Bethe ansatz

'베테 가설 풀이(Bethe ansatz)'란, 1차원 양자 다체 모형(quantum many-body models)에서 '정확한 파동함수'를 구하기 위해 사용되는 방법이다.

자세한 설명에 앞서, 'Bethe ansatz'의 전체적인 단계를 아래와 같이 정리할 수 있다.

$$\\ $$

$[1]$. 주어진 모형의 해밀토니안(Hamiltonian)을 고유 상태(eigenstate)에 걸어줌으로써 고유값 방정식(eigenvalue equation)을 얻는다.

$[2]$. Bethe ansatz에 따른 '시험 파동함수'(trial wave function)을 도입한다.

$[3]$. 입자들의 위치가 '인접하지 않은 (ex. $x_2 ≠ x_1+1$) 경우'에 대해 '고유값 방정식'으로 부터 $E$ (에너지)를 얻는다.

$[4]$. ($N>1$일 때) 그 $E$는 입자들이 '인접한 경우에도' (ex. $x_2 = x_1+1$) 성립해야 하므로, $[3]$ 에서 구한 $E$의 식과 비교하여 얻은 결과로서 각 계수에 대한 조건식을 얻는다.

$[5]$. 주기적 경계 조건(Periodic Boundary Condition)를 적용해서 BAE(Bethe ansatz equation)을 얻는다.

$$\\ $$

다음의 내용에서는 TASEP(totally asymmetric simple exclusion process) 모형의 해밀토니안에 대해

정확한 파동함수를 적절하게 구해보려고 한다.

$$\\ $$

ASEP 모형과 관련된 설명이 작성된 게시글[링크] 내용에 따라

'1차원 사슬(chain)의 각 위치(site)에 스핀(spin)이 존재'하는 경우의 모형을 '입자가 존재하며 다른 위치로 이동'하는 경우의 모형으로 대체해서 이해할 수 있으며

그에 해당되는 변수는 '스핀 $\tau_i$'와 '점유수(occupation number)' $n_i$이다. 여기서 $\tau_i=1-2n_i$로 정의된다. $$\\ $$ 즉, $i$번째 위치에 입자가 존재하면 $n_i=1, \ \tau_i=-1$, 입자가 존재하지 않으면 $n_i=0, \ \tau_i=+1$ 이다.

$$\\ $$

ASEP모형의 해밀토니안은 다음과 같으므로

$$H=\sum_i\Biggl\{ -p\sigma_i^+ \sigma_{i+1}^--q\sigma_i^-\sigma_{i+1}^+ + \frac{(p+q)}{4}(1-\sigma_i^z\sigma_{i+1}^z) \Biggl\}$$

이번 게시글에서 설명하고자 하는 TASEP모형의 해밀토니안은 다음과 같이 주어진다.

$$H=\sum_i\Biggl\{ -\sigma_i^+ \sigma_{i+1}^- + \frac{1}{4}(1-\sigma_i^z\sigma_{i+1}^z) \Biggl\}$$

$p=1, \ q=0$으로, 입자가 왼쪽이 아닌 오른쪽으로만 이동하는 모형이다.

$$\\ $$

우선, 입자의 개수가 $1$개 존재하는 경우를 풀이해보자.

다음과 같이 '고유 상태'를 '브라-켓(bra-ket) 표기법' 으로 나타낸다면 다음과 같고

$$|\Psi\rangle = \sum_{x=1}^L \psi(x)|x\rangle.$$ 그 상태에 아래와 같이 TASEP 모형의 해밀토니안을 걸어줄 수 있다.

$$\begin{align} H|\Psi\rangle &=-\psi(x)\sum_{i=1 }^L\left[ -\sigma_i^+ \sigma_{i+1}^- + \frac{1}{4}(1-\sigma_i^z\sigma_{i+1}^z) \right]|x\rangle \\ &=-\psi(x)|x+1\rangle+\frac{1}{2}\psi(x)|x \rangle +\frac{1}{2}\psi(x)|x \rangle \\ &=-\psi(x)|x+1\rangle+\psi(x)|x \rangle . \end{align}$$ 이와 같이, 해밀토니안의 각 위치($j$)에 대한 '올림 연산자($\sigma_j^+$)'와 '내림 연산자($\sigma_j^-$)'에 의해서

아래를 향하는 ($\tau_j=-1$)스핀이 위를 향하게 되거나, 위를 향하는 ($\tau_j=+1$)스핀이 아래를 향하게 되므로

그에 따라 상태를 나타내는 '켓(ket)'이 바뀌게 된다.

$$\\ $$ 이때, 입자가 존재할 경우에는($n_j=1$) 스핀은 아래($\tau_j=-1$)를 향하고, 그렇지 않은 경우에는($n_j=0$) 스핀이 위($\tau_j=+1$)를 향하는 표기법을 떠올려보면

해밀토니안의 식에서 $\sigma_i^{+}\sigma_{i+1}^{-}$의 항은 '$i$번째 위치의 입자를 $(i+1)$번째 위치로 이동시키는 역할을 하고 $$\\ $$

$\frac{1}{4}(1-\sigma_i^z\sigma_{i+1}^z)$의 항은 $i$번째 위치의 입자 점유수와 $(i+1)$번째 위치의 입자 점유수가 다를 때에 $\frac{1}{2}$씩의 기여분을 주며, 서로 같을 때에는 $0$의 기여분을 역할을 한다.

이때, 점유수는 $0$ 이거나 $1$이다.

$$\\ $$

$[1]$.

해밀토니안의 '고유값 방정식'은 해당되는 고유 상태에 해밀토니안을 걸어주었을 때, 해당 고유상태가 바뀌지 않는 방정식을 말하므로

$|x\rangle$가 되는 항을 찾아서 아래와 같이 식을 작성하면 된다. ($|x\rangle$으로 변하게 된 항을 색으로 구별하여 표시하였다.)

$$H\ \sum_{x=1}^L \psi(x-1)|x-1\rangle = \color{blue}{-\psi(x-1)|x\rangle} \color{black}{+\psi(x-1)|x-1\rangle}$$

또한, $|\Psi\rangle = \sum_{x=1}^L \psi(x)|x\rangle$에 해밀토니안 $H$를 걸어준 결과에도 다시 $\psi(x)|x \rangle$의 항이 나온다는 것에 주목하자.

$$\\ $$ $[2]$.

이제, 'Bethe ansatz'에 따라 $N=1$에 대한 '시험 파동함수'(trial wave function)를 다음과 같이 도입하자.

$$\psi(x)=z^x=e^{ikx}$$

$$\\ $$ $[3]$.

앞서 얻은 $E$에 대한 고유값 방정식을 위의 식이 만족해야 하므로, 그를 풀이하여 정확한 식을 얻을 수 있다.

$$\begin{align} &E\psi(x) = \{-\psi(x-1) + \psi(x) \} \\ &Ez^x=-z^{x-1}+z^{x}=(1-1/z)z^x\\ \end{align}$$

$$\therefore \ E=1-1/z$$

$$\\ $$

또한, 주기적 경계 조건(PBC)인 $\psi(x+L)=\psi(x)$도 만족 시켜야 하므로, 다음과 같이 식을 얻을 수 있다.

$$\psi(x+L)=\psi(x) = z^{x+L}=z^xz^L=z^x \\ \therefore z^L = 1.$$

따라서, $N=1$인 경우의 TASEP에 대해서는 다음의 결과를 얻었다.

$$\psi(x) = z^x \to E=1-1/z, \ z^L =1$$

$$\\ $$

입자의 개수가 2개 존재할 경우, 고유 상태를 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$|\Psi\rangle = \sum_{1\le x_1 < x_2 \le L} \psi(x_1,x_2)|x_1x_2 \rangle.$$

$$\\ $$

$[1]$.

이러한 상태에 해밀토니안을 걸어주면 ($N=1$의 상황과 마찬가지로) '입자가 존재하는 위치에 대해서만' 연산이 걸린다는 것을 알 수 있다.

$$\begin{align} H|\Psi\rangle &=-\psi(x_1,x_2)\sum_{i=1 }^L\left[ -\sigma_i^+ \sigma_{i+1}^- + \frac{1}{4}(1-\sigma_i^z\sigma_{i+1}^z) \right]|x_1x_2\rangle \end{align}$$

$$\begin{align} (x_2\ne x_1+1) : \ H|\Psi\rangle = & -\psi(x_1,x_2)|x_1+1,x_2\rangle -\psi(x_1,x_2)|x_1,x_2+1\rangle +4×\frac{1}{2}\psi(x_1,x_2)|x_1,x_2\rangle \\ = & -\psi(x_1,x_2)|x_1+1,x_2\rangle -\psi(x_1,x_2)|x_1,x_2+1\rangle +2\psi(x_1,x_2)|x_1,x_2\rangle \\ \\ (x_2= x_1+1) : \ H|\Psi\rangle = & -\psi(x_1,x_2)|x_1,x_2+1\rangle +2×\frac{1}{2}\psi(x_1,x_2)|x_1,x_2\rangle \\ = & -\psi(x_1,x_2)|x_1,x_2+1\rangle +\psi(x_1,x_2)|x_1,x_2\rangle \\ \end{align}$$

$(x_2= x_1+1)$인 경우를 따로 고려하는 이유는, ASEP은 한 위치에 $2$개 이상의 입자가 존재할 수 없는 모형이기 때문이다.

$$\\ $$ $N=1$일 때와 마찬가지로, $|x_1x_2 \rangle$의 켓(ket)으로 변하게 되는 항을 고려해주면

아래와 같이 고유값 방정식을 얻을 수 있다.

$$\\ $$ $x_2 \ne x_1+1$에 대해,

$$\begin{align} E\psi(x_1,x_2) =&\{\psi(x_1,x_2) -\psi(x_1-1,x_2) \}\\ +& \{ \psi(x_1,x_2)-\psi(x_1,x_2-1)\} \end{align}$$

$$\\ $$ $x_2=x_1+1$에 대해서는, $$\begin{align} E\psi(x_1,x_2) =&\{\psi(x_1,x_2) -\psi(x_1-1,x_2) \} \end{align}$$

$$\\ $$

$[2]$.

'Bethe ansatz'에 따라 $N=2$에 대한 '시험 파동함수'(trial wave function)를 다음과 같이 도입하자.

$$\psi(x_1,x_2)=A_{12}z_1^{x_1}z_2^{x_2} + A_{21}z_2^{x_1}z_1^{x_2}$$

$$\\ $$ $[3]$.

앞서 얻은 $E$에 대한 고유값 방정식을 위의 파동함수 식이 만족해야 하므로, 그를 이용하여 아래와 같이 정확한 식을 얻을 수 있다.

$$\begin{align} & (\text{For }\ x_2 \ne x_1+1 )\\ \\ &E\psi(x_1,x_2) =E( A_{12}z_1^{x_1}z_2^{x_2} + A_{21}z_2^{x_1}z_1^{x_2}) \\ &=\{\psi(x_1,x_2) -\psi(x_1-1,x_2) \}+ \{ \psi(x_1,x_2)-\psi(x_1,x_2-1)\} \\ &=\{A_{12}z_1^{x_1}z_2^{x_2} + A_{21}z_2^{x_1}z_1^{x_2}-A_{12}z_1^{x_1-1}z_2^{x_2} + A_{21}z_2^{x_1-1}z_1^{x_2}\\ &\quad \ \ + A_{12}z_1^{x_1}z_2^{x_2} + A_{21}z_2^{x_1}z_1^{x_2}-A_{12}z_1^{x_1}z_2^{x_2-1} + A_{21}z_2^{x_1}z_1^{x_2-1} \} \\ & =(A_{12}z_1^{x_1}z_2^{x_2} + A_{21}z_2^{x_1}z_1^{x_2})\{ 1-z_1^{-1}+1-z_2^{-1}\} \\ & = \psi(x_1,x_2)\left(\sum_{i=1}^2 (1-1/z_i) \right) \\ \\ & \therefore\ E = \sum_{i=1}^2 (1-1/z_i) \end{align}$$

$$\\ $$

$[4]$.

위에서 얻은 $E$는 입자들이 '인접한 경우에도' ($x_2 = x_1+1$) 성립해야 한다.

그러기 위해서는, 앞서 살펴본

$$\begin{align} E\psi(x_1,x_2) =&\{\psi(x_1,x_2) -\psi(x_1-1,x_2) \} \end{align}$$ 의 식을 통해서

$$\\ $$ $x_2=x_1+1$ 일 때는 $\{ \psi(x_1,x_2)-\psi(x_1,x_2-1)\}=0$이어야 함을 알 수 있고

그에 따라 $\psi(x_1,x_1+1)=\psi(x_1,x_1)$을 만족해야 함을 알 수 있으므로 아래와 같이 조건식을 얻을 수 있다.

$$\psi(x_1,x_1)=A_{12}z_1^{x_1}z_2^{x_1}+A_{21}z_2^{x_1}z_1^{x_1} \\ =\psi(x_1,x_1+1)=A_{12}z_1^{x_1}z_2^{x_1+1}+A_{21}z_2^{x_1}z_1^{x_1+1}\\ = A_{12}z_2z_1^{x_1}z_2^{x_1}+A_{21}z_1z_2^{x_1}z_1^{x_1}$$ $$\to A_{12}+A_{21}=A_{12}z_2+A_{21}z_1$$ $$\to A_{12}(1-z_2)=A_{21}(z_1-1)=-A_{21}(1-z_1)$$

여기에서, $z_1=z_2=1$이 아니라면 다음과 같이 표현 가능하다.

$$\frac{A_{21}}{A_{12}}=-\frac{1-z_2}{1-z_1}=-\frac{z_2-1}{z_1-1}$$

이로써, 각 계수에 대한 조건식을 얻었다.

$$\\ $$ $[5]$.

이제, 파동 함수 $\psi(x_1,x_2)$에 다음과 같은 '주기적 경계 조건(PBC)'를 적용하고자 한다.

$$\psi(x_1,x_2)=\psi(x_2,x_1+L)$$

($x_1 < x_2$ 이며 $x_2 < x_1+L$ 임에 유의하자.)

$$\\ $$ 이를 아래와 같이 풀이한다.

$$\begin{align} A_{12} \color{red}{z_1^{x_1}z_2^{x_2}} \color{black}{+ A_{21}} \color{blue}{z_2^{x_1}z_1^{x_2}} &=A_{12}z_1^{x_2}z_2^{x_1+L} + A_{21}z_2^{x_2}z_1^{x_1+L} \\ &=A_{12}\color{blue}{z_1^{x_2}z_2^{x_1}}\color{black}z_2^L + A_{21}\color{red}{z_2^{x_2}z_1^{x_1}} \color{black}z_1^L \\ \\ \end{align}$$

$$\begin{align} &\to (A_{21}-A_{12}z_2^L)\color{blue}{z_1^{x_2}z_2^{x_1}} + (A_{12}-A_{21}z_1^L)\color{red}{z_2^{x_2}z_1^{x_1}}=0 \\ \end{align}$$

위의 식을 살펴보면, 입자의 위치인 $x_1$과 $x_2$에 의존하는 항은 파란색과 빨간색으로 표시된 $z_1^{x_2}z_2^{x_1}$와 $z_2^{x_2}z_1^{x_1}$이다.

위의 방정식은 '어떠한 $x$에 대해서도' 만족 되어야 한다. 따라서,

$$A_{21}-A_{12}z_2^L =0\\ A_{12}-A_{21}z_1^L =0$$ 를 얻고, 그에 따라 아래의 BAE(Bethe ansatz equations)를 얻는다.

$$z_1^L = \frac{A_{12}}{A_{21}} = B(z_1,z_2),\\ z_2^L = \frac{A_{21}}{A_{12}} = B(z_2,z_1).$$

$$\\ $$

입자의 개수가 3개 존재할 경우, 고유 상태를 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$|\Psi \rangle =\sum_{x_1<x_2<x_3} \psi(x_1,x_2,x_3)|x_1,x_2,x_3 \rangle.$$

$$\\ $$

$[1]$.

이러한 상태에 해밀토니안을 걸어주면 ($N=1, \ N=2$의 상황과 마찬가지로) '입자가 존재하는 위치에 대해서만' 연산이 걸린다. 따라서,

$$\begin{align} &H|\Psi \rangle =\sum_{i=1}^L\left( -\sigma_i^+ \sigma_{i+1}^- + \frac{1-\sigma_i^z\sigma_{i+1}^z}{4} \right)|\Psi \rangle \\ &\qquad \ =\sum_{x_1<x_2<x_3} \psi(x_1,x_2,x_3)\sum_{i=1}^L\left( -\sigma_i^+ \sigma_{i+1}^- + \frac{1-\sigma_i^z\sigma_{i+1}^z}{4} \right) |x_1,x_2,x_3 \rangle \end{align}$$

와 같이 표현할 수 있고

$N=1,\ N=2$의 경우와 마찬가지로, 아래와 같은 방식을 통해서 고유값 방정식을 아래와 같이 얻는다.

가령, 입자들의 위치가 인접한 경우가 아닌 $x_1=2, x_2=4,x_3=7$의 특정한 경우로 예를 들면

$$\begin{align} & \boldsymbol{\ x_1=2, x_2=4,x_3=7}\\ &\color{blue}{E\psi(2,4,7)|2,4,7 \rangle}\color{black}=-\psi(2,4,7)|3,4,7 \rangle - \psi(2,4,7)|2,5,7 \rangle - \psi(2,4,7)|2,4,8\rangle \\ &\qquad \quad \qquad \qquad \qquad +\psi(2,4,7)(2×\frac{1}{2}|2,4,7 \rangle + 2×\frac{1}{2}|2,4,7 \rangle+2× \frac{1}{2}|2,4,7 \rangle) \\ &= -\psi(2,4,7)|3,4,7 \rangle - \psi(2,4,7)|2,5,7 \rangle - \psi(2,4,7)|2,4,8 \rangle+\color{blue}{3\psi(2,4,7)|2,4,7\rangle} \ . \\ \\ \\ &H\psi(1,4,7)|1,4,7 \rangle \to \color{blue}{-\psi(1,4,7)|2,4,7\rangle}, \\ &H\psi(2,3,7)|2,3,7 \rangle \to \color{blue}{-\psi(2,3,7)|2,4,7\rangle}, \\ &H\psi(2,4,6)|2,4,6 \rangle \to \color{blue}{-\psi(2,4,6)|2,4,7\rangle}. \\ \end{align}$$

와 같이 $|2,4,7 \rangle$에 대한 결과적인 항을 얻을 수 있다.

$$\\ $$ 따라서, 일반적으로 $$E\psi(x_1,x_2,x_3)=-\psi(x_1-1,x_2,x_3)-\psi(x_1,x_2-1,x_3)-\psi(x_1,x_2,x_3-1)\\ +3\psi(x_1,x_2,x_3) \quad (\text{if }\ x_3>x_2+1,x_2>x_1+1)$$ 와 같이 얻을 수 있다.

입자들이 서로 인접하게 위치해 있는 경우들에 대해서도, 마찬가지로 아래와 같이 얻을 수 있다.

$$E\psi(x_1,x_2,x_3)=-\psi(x_1-1,x_2,x_3)-\psi(x_1,x_2,x_3-1)\\ +2\psi(x_1,x_2,x_3) \quad (\text{if }\ x_3>x_2+1,x_2=x_1+1)$$

$$E\psi(x_1,x_2,x_3)=-\psi(x_1-1,x_2,x_3)-\psi(x_1,x_2-1,x_3)\\ +2\psi(x_1,x_2,x_3) \quad (\text{if }\ x_3=x_2+1,x_2>x_1+1)$$

$$E\psi(x_1,x_2,x_3)=-\psi(x_1-1,x_2,x_3)\\ +\psi(x_1,x_2,x_3) \quad (\text{if }\ x_3=x_2+1,x_2=x_1+1)$$

$$\\ $$ $[2]$.

Bethe ansatz에 따라서, 파동함수를 다음과 같이 도입하자.

$$\psi(x_1,x_2,x_3) = A_{123}z_1^{x_1}z_2^{x_2}z_3^{x_3} +A_{213}z_2^{x_1}z_1^{x_2}z_3^{x_3} +A_{132}z_1^{x_1}z_3^{x_2}z_2^{x_3} \\ \qquad \qquad \qquad +A_{312}z_3^{x_1}z_1^{x_2}z_2^{x_3} +A_{231}z_2^{x_1}z_3^{x_2}z_1^{x_3} +A_{321}z_3^{x_1}z_2^{x_2}z_1^{x_3}$$

$$\\ $$ $[3]$.

인접하지 않은 경우에 대해서 풀이함으로써 고유값 $E$를 다음과 같이 얻는다.

$$E\psi(x_1,x_2,x_3) = E(\ A_{123}z_1^{x_1}z_2^{x_2}z_3^{x_3} +A_{213}z_2^{x_1}z_1^{x_2}z_3^{x_3} +A_{132}z_1^{x_1}z_3^{x_2}z_2^{x_3} \\ \qquad \qquad \qquad +A_{312}z_3^{x_1}z_1^{x_2}z_2^{x_3} +A_{231}z_2^{x_1}z_3^{x_2}z_1^{x_3} +A_{321}z_3^{x_1}z_2^{x_2}z_1^{x_3} \ ) \\ \\ =-\psi(x_1-1,x_2,x_3)-\psi(x_1,x_2-1,x_3)-\psi(x_1,x_2,x_3-1)\\ +3\psi(x_1,x_2,x_3) \\ \\ $$ $$= -(A_{123}z_1^{x_1-1}z_2^{x_2}z_3^{x_3} +A_{213}z_2^{x_1-1}z_1^{x_2}z_3^{x_3} +A_{132}z_1^{x_1-1}z_3^{x_2}z_2^{x_3} \\ \qquad \qquad \qquad +A_{312}z_3^{x_1-1}z_1^{x_2}z_2^{x_3} +A_{231}z_2^{x_1-1}z_3^{x_2}z_1^{x_3} +A_{321}z_3^{x_1-1}z_2^{x_2}z_1^{x_3}) \\ - (A_{123}z_1^{x_1}z_2^{x_2-1}z_3^{x_3} +A_{213}z_2^{x_1}z_1^{x_2-1}z_3^{x_3} +A_{132}z_1^{x_1}z_3^{x_2-1}z_2^{x_3} \\ \qquad \qquad \qquad +A_{312}z_3^{x_1}z_1^{x_2-1}z_2^{x_3} +A_{231}z_2^{x_1}z_3^{x_2-1}z_1^{x_3} +A_{321}z_3^{x_1}z_2^{x_2-1}z_1^{x_3}) \\ -( A_{123}z_1^{x_1}z_2^{x_2}z_3^{x_3-1} +A_{213}z_2^{x_1}z_1^{x_2}z_3^{x_3-1} +A_{132}z_1^{x_1}z_3^{x_2}z_2^{x_3-1} \\ \qquad \qquad \qquad +A_{312}z_3^{x_1}z_1^{x_2}z_2^{x_3-1} +A_{231}z_2^{x_1}z_3^{x_2}z_1^{x_3-1} +A_{321}z_3^{x_1}z_2^{x_2}z_1^{x_3-1}) \\ +3 (A_{123}z_1^{x_1}z_2^{x_2}z_3^{x_3} +A_{213}z_2^{x_1}z_1^{x_2}z_3^{x_3} +A_{132}z_1^{x_1}z_3^{x_2}z_2^{x_3} \\ \qquad \qquad \qquad +A_{312}z_3^{x_1}z_1^{x_2}z_2^{x_3} +A_{231}z_2^{x_1}z_3^{x_2}z_1^{x_3} +A_{321}z_3^{x_1}z_2^{x_2}z_1^{x_3}) \\ \\ $$ $$=(-z_1^{-1}-z_2^{-1}-z_3^{-1}+3)(\ A_{123}z_1^{x_1}z_2^{x_2}z_3^{x_3} +A_{213}z_2^{x_1}z_1^{x_2}z_3^{x_3} +A_{132}z_1^{x_1}z_3^{x_2}z_2^{x_3} \\ \qquad \qquad \qquad +A_{312}z_3^{x_1}z_1^{x_2}z_2^{x_3} +A_{231}z_2^{x_1}z_3^{x_2}z_1^{x_3} +A_{321}z_3^{x_1}z_2^{x_2}z_1^{x_3} \ ) \\ \\ =\sum_{i=1}^3 (1-1/z_k)\psi(x_1,x_2,x_3) \\ \\ \therefore \ E=\sum_{i=1}^3 (1-1/z_k)$$

$$\\ $$ $[4]$.

위에서 얻은 $E$는 입자들이 '인접한 경우에도' ($x_2 = x_1+1$, $x_3=x_2+1$) 성립해야 한다.

따라서, ($N=2$의 경우와 마찬가지로) 다음이 성립해야 함을 알 수 있다.

$$\\ $$ $x_2=x_1+1$의 경우에 대해서는, $$\psi(x_1,x_1,x_3) = \psi(x_1,x_1+1,x_3)$$

$$\\ $$ $x_3=x_2+1$의 경우에 대해서는, $$\psi(x_1,x_2,x_2) = \psi(x_1,x_2,x_2+1).$$

$$\\ $$ 위에서 얻은 조건을 아래와 같이 풀이할 수 있고

$$\to \ \psi(x_1,x_1,x_3)=\psi(x_1,x_1+1,x_3)\\ =(\ A_{123}z_1^{x_1}z_2^{x_1}z_3^{x_3} +A_{213}z_2^{x_1}z_1^{x_1}z_3^{x_3} +A_{132}z_1^{x_1}z_3^{x_1}z_2^{x_3} \\ \ \ +A_{312}z_3^{x_1}z_1^{x_1}z_2^{x_3} +A_{231}z_2^{x_1}z_3^{x_1}z_1^{x_3} +A_{321}z_3^{x_1}z_2^{x_1}z_1^{x_3} \ )$$

$$=(\ A_{123}z_1^{x_1}z_2^{x_1+1}z_3^{x_3} +A_{213}z_2^{x_1}z_1^{x_1+1}z_3^{x_3} +A_{132}z_1^{x_1}z_3^{x_1+1}z_2^{x_3} \\ \ \ +A_{312}z_3^{x_1}z_1^{x_1+1}z_2^{x_3} +A_{231}z_2^{x_1}z_3^{x_1+1}z_1^{x_3} +A_{321}z_3^{x_1}z_2^{x_1+1}z_1^{x_3} \ )$$

$$\to z_1^{x_1}z_3^{x_3}z_2^{x_1}[ \ A_{123}(z_2-1) + A_{213}(z_1-1) + A_{132}(z_3-1)\\ +A_{312}(z_1-1)+A_{231}(z_3-1)+A_{321}(z_2-1) \ ] =0$$

결과적으로, $z_1=z_2=z_3=1$이 아니라면 아래와 같이 계수의 비율에 대한 조건을 얻을 수 있다.

$$\therefore \ \frac{A_{213}}{A_{123}} = -\frac{z_2-1}{z_1-1}= B(z_2,z_1), \\ \frac{A_{312}}{A_{132}} -\frac{z_3-1}{z_1-1}= B(z_3,z_1), \\ \frac{A_{321}}{A_{231}} = -\frac{z_3-1}{z_2-1}= B(z_3,z_2).$$

나머지 조건에 대해서도

$$\to \ \psi(x_1,x_2,x_2)=\psi(x_1,x_2,x_2+1)\\ =(\ A_{123}z_1^{x_1}z_2^{x_2}z_3^{x_2} +A_{213}z_2^{x_1}z_1^{x_2}z_3^{x_2} +A_{132}z_1^{x_1}z_3^{x_2}z_2^{x_2} \\ \ \ +A_{312}z_3^{x_1}z_1^{x_2}z_2^{x_2} +A_{231}z_2^{x_1}z_3^{x_2}z_1^{x_2} +A_{321}z_3^{x_1}z_2^{x_2}z_1^{x_2} \ )$$

$$=(\ A_{123}z_1^{x_1}z_2^{x_2}z_3^{x_2+1} +A_{213}z_2^{x_1}z_1^{x_2}z_3^{x_2+1} +A_{132}z_1^{x_1}z_3^{x_2}z_2^{x_2+1} \\ \ \ +A_{312}z_3^{x_1}z_1^{x_2}z_2^{x_2+1} +A_{231}z_2^{x_1}z_3^{x_2}z_1^{x_2+1} +A_{321}z_3^{x_1}z_2^{x_2}z_1^{x_2+1} \ )$$

$$\to z_1^{x_1}z_3^{x_2}z_2^{x_2}[ \ A_{123}(z_3-1) + A_{213}(z_3-1) + A_{132}(z_2-1)\\ +A_{312}(z_2-1)+A_{231}(z_1-1)+A_{321}(z_1-1) \ ] =0$$

와 같이 풀이되며, $z_1=z_2=z_3=1$이 아니라면 아래와 같이 계수의 비율에 대한 조건을 얻을 수 있다.

$$\therefore \ \frac{A_{132}}{A_{123}} = -\frac{z_3-1}{z_2-1}= B(z_3,z_2),\\ \frac{A_{231}}{A_{213}} = -\frac{z_3-1}{z_1-1}= B(z_3,z_1),\\ \frac{A_{321}}{A_{312}} = -\frac{z_2-1}{z_1-1}= B(z_2,z_1),\\ $$

이러한 결과들을 아래와 같이 정리할 수 있다.

$$B(z_2,z_1) \equiv \frac{A_{213}}{A_{123}}, \ B(z_3,z_2) \equiv \frac{A_{132}}{A_{123}} \\ B(z_3,z_1) \equiv \frac{A_{231}}{A_{213}}, \ B(z_3,z_1) \equiv \frac{A_{312}}{A_{132}} \\ B(z_3,z_2) \equiv \frac{A_{321}}{A_{231}}, \ B(z_2,z_1) \equiv \frac{A_{321}}{A_{312}}$$

$$\\ $$ $[5]$.

이제, 파동 함수 $\psi(x_1,x_2,x_3)$에 다음과 같은 '주기적 경계 조건(PBC)'를 적용하고자 한다.

$$\psi(x_2,x_3,x_1+L)=\psi(x_1,x_2,x_3)$$

($x_1 < x_2 < x_3$ 이며 $x_2 < x_3 < x_1 +L$ 임에 유의하자.)

$$\\ $$ 이러한 조건을 위에서 도입했던 파동함수에 아래와 같이 적용한다.

$$(\ A_{123}z_1^{x_2}z_2^{x_3}z_3^{x_1+L} +A_{213}z_2^{x_2}z_1^{x_3}z_3^{x_1+L} +A_{132}z_1^{x_2}z_3^{x_3}z_2^{x_1+L} \\ \qquad \qquad \qquad +A_{312}z_3^{x_2}z_1^{x_3}z_2^{x_1+L} +A_{231}z_2^{x_2}z_3^{x_3}z_1^{x_1+L} +A_{321}z_3^{x_2}z_2^{x_3}z_1^{x_1+L} \ )$$

$$=(\ \color{orange}{A_{123}z_1^{x_2}z_2^{x_3}z_3^{x_1}z_3^L} +\color{purple}{A_{213}z_2^{x_2}z_1^{x_3}z_3^{x_1}z_3^L} +\color{black}{A_{132}z_1^{x_2}z_3^{x_3}z_2^{x_1}z_2^L} \\ \qquad \qquad \qquad+ \color{red}{A_{312}z_3^{x_2}z_1^{x_3}z_2^{x_1}z_2^L} +\color{green}{A_{231}z_2^{x_2}z_3^{x_3}z_1^{x_1}z_1^L} +\color{blue}{A_{321}z_3^{x_2}z_2^{x_3}z_1^{x_1}z_1^L} \ )$$

$$=(\color{green}{A_{123}z_1^{x_1}z_2^{x_2}z_3^{x_3}} +\color{black}{A_{213}z_2^{x_1}z_1^{x_2}z_3^{x_3}} +\color{blue}{A_{132}z_1^{x_1}z_3^{x_2}z_2^{x_3}} \\ \qquad \qquad \qquad +\color{orange}{A_{312}z_3^{x_1}z_1^{x_2}z_2^{x_3}} +\color{red}{A_{231}z_2^{x_1}z_3^{x_2}z_1^{x_3}} +\color{purple}{A_{321}z_3^{x_1}z_2^{x_2}z_1^{x_3}} \ )$$

$$\\ $$ 위의 풀이에 따라, 아래의 결과를 얻는다.

$$z_1^L = \frac{A_{132}}{A_{321}} = \frac{A_{132}}{A_{312}}\frac{A_{312}}{A_{321}} = B(z_1,z_3)B(z_1,z_2)$$

$$z_2^L = \frac{A_{213}}{A_{132}} = \frac{A_{213}}{A_{123}}\frac{A_{123}}{A_{132}} = B(z_2,z_1)B(z_3,z_2)$$

$$z_3^L = \frac{A_{312}}{A_{123}} = \frac{A_{312}}{A_{132}}\frac{A_{132}}{A_{123}} = B(z_3,z_1)B(z_3,z_2)$$

$$\\ $$

TASEP 모형에 대해서 $N=1$, $N=2$, 그리고 $N=3$의 경우에 대해 풀이하였으므로

'ASEP 모형'에 대한 다음의 결과와 비교할 수 있다.

$$E = \sum_{j=1}^N (1-p/z_j - qz_j)$$

그리고 $\{z_j\}$는 다음의 BAE를 만족한다.

$$z_j^L = \prod_{l\ne j} \left[ -\frac{z_j-qz_jz_l -p}{z_l-qz_jz_l -p} \right].$$

$$\\ $$ 입자가 오른쪽으로만 이동하는 경우로서 $q=0$, $p=1$를 대입하면,

앞서 수식과 함께 베테 가설 풀이로 살펴본 TASEP 모형의 결과들을 이해할 수 있다.

$$\\ $$

앞서 소개한 [링크] 의 내용에 따라,

ASEP 모형의 고유값 $E=0$는 곧 시간에 무관한 '정상 상태(stationary state)'에 해당하는 고유값이다.

$$\\ $$ 베테 가설 풀이를 진행하면, 이러한 $E=0$에 대해서 파동함수 $\psi(x_1,x_2,...,x_N)$이 $0$이 되는 것으로 잘못 이해할 수 있는 경우가 생긴다.

가령, 위에서 $N=2$에 대한 TASEP 모형을 풀이할 때, 각 계수 사이의 비율에 대한 조건식을 다음과 같이 얻었다.

$$\frac{A_{21}}{A_{12}}=-\frac{1-z_2}{1-z_1}=-\frac{z_2-1}{z_1-1}$$

$$\\ $$ 이때, $E = \sum_{i=1}^2 (1-1/z_i)$가 $0$인 경우는 $z_1=z_2=1$인 경우로서 $z_1=z_2$가 서로 같은 경우이다. (아래의 '$z$에 대한 조건' 내용 참고.)

따라서, $\frac{A_{21}}{A_{12}}=-\frac{z-1}{z-1}= -1$으로

$z_1=z_2=z$로 두면 다음과 같은 이상한 결과를 얻게 될 수 있다.

$$\psi(x_1,x_2)=A_{12}z^{x_1}z^{x_2} + A_{21}z^{x_1}z^{x_2}= A_{12}(z^{x_1}z^{x_2}-z^{x_1}z^{x_2})=0.$$

$$\\ $$ 그러나, 이것은 옳지 않다. 앞서 얻은 계수의 비율에 대한 조건은 원래 다음의 형태를 가졌다.

$$\to A_{12}+A_{21}=A_{12}z_2+A_{21}z_1$$

$$\to A_{12}(1-z_2)=A_{21}(z_1-1)=-A_{21}(1-z_1)$$

여기에서, $z_1=z_2=1$이라면 양변을 $0$으로 나눌 수 없으며

계수 $A_{12}$와 $A_{21}$에 무관하게 방정식이 만족되므로

$z_1=z_2=1$일 때는 (아래와 같이) 파동함수가 상수(constant)이다.

$$\psi(x_1,x_2)=A_{12}z_1^{x_1}z_2^{x_2} + A_{21}z_2^{x_1}z_1^{x_2}=A_{12}+A_{21}.$$

$$\\ $$ 이러한 파동함수의 값은 규격화(normalization)를 통해서 결정 가능하다.

$$\\ $$ 즉, 베테 가설 풀이를 통해 해를 구할 경우에는 $0/0$꼴의 극한값을 계산해야 하는 경우가 생기며, 이러한 경우에는

나누기 전의 원식을 미리 잘 파악해두는 것이 중요하다.

$$\\ $$

$N=1$의 예에서 파동함수를 도입할 때, $z=e^{ik}$로서 $z$의 크기가 $1$이라는 조건이 포함되었다.

$N=2,3,...$에 대해서도 마찬가지로, $z$의 크기가 $1$이라는 조건은 Bethe ansatz에 포함되어야 한다.

이러한 조건은 고유값이 $E=0$인 경우가 정상 상태(stationary state)의 해이며, 그 해가 유일한 해라는 것을 보이는데 있어서 중요하다.

$$\\ $$ 예를 들어 $N=2$에서 $E = \sum_{i=1}^2 (1-1/z_i)$이고, 그러한 $E=0$를 만족하는 $\{z_1, z_2\}$의 쌍은 무수히 많다.

즉, (위에서 언급한 $z$에 대한 조건이 없다면) 다음을 만족하기만 하면 TASEP의 $E=0$에 해당하는 해가 됨을 알 수 있다.

$$z_2 = \frac{z_1}{-1+2 z_1}$$

이렇듯 변수는 2개이고 풀이되는 조건식은 1개이므로, 해가 유일하지 않고 무수히 많게 되어

$z_1,z_2$의 크기에 대한 제한 조건이 추가로 필요하다.

$$\\ $$ 베테 가설 풀이는 원래 1차원 양자 사슬 모형을 풀이할 때에는 $z_i=e^{ik_i}$로 설정하여 해를 도입하므로

그를 따라서, 일반적인 $N$의 경우도 $z$의 크기가 $1$과 같다는 조건을 포함하면

TASEP의 $E=0$일 때의 해가 $z_1=z_2=1$로서 유일하다는 것을 다음과 같이 확인할 수 있다.

(Mathematica를 이용하여) 파란색 그래프는 조건에 따라 $|z_1|=1$을 그린 것이고, 주황색 그래프는 $|z_2|=|\frac{z_1}{-1+2 z_1}|=1$를 만족하는 $z_1$을 그린 것이다.

두 그래프의 접점이 $z_1=1$이므로 $z_2=\frac{z_1}{-1+2 z_1}=\frac{1}{-1+2}=1$로서 $z_1=z_2=1$이다.

$$\\ $$

Jae Dong Noh, Exactly Solvable Many-Body Stochastic Processes, 2014.

Leh-Hun Gwa and Herbert Spohn, Bethe solution for the dynamical-scaling exponent of the noisy Burgers equation, 1992.