'범함수(functional)'를 쉽게 표현하자면 '함수의 함수' 이다. 어떤 변수 $x$의 집합을 정의역으로 갖는 함수 $g(x)$가 있을 때, 그 함수 $g(x)$의 집합을 정의역으로 갖는 함수가 있다면 그를 '범함수'라고 부르기 때문이다. $\\$ 그러한 범함수를 이용하여 기술되는 방정식이 있다면 그를 '범함수 방정식(functional equation)' 이라고 부른다. 가령, 아래의 식을 예로 들어볼 수 있다. $\\$ $$g(x)=\alpha g^2 \left(\frac {x}{\alpha} \right).$$ $\\$ 이때 $g^2(x)$는 $g(x)$의 함숫값을 제곱한 것이 아니라, $g(x)$의 함숫값을 한번 더 $g(x)$에 대입하는 '합성함수' $g(g(x))$를 의미한다. $\\$ 또한, 어떤 전제 조건에 따르면, $g(x)$는 $x=0$에서 극대값을 갖는 함수이다. 그리고, $\alpha$ 는 음수(negative) 여야 한다.$\\$ $\\$ (위의 방정식은 '비선형 동역학'과 관련된 개념 중 '1차원 사상 (one-dimensional maps)'에 대해 설명되는 식으로서, 'unimodal'하고 미분 가능한 1차원 사상이 '재규격화(renormalization)' 이론에 따라 만족해야 하는 방정식이다.$\\$ 이에 대해 더 자세히 설명하기 위해, 1차원 사상에 대한 추가적인 게시글을 작성 완료하게 되면 아래에 덧붙이겠다.)$\\$ $\\$ $g(x)$는 $x=0$ 근처에서 전개하였을 때 다음과 같은 형태의 '테일러 전개 (Taylor expansion)'이 가능하다고 하자.$\\$ $$g(x)=1+bx^2+cx^3+dx^4+...$$ $\\$ 이때, $x$에 대한 1차항의 계수가 $0$인 이유는 $g(x)$가 $x=0$에서 극대값을 갖기 때문이며, 물론 그러한 상황에서는 $x$의 2차항의 계수인 $b$는 $0$이 되어서는 안될 것이다.$\\$ $\\$ 그리고 주어진 문제는 다음과 같다 : '각각의 계수 $b$와 $d$, 그리고 '축적 인자' $\alpha$를 구해볼 수 있는가'$\\$ '또한, $x$에 대한 3차항이, $g(x)$를 $x=0$ 근처에서 테일러 전개한 식에 포함되지 않는다는 것을 $c=0$ 임을 통해 보일 수 있겠는가'$\\$ $\\$ 이번 게시글에서는, 이와 같은 범함수 방정식에 대한 문제를 풀이하는 기초적인 방법을 소개하고 설명하는 것에 그 목적이 있다.

계산이 다소 번잡한 대신에, 가장 빠르게 접근할 수 있는 방법이 있다. $g(x)=1+bx^2+cx^3+dx^4+...$ 라는 함수식을 그대로 이용하여 풀이하는 것이다. 편리함을 위해 $g(x)=1+bx^2+cx^3+dx^4$ 으로, $x$에 대한 4차항 까지만 전개하였다고 가정하자. 그렇다면 $g^2(x)$는 $x$에 대한 16차항 까지 존재하는 식으로 표현이 될 것이며,$\\$ 그 수식 중에서 ($b$ 및 $c$, 그리고 $d$를 구하기 위해서는) 0차항(상수항), 2차항, 3차항, 4차항의 계수만 뽑아낸 후, 그 계수가 각각 $1,\ b,\ c, \ d$와 같다는 조건을 연립 하여 풀어내면 될 것이다. $\\$ $\\$ 이러한 풀이를 높은 효율로 계산할 수 있게 하는 도구들이 있다. (그 중 우리는 'Mathematica'를 이용해 보자.)$\\$ 우선 아래와 같이 2차항, 3차항과 4차항의 계수를 미지수로 설정해 준다면, $g(x)$ 및 $\alpha g^2 \left(\frac {x}{\alpha} \right)$ 는 다음과 같다. $\\$ $\\$ $\\$ 원하는 차수에 대응되는 각 계수를 뽑아내는 함수를 (아래와 같이) 이용하면, 각각 다음과 같다.$\\$ $\\$ $\\$ 이렇게 얻어진 0차, 2차, 3차, 그리고 4차항의 계수들은 각각 $1,\ b,\ c, \ d$ 와 같아야하며, 그를 설명하는 수식은 앞서 언급한 수식과 같다 : $$g(x)=\alpha g^2 \left(\frac {x}{\alpha} \right).$$ $\\$ 그 3가지 조건과, 초반에 언급한 $\alpha<0$ 및 $b \ne 0$ 을 함께 연립한다면, 그를 풀이하는 (아래와 같은) 함수를 이용하여 풀이하자.$\\$ $\\$ $\\$ $\\$ 즉, 일련의 과정에 따라 계산한 결과는 $b=-1.52224,\ d=0.127613,\ \alpha=-2.53403$ 와 같다. 또한, 3차항의 계수인 $c$는 $0$이다.$\\$ $\\$ $\\$ 아래에 표기한 참고문헌에 따르면, $b \approx -1.5276,\ d \approx 0.1048,\ \alpha \approx -2.5029$ 와 같이 얻어진다고 한다.$\\$ 따라서, 두 결과는 소수점 첫 번째 자리 까지는 잘 상응하지만 그 이후 소수점 자리부터는 분명 오차를 보인다.$\\$ 해당 참고문헌에는 저자들에 의해 직접 사용된 수치해석적인(numerical) 계산법이 자세하게 묘사되어 있지 않지만, 어떤 이는 여러가지 방법을 통해 위의 오차를 줄여낼 수 있을 것이다.$\\$ $\\$

• Steven H. Strogatz, Nonlinear dynamics and chaos (CRC Press, 2015).