배규호:눈금_바꿈_가설

눈금 바꿈 가설(Scaling Hypothesis)

눈금 바꿈 가설은 강자성체의 상전이 온도 근방에서 일어나는 모든 특이 현상들이 자성체를 이루는 스핀들의 긴 범위에 걸쳐있는 상관 관계 때문에 나타난다는 가설이다.

이 때 스핀들이 상관관계를 가지는 범위를 상관 길이라고 부른다. 중요한 점은 상관 길이가 특정한 함수의 가우스 어림법을 푸는 과정에서 나오는 것만은 아니라는 사실이다.

또한 상관 길이는 상전이 온도 근방에서 발산하기 때문에 상전이 현상에서 상관 길이가 온도에만 의존하는 어떤 함수라고 가정한다.

$G(k)$ 를 변수 $k\xi$, $b_1/\xi,b_2/\xi,\ldots$ 의 함수로 쓸 수 있다고 하자. 이 때 $b_1,b_2,\ldots$은 $|T-T_c|$ 가 충분히 작을 때 $\xi$ 를 넘지 않는 임의의 길이로 둔다.

$\xi$ 가 발산할 때 $G(k)$를 위 변수의 함수로 나타낸다면

$$G(k) = f(k\xi,b_1\xi,b_2\xi, \dots) $$ $$= f(k\xi) + \sum_{i=1}\frac{\partial{f(k\xi,b_1\xi,b_2\xi,\dots)}}{\partial{(b_i\xi)}} (b_i \xi) + \sum_{i=1}\frac{\partial^{2}{f(k\xi,b_1 \xi,b_2\xi,\dots)}}{\partial{(b_i\xi)^2}}(b_i\xi)^2 + \text{higher orders of }\left(b_i\xi \right) $$ $$= f(k\xi) + c_{b_1, x_1}(b_1\xi)^{x_1} + c_{b_1, x_1-1}(b_1\xi)^{{x_1}-1} + \dots + c_{b_2, x_2}(b_2\xi)^{x_2} + \dots $$ $$= \xi^{y}(g(k\xi) + \text{higher powers of }\xi^{-1}) $$ $$ \approx \xi^{y}g(k\xi)$$

다음을 유도할 때 2번째 줄에서는 $b_i/\xi$ 에 대해 급수전개 하였고 3번쨰 줄에서는 $-y = x_1 + x_2 +\dots$ 를 이용하였다.

위 근사의 요지는 $\xi$ 가 발산 할 때 $G(k)$는 단위가 없는 숫자 $k\xi$의 함수인 $g(k\xi)$ 와 상관 길이의 멱수 $\xi^{y}$의 곱으로 나타난다는 것이다.

$g(k\xi)$의 값이 상전이 온도 근방에서 어떤 상수로 정해진다고 가정할 때 $G(k)$ 의 행동은 오직 $\xi$와 지수 $y$에만 의존하게 된다.

지수 $y$와 이전에 정의된 자기 감수율의 임계지수 $\gamma$ 는 $$\chi/T = G(0)$$이고 $g(0)$ 가 어떤 상수라고 할 때 $G(0)$ 에 대해서 $$ G(0) = \xi^{y}g(0) \propto |T-T_c|^{-\nu y} $$ $$\chi \propto |T-T_c|^{-\gamma}$$ $$\nu y = \gamma $$ $$ y = \frac{\nu}{\gamma}$$ 라고 쓸 수 있다.

$k$ 가 $0$에 가깝지만 $0$은 아닐 때 중성자 산란 단면적은 발산하는 것이 관측되어있다. 이 때 산란 단면적을 전체 부피로 나눈 값은 상관 함수에 비례한다.

따라서 상전이 온도 근방에서 상관 함수를 $k$가 0에 매우 가까울때 $ G(k) \propto k^{-2+\eta} $ 라고 쓰고 $\eta$ 또한 다른 임계 지수라고 두자.

$$ G(k) \propto k^{-2+\eta} $$ $$ \lim_{k\xi\rightarrow\infty} g(k\xi) \propto (k\xi)^{-2+\eta} $$ $$ G(k) = \xi^{y}g(k\xi) \propto \xi^{y}(k\xi)^{-2+\eta} \propto k^{-2+\eta} $$ $$ 2-\eta = y = \gamma/\nu $$

의 결론을 얻는다.

이같은 관계는 종종 “눈금 법칙” 이라고 불린다.

척도 변환

길이 $L$ 을 갖는 선분 안에 $\Delta l$의 간격으로 나누었다고 가정하자.

각 구간의 시작 위치는 아래와 같이 쓰여질 수 있을 것이다.

$$ \vec{x}_n = n\Delta l,\quad n = 0, 1, 2, 3, \dots $$

이 선 위를 여행하는 여행자가 있다고 가정하자. 이 여행자는 $\vec{x} = 0$ 에서 시작하여 $\Delta l$만큼 움직여 각 구간의

시작 위치마다 여행자가 몇 칸을 왔는지 기록한다. 위와 같은 상황에서 여행자가 $L$ 에 도달하면 기록한 총 횟수는 $L/\Delta l$일 것이다.

기 기록된 횟수를 “걸음 수” 라고 표현하자.

이제 선분을 $2\Delta l$로 나누자. 그렇게 되면 여행자가 길이 $L$ 선분을 지날 때의 걸음 수는 1/2배가 될 것이다.

걸음 수를 길이의 단위 라고 생각 할 수 있다면 길이의 단위는 반이 된 것이다. 이제 이 걸음 수 혹은 이 길이의 단위를 $\Delta x$ 라고 표현하자.

그리고 $\Delta l$ 앞에 곱해지는 수를 “척도” 라고 표현하고 $s$ 라고 쓰자. $\Delta x$ 에 대해서 $s$를 $\Delta l$ 에 곱하는 것은 $\Delta x$ 에

$s^{-1}$ 을 곱하는 것과 같다. 즉 여행자 입장에서는 길이 $L$ 의 선분이 $1/2$ 만큼 짧게 보이게 되는 것이다. (공간이 수축한 것 처럼 보이는 효과이다.)

이제 척도 차원이라는 물리량을 도입하자. 척도 차원에서는 길이에 해당하는 차원을 $-1$ 로 둔다. 따라서 파수의 차원은 $1$이 될 것이다.

일반적으로 척도 변환 관계식은 아래와 같이 쓸 수 있다.

$$A \rightarrow A^{\prime} = As^{\lambda} $$

이렇게 쓸 때 $A$ 의 척도 차원은 $\lambda$ 이다. 하나의 예로 $(\delta x)^{2}$ 의 척도 차원은 $-2$ 라는 것을 알 수 있다.

$s$ 를 척도 변환 요소로 써주고 싶다면 $\lambda$는 $-2$ 여야만 한다. 그래야 길이의 제곱 차원에 해당하는 양을 $s$ 배 할 수 있기 때문이다.

같이보기

참고문헌

  • MA, Shang-Keng. Modern theory of critical phenomena. Da Capo Press, 2000.
  • 배규호/눈금_바꿈_가설.txt
  • Last modified: 2018/03/05 15:40
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