다음의 세 가지 성질로 정의된다.

1. $M\equiv 2^N$개의 에너지 준위 $E_i$를 가진다.
2. $E_i$는 다음의 분포를 따르는 난수이다: $P(E)=\frac1{\sqrt{N\pi J^2}}\exp\left[-\frac{E^2}{J^2N}\right]$
3. $E_i$는 서로 독립이다.

작은바른틀로 이 문제를 먼저 다뤄보자. $(E, E+dE)$ 사이에 놓인 에너지 준위의 수를 $\mathcal{N}(E)$라고 하면, 그 평균은 다음처럼 주어진다. $$\langle \mathcal{N}(E) \rangle = 2^N P(E) \sim \exp\left\{ N\left[ \ln2 - \left( \frac{E}{NJ} \right)^2 \right]\right\}$$ 이로부터 $E_\ast/N = J(\ln 2)^{1/2}$에서 어떤 일이 벌어지리라는 짐작이 가능하다. 더구나 난수의 독립성 때문에 $\mathcal{N}(E)$의 편차는 $\langle \mathcal{N}(E) \rangle^{1/2}$ 정도로 작다. 따라서 $\langle \mathcal{N}(E) \rangle \sim \mathcal{N}(E)$으로 간주할 수 있다.

만일 $|E|>E_\ast$라면 $\langle \mathcal{N}(E) \rangle \ll 1$이어서 대부분의 샘플에 대해 $\mathcal{N}(E)=0$이다. 즉 $[-E_\ast, E_\ast]$ 바깥에는 에너지 준위가 사실상 존재하지 않는다. 이에 따라 엔트로피를 적어본다면 다음처럼 될 것이다: $$S(E) \sim \left\{ \begin{array}{ll} N \left[ \ln 2 - \left(\frac{E}{NJ}\right)^2 \right] & \text{if }|E|<E_\ast\\ -\infty & \text{otherwise.} \end{array} \right. $$

르장드르 변환을 통해 헬름홀츠 자유에너지 밀도를 적어보자. 즉 $S(E)/N$의 그래프에 접선을 긋고 ($k_B\equiv 1$여서 접선의 기울기는 $dS/dE = \beta$) 그 접선이 $E=0$의 세로축과 만나는 점을 찾은 다음 마이너스 부호를 취한다. $\beta>\beta_c$일 때에는 가장 낮은 에너지 준위만이 분배함수에 기여하므로, 결과는 아래와 같다($J\equiv 1$). $$f(\beta) = \left\{ \begin{array}{ll} -\frac{\beta}{4} - \frac{1}{\beta} \ln 2 & \text{if }\beta<\beta_c\\ -\sqrt{\ln 2} & \text{if }\beta>\beta_c \end{array}\right. $$ 이때 $\beta_c \equiv 2\sqrt{\ln 2}$이다. $f$를 두번 미분했을 때 불연속이므로 2차 상전이가 나타남을 알 수 있다. 아래에서 논할 응축(condensation) 현상 때문에 '무작위 1차 상전이'라고도 불린다.

각 상태의 점유 확률을 제곱하여 합한 다음과 같은 양을 생각하자. $$Y_N(\beta) \equiv \sum_{j}^M \left[ \frac{1}{Z(\beta)} e^{-\beta E_j} \right]^2 = \left[ \sum_j e^{-2\beta E_j} \right] \left[ \sum_j e^{-\beta E_j} \right]^{-2} = Z_N(2\beta) / Z_N^2(\beta).$$ 이 양의 역수는 대략 유의미하게 점유된 상태 수로 해석할 수 있다. 앞의 자유에너지 계산으로부터 다음처럼 적을 수 있다. $$Z_N(\beta) \approx \left\{ \begin{array}{ll} \exp\left[N(\ln 2 +\beta^2/4) \right] & \text{if }\beta<\beta_c\\ \exp\left[N\beta \sqrt{\ln 2} \right] & \text{if }\beta>\beta_c. \end{array} \right. $$ 양수 $X$에 대한 항등식 $X^{-2} = \int_0^\infty t \exp(-tX) dt$를 사용하여 $Y_N(\beta)$의 샘플 평균을 표현해보자. $$\mathbb{E}$$

무작위 에너지 모형은 $p$-스핀 상호작용 모형에 $p\rightarrow\infty$인 극한을 취한 것이다. 간단한 모형이지만 스핀 유리의 특징을 잘 가지고 있다.

먼저 $p$-스핀 상호작용 모형의 해밀토니안은 다음과 같다. $$H = -\sum_{i_1<\dots<i_p}J_{i_1\dots i_p}\sigma_{i_1}\cdots\sigma_{i_p}$$ 이 때 $J_{i_1\dots i_p}$의 확률분포는 다음과 같이 주어진다. $$P(J_{i_1\dots i_p}) = \sqrt{\frac{N^{p-1}}{\pi J^2 p!}}\exp\left[-\frac{J_{i_1\dots i_p}^2N^{p-1}}{J^2 p!}\right]$$ $p=2$인 경우, 이 모형은 셰링턴-커크패트릭 모형이 된다. 이 모형의 에너지 분포는 \begin{align*} P(E) =&\overline{\delta(E-H(\{\sigma\})}\\ =&\int\left[\prod dJ_{i_1\dots i_p}P(J_{i_1\dots i_p})\right]\delta\left(E+\sum_{i_1<\dots<i_p}J_{i_1\dots i_p}\sigma_{i_1}\cdots\sigma_{i_p}\right)\\ =&\int\left[\prod dJ_{i_1\dots i_p}P(J_{i_1\dots i_p})\right]\int\frac{dk}{2\pi} \exp\left[ik\left(E+\sum_{i_1<\dots<i_p}J_{i_1\dots i_p}\sigma_{i_1}\cdots\sigma_{i_p}\right)\right] \end{align*} 가 된다. 각 $J_{i_1\dots i_p}$를 따로 떼어 다음과 같이 적분할 수 있고, \begin{align*} &\sqrt{\frac{N^{p-1}}{\pi J^2 p!}}\int dJ_{i_1\dots i_p}\exp\left[-\frac{J_{i_1\dots i_p}^2N^{p-1}}{J^2 p!}+ikJ_{i_1\dots i_p}\sigma_{i_1}\cdots\sigma_{i_p}\right]\\ =&\sqrt{\frac{N^{p-1}}{\pi J^2 p!}}\sqrt\frac{\pi J^2p!}{N^{p-1}}\exp\left[-\frac{J^2p!}{4N^{p-1}}\left(k\sigma_{i_1}\cdots\sigma_{i_p}\right)^2\right]\\ =&\exp\left[-\frac{J^2p!}{4N^{p-1}}k^2\right] \end{align*} 이러한 항이 $N\choose p$개가 있으므로 \begin{align*} P(E)=&\int\frac{dk}{2\pi}\exp\left[-{N\choose p}\frac{J^2p!}{4N^{p-1}}k^2+ikE\right]\\ =&\frac1{2\pi}\sqrt{\frac{4\pi N^{p-1}(N-p)!}{J^2N!}}\exp\left[-\frac{N^{p-1}(N-p)!}{ J^2N!}E^2\right]\\ =&\sqrt{\frac{N^{p-1}(N-p)!}{\pi J^2N!}}\exp\left[-\frac{N^{p-1}(N-p)!}{ J^2N!}E^2\right] \end{align*} $p<<N$인 상황을 유지하면서 $p\rightarrow\infty$인 극한을 취하면 $N!/(N-p)!\approx N^p$로 근사할 수 있으므로 $$P(E)=\frac1{\sqrt{N\pi J^2}}\exp\left[-\frac{E^2}{J^2N}\right]$$ 를 얻는다. 무작위 에너지 모형의 특이한 점은 에너지가 스핀 배열과 무관하다는 것이다.

자유에너지를 계산하기 위해 $n$개의 복제본을 도입한 분배함수를 계산하자. \begin{align*} \overline{Z^n} =& \int\left[\prod_{J_{i_1\dots i_p}}dJ_{i_1\dots i_p}P(J_{i_1\dots i_p})\right]\text{Tr}_{\sigma_i^a}\exp\left(\beta\sum_a\sum_{i_1<\dots< i_p}J_{i_1\dots i_p}\sigma_{i_1}^a\cdots\sigma_{i_p}^a+\beta\sum_{i,a}\sigma_i^a\right)\\ =&\int\left[\prod_{J_{i_1\dots i_p}}dJ_{i_1\dots i_p}\sqrt{\frac{N^{p-1}}{\pi J^2p!}}\exp\left(-\frac{J_{i_1\dots i_p}^2N^{p-1}}{J^2p!}\right)\right]\text{Tr}_{\sigma_i^a}\exp\left(\beta\sum_a\sum_{i_1<\dots< i_p}J_{i_1\dots i_p}\sigma_{i_1}^a\cdots\sigma_{i_p}^a+\beta\sum_{i,a}\sigma_i^a\right) \end{align*} $X = \sum_a\sigma_{i_1}^a\cdots\sigma_{i_p}^a$로 두고, 각 $J_{i_1\dots i_p}$에 대한 적분을 먼저 수행하면 \begin{align*} &\sqrt{\frac{N^{p-1}}{\pi J^2p!}}\int dJ_{i_1\dots i_p}\exp\left(-\frac{N^{p-1}}{J^2p!}J_{i_1\dots i_p}^2+\beta XJ_{i_1\dots i_p}\right)\\ =&\sqrt{\frac{N^{p-1}}{\pi J^2p!}}\int dJ_{i_1\dots i_p}\exp\left[-\frac{N^{p-1}}{{J^2p!}}\left(J_{i_1\dots i_p}-\frac{\beta J^2p!X}{2N^{p-1}}\right)^2+\frac{\beta^2J^2p!X^2}{4N^{p-1}}\right]\\ =&\exp\left(\frac{\beta^2J^2p!X^2}{4N^{p-1}}\right) \end{align*} 이므로 \begin{align*} \overline{Z^n}=&\text{Tr}_{\sigma_i^a}\exp\left[\frac{\beta^2J^2p!}{4N^{p-1}}\sum_{i_1<\cdots<i_p}\sum_{ab}\sigma_{i_1}^a\sigma_{i_1}^b\cdots\sigma_{i_p}^a\sigma_{i_p}^b+\beta h\sum_{i,a}\sigma_i^a\right]\\ =&\text{Tr}_{\sigma_i^a}\exp\left[\frac{\beta^2J^2N}{4}\sum_{ab}\left(\frac1N\sum_i\sigma_{i}^a\sigma_{i}^b\right)^p+\beta h\sum_{i,a}\sigma_i^a\right]\\ =&\exp\left[\frac{\beta^2J^2Nn}{4}\right]\text{Tr}_{\sigma_i^a}\exp\left[\frac{\beta^2J^2N}{4}\sum_{a\neq b}\left(\frac1N\sum_i\sigma_{i}^a\sigma_{i}^b\right)^p+\beta h\sum_{i,a}\sigma_i^a\right]\\ \end{align*} 가 된다. 그리고 $N^{-1}\sum_i\sigma_i^a\sigma_i^b=Q_{ab}$가 되도록 구속조건 \begin{align*} 1=&\int dQ_{ab}\delta\left(\sum_i\sigma_i^a\sigma_i^b-NQ_{ab}\right)\\ =&\int dQ_{ab}\int_{-i\infty}^{+i\infty}\frac{d\lambda_{ab}}{2\pi}\exp\left[\lambda_{ab}\left(\sum_i\sigma_i^a\sigma_i^b-NQ_{ab}\right)\right] \end{align*} 를 포함하면 \begin{align*} \overline{Z^n} =& \exp\left[\frac{\beta^2J^2Nn}{4}\right]\int\left(\prod_{a<b}dQ_{ab}\right)\int_{-i\infty}^{+i\infty}\left(\prod_{a<b}\frac{\lambda_{ab}}{2\pi}\right)\exp\left[\frac{\beta^2J^2N}{4}\sum_{a\neq b}Q_{ab}^p-\frac N2\sum_{a\neq b}\lambda_{ab}Q_{ab}\right]\\ &\quad\times\text{Tr}_{\sigma_i^a}\exp\left[\sum_i\left(\frac12\sum_{a\neq b}\lambda_{ab}\sigma_i^a\sigma_i^b+\beta h\sum_{a}\sigma_i^a\right)\right]\\ \equiv& e^{nN\beta^2/n}\int\left(\prod_{a<b}dQ_{ab}\right)\int_{-i\infty}^{+i\infty}\left(\prod_{a<b}\frac{\lambda_{ab}}{2\pi}\right)e^{-NG(Q_{ab},\lambda_{ab})} \end{align*} 로 쓸 수 있고, 여기서 자유에너지 $G(Q_{ab},\lambda_{ab})$는 $$G(Q_{ab},\lambda_{ab}) = -\frac14\beta^2\sum_{a\neq b}Q_{ab}^p+\frac12\sum_{a\neq b}\lambda_{ab}Q_{ab}-\log\text{Tr}_{\sigma_a}\exp\left[\frac12\sum_{a\neq b}\lambda_{ab}\sigma_a\sigma_b+\beta h\sum_a\sigma_a\right]$$ 로 주어진다.

모든 복제본의 쌍 $a,b$에 대해 $Q_{ab}=Q$, $\lambda_{ab} = \lambda$로 가정하면 자유에너지는 \begin{align*} G(Q,\lambda)&=-\frac{n(n-1)}4\beta^2Q^p+\frac{n(n-1)}2\lambda Q-\log\text{Tr}_{\sigma_a}\exp\left[\frac12\lambda\sum_{a\neq b}\sigma_a\sigma_b+\beta h\sum_a\sigma_a\right] \end{align*} 로 쓸 수 있고, 마지막 $\log\text{Tr}$항은 \begin{align*} &\log\text{Tr}_{\sigma_a}\exp\left[\frac12\lambda\sum_{a\neq b}\sigma_a\sigma_b+\beta h\sum_a\sigma_a\right]\\ =&\log\text{Tr}_{\sigma_a}\exp\left[\frac12\lambda \left(\sum_{a}\sigma_a\right)^2-\frac12\lambda n+\beta h\sum_a\sigma_a\right]\\ =&-\frac12\lambda n+\log\text{Tr}_{\sigma_a}\exp\left[\frac\lambda2\left(\sum_a\sigma_a\right)^2+\beta h\sum_a\sigma_a\right] \end{align*} 이다. 허바드-스트라토노비치_변환 $$\exp\left[\frac\lambda2\left(\sum_a\sigma_a\right)^2\right] = \sqrt{\frac\lambda{2\pi}}\int dz\exp\left[-\frac\lambda2z^2+\lambda z\sum_a\sigma_a\right]$$ 를 적용하면 \begin{align*} &\log\text{Tr}_{\sigma_a}\exp\left[\frac12\lambda\sum_{a\neq b}\sigma_a\sigma_b+\beta h\sum_a\sigma_a\right]\\ =&-\frac12\lambda n+\log\left[\sqrt{\frac\lambda{2\pi}}\int dz\,e^{-\lambda z^2/2}\,\text{Tr}_{\sigma_a}\exp\left((\lambda z+\beta h)\sum_a\sigma_a\right)\right]&\quad (z\rightarrow z/\sqrt\lambda) \\ =&-\frac12\lambda n+\log\left[\frac1{\sqrt{2\pi}}\int dz\,e^{-z^2/2}\left(2\cosh\left(\sqrt\lambda z+\beta h\right)\right)^n\right]&\left(\int\frac{dz}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-z^2/2}\equiv \int Dz\right)\\ =&-\frac12\lambda n+n\log 2+\log\left[\int Dz\exp\left\{n\log\cosh\left(\sqrt\lambda z+\beta h\right)\right\}\right]\\ \approx&-\frac12\lambda n+n\log 2+\log\left[1+\int Dz\left\{n\log\cosh\left(\sqrt\lambda z+\beta h\right)+\mathcal O(n^2)\right\}\right]\\ \approx&-\frac12\lambda n+n\log 2+n\int Dz\log\cosh\left(\sqrt\lambda z+\beta h\right) \end{align*} 이므로, $$\frac1nG(Q,\lambda)\overset{n\rightarrow0}{\longrightarrow}\,\,\frac14\beta^2Q^p-\frac12\lambda (Q-1)+\log2-\int_{-\infty}^\infty Dz\log\left[2\cosh\left(z\sqrt\lambda+\beta h\right)\right]$$ 가 된다. 그리고 안장점 조건을 이용하면 $$\frac{\partial G}{\partial Q}=0\quad\Rightarrow\quad\frac12\beta^2pQ^{p-1} = \lambda\qquad\text{eqn. 26}$$ \begin{align*} \frac{\partial G}{\partial\lambda} = 0\quad\Rightarrow\quad 0&=-\frac 12(Q-1)-\frac1{2\sqrt\lambda}\int Dz\,z\tanh\left(\sqrt\lambda z+\beta h\right)\\ \Rightarrow\quad Q&=1-\frac1{\sqrt{2\pi\lambda}}\int dz \,e^{-z^2/2}z\tanh\left(\sqrt\lambda z+\beta h\right)\\ \Rightarrow\quad Q&=1-\frac1{\sqrt{2\pi\lambda}}\int dz\frac d{dz}\left(e^{-z^2/2}\right)\tanh\left(\sqrt\lambda z+\beta h\right)\\ \Rightarrow\quad Q&=1-\frac1{\sqrt{2\pi\lambda}}\left[\left.e^{-z^2/2}\tanh\left(\sqrt\lambda z+\beta h\right)\right\vert_{-\infty}^\infty-\sqrt\lambda\int dz\,e^{-z^2/2}\,\text{sech}^2\left(\sqrt\lambda z+\beta h\right)\right]\\ \Rightarrow\quad Q&=1-\int Dz\,\,\text{sech}^2\left(\sqrt\lambda z+\beta h\right)\\ \Rightarrow\quad Q&=\int Dz\,\tanh^2\left(\sqrt\lambda z+\beta h\right) \end{align*} 를 얻고, $p\rightarrow\infty$인 극한에서 $$\lambda = 0\quad\text{and}\quad Q = \tanh^2(\beta h)$$ 이므로 자유에너지는 $$-\beta\overline F=\frac14N\beta^2 +N\left(\log2+\log\cosh(\beta h)\right)\\ \Rightarrow \frac{\overline F}N = -\frac1{4T} - T\log2-T\log\cosh\frac hT$$ 가 된다. 이 때 엔트로피를 구해보면 \begin{align*} S =& -\left(\frac{\partial F}{\partial T}\right)=-\frac1{4T^2}+\log\cosh\frac hT-\frac hT\tanh\frac hT \end{align*} 이므로 특정 온도 $T_1(h)$이하에서 엔트로피가 음수가 된다. 따라서 이보다 높은 온도 어딘가에서 복제 대칭성이 깨져야 한다. 외부 자기장 $h$에 대해 엔트로피가 음수가 되는 온도를 그려보면 다음과 같다.

• M. Mézard and A. Montanari, Information, Physics, and Computation (Oxford University Press, Oxford, 2009).
• B. Derrida, Random-Energy Model: Limit of a Family of Disordered Models, Phys. Rev. Lett. 45, 79 (1980).