 온도에 대한 2차 미분에 온도를 한번 더 곱한 형태로 표현된다.

상전이 온도 $T_c$ 근처에서 열용량의 임계지수 $\alpha$ 를 구하기 위해 차원 분석을 활용한다.

$$ C = -T\frac{\partial^{2}F}{\partial T^{2}} \propto |T-T_c|^{\nu d - 2} $$

열용량의 임계지수가 $\alpha$ 이므로 아래와 같은 관계가 성립하여야 한다.

$$ \alpha = 2 - \nu d $$

비슷한 방식으로 평균 스핀 밀도 $m$ 에 대한 임계지수 $\beta$, 자유장(apply field, h)의 차원 $d_h$ 그리고 $h$ 값이 $0$이 아닐 때 $ m \propto h^{\frac{1}{\delta}} $ 의

임계지수 $\delta$ 를 유도한다. 이 때 $$\nu^{\prime} = \nu$$ 로 가정하는데 이것은 재규격화에서 설명된다.

이와같은 차원 분석은 실제로 실험 데이터와 비교를 해보면 오차 10% 이내의 범위 안에서 잘 맞는 것으로 알려져 있다.

눈금 바꿈 가설과 차원분석을 통해 얻는 물리량의 차원과 임계 지수의 관계는 다음과 같다.

먼저 차원(눈금 차원)에 대해서

$$ \text{dimension of}~\xi = -1 $$ $$ \text{dimension of}~k = 1 $$ $$ \text{dimension of}~\sigma_{k} = -1+\eta/2 $$ $$ \text{dimension of}~\sigma(x) = \frac{1}{2}(d-2+\eta ) $$ $$ \text{dimension of}~h = \frac{1}{2}(d+2-\eta) $$

임계 지수들의 관계는

$$ \nu = \nu^{\prime} = \gamma/(2-\eta) $$ $$ \alpha = \alpha^{\prime} = 2 - \nu d $$ $$ \beta = frac{1}{2}\nu(d-2+\eta) $$ $$ \delta = (d+2-\eta)/(d-2+\eta) $$

눈금 바꿈 가설에서 주의해야 할 점은 이 방법이 즉흥적이라는 것이다. 우선 가장 큰 상관길이 하나로 임계지수를 결정하는 것은 위험하다. 그 이유는 남아있는 상대적으로 작은 스케일이 차원에 따라 커질 수 있기 때문이다.

비록 실험에서 구한 결과를 맞추는데 눈금 바꿈 가설이 꽤 잘 들어맞는다고 해도 위와 같은 가정 때문에 이 방법을 지지해 줄 다른 설명이 필요하다.

• 차원분석

• MA, Shang-Keng. Modern theory of critical phenomena. Da Capo Press, 2000.