개요
회전 좌표계와 같은 비관성계에서 운동의 기술.
회전 행렬
$\vec{x}(t)$가 시간 $t$에서 강체 위 어느 점의 위치 벡터라고 하자. 시간에 의존하는 회전 행렬 $R(t)$를 통해 초기조건을 이 $\vec{x}(t)$에 연결지을 수 있다: $$\vec{x}(t) = R(t) \vec{x}(0).$$ 그 시간 변화를 보면 $$\dot{\vec{x}}(t) = \dot{R}(t) \vec{x}(0) = \dot{R}(t) R^\intercal(t) \vec{x}(t)$$ 이며, 회전 행렬의 특성상 $$R(t) R^\intercal(t)=E$$ 임을 이용했다. $E$는 단위행렬이다. 방금 쓴 식의 양변을 미분해보자: $$\dot{R}(t) R^\intercal(t) + R(t) \dot{R}^\intercal(t) = 0.$$ 따라서 $$\dot{\vec{x}}(t) = \dot{R}(t) R^\intercal(t) \vec{x}(t) = - R(t) \dot{R}^\intercal(t) \vec{x}(t) = -\left[\dot{R}(t) R^\intercal(t) \right]^\intercal \vec{x}(t)$$ 이므로 이는 $\Omega(t) \equiv \dot{R}(t) R^\intercal(t)$가 반대칭(antisymmetric) 행렬임을 의미한다. 이 행렬을 성분으로 적어보자: $$\Omega = \begin{pmatrix} 0 & -\omega_z & \omega_y\\ \omega_z & 0 & -\omega_x\\ -\omega_y & \omega_x & 0 \end{pmatrix}.$$ 만일 $\vec{\omega} \equiv (\omega_x, \omega_y, \omega_z)^\intercal$로 정의한다면 $\dot{\vec{x}}(t) = \Omega(t) \vec{x}(t) = \omega(t) \times \vec{x}(t)$임을 확인할 수 있으며, 여기에서 $\vec{\omega}(t)$가 사실 각속도 벡터에 대응된다는 사실도 알 수 있다.
오일러 운동방정식
좌표 변환
강체에 붙어있는 비관성 좌표계 $B$에서 표현한 벡터 $\vec{v}_B$를 관성계 $N$에서의 표현 $\vec{v}$으로 바꿔주는 회전 행렬 $R$를 생각하자: $$\vec{v} = R \vec{v}_B.$$ 양변을 미분하면 다음의 식을 얻는다. \begin{eqnarray*} \frac{d}{dt} \vec{v} &=& R \frac{d}{dt} \vec{v}_B + \dot{R} \vec{v}_B\\ &=& R \frac{d}{dt} \vec{v}_B + \dot{R} R^\intercal R \vec{v}_B\\ &=& \left(\frac{d}{dt} \vec{v}_B \right)_N + \Omega \vec{v}\\ &=& \left(\frac{d}{dt} \vec{v}_B \right)_N + \vec{\omega} \times \vec{v}. \end{eqnarray*}
예
각속도 $\vec{\omega} = \omega \hat{k}$로 LP 디스크가 회전하고 있다고 하자. 그 위에서 벌레 한 마리가 음반 홈을 따라 음반이 회전하는 것과 같은 방향으로 움직이고 있는데, 회전축으로부터 거리 $\rho$만큼 떨어져 있으며, 음반에 대하여 일정 속력 $v_b$를 가지고 있다. 디스크를 따라 회전하는 비관성 좌표계에서 생각해보자. 벌레의 위치는 $$\vec{r}_B = \begin{pmatrix} \rho \cos \left( v_b t / \rho \right)\\ \rho \sin \left( v_b t / \rho \right)\\ 0 \end{pmatrix}$$ 이고, 회전 행렬은 다음처럼 표현할 수 있다: $$R = \begin{pmatrix} \cos\omega t & -\sin \omega t & 0\\ \sin\omega t & \cos\omega t & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}.$$ 관성 좌표계에서의 관찰자는 벌레의 위치를 아래처럼 관찰하고 $$\vec{r} = R \vec{r}_B = \begin{pmatrix} \rho \cos \left( v_b t / \rho + \omega t\right)\\ \rho \sin \left( v_b t / \rho + \omega t\right)\\ 0 \end{pmatrix}$$ 이를 시간에 대해 미분하면 $$\frac{d\vec{r}}{dt} = v_b \begin{pmatrix} -\sin(v_b t/\rho + \omega t)\\ \cos(v_b t/\rho + \omega t)\\ 0 \end{pmatrix} + \rho\omega \begin{pmatrix} -\sin(v_b t/\rho + \omega t)\\ \cos(v_b t/\rho + \omega t)\\ 0 \end{pmatrix} $$ 로서, 우변의 첫 번째 항은 $R (d\vec{r}_B / dt) = \left( d\vec{r}_B / dt \right)_N$에, 두 번째 항은 $\vec{\omega}\times \vec{r}$에 해당한다. 첫 번째 항을 관성 좌표계 $N$으로 옮겨오기 전에는 $$\frac{d}{dt}\vec{r}_B = v_b \begin{pmatrix} -\sin(v_b t/\rho)\\ \cos(v_b t/\rho)\\ 0 \end{pmatrix}$$ 임에 유의하라.
비관성 좌표계로의 변환
$\vec{v}$의 자리에 각운동량 벡터 $\vec{L}$을 집어넣고, 앞의 식에서 양변에 $R^\intercal$를 곱하여 비관성 좌표계에서의 기술로 바꾸자. \begin{eqnarray*} R^\intercal \frac{d}{dt} \vec{L} = R^\intercal \vec{\tau} = \left( \vec{\tau} \right)_B &=& \frac{d}{dt} \vec{L}_B + R^\intercal \dot{R} \vec{L}_B\\ &=& \frac{d}{dt} \vec{L}_B + R^\intercal \dot{R} R^\intercal R \vec{L}_B\\ &=& \frac{d}{dt} \vec{L}_B + R^\intercal \Omega R \vec{L}_B\\ &=& \frac{d}{dt} \vec{L}_B + \Omega_B \vec{L}_B\\ &=& \frac{d}{dt} \vec{L}_B + \vec{\omega}_B \times \vec{L}_B. \end{eqnarray*} 여기에서 행렬의 좌표 변환 $\Omega_B = R^\intercal \Omega R$을 사용했다. $\Omega_B$ 역시 반대칭 행렬임은 쉽게 보일 수 있다: $\Omega_B^\intercal = (R^\intercal \Omega R)^\intercal = R^\intercal \Omega^\intercal R = - R^\intercal \Omega R = -\Omega_B$. 따라서 적절한 벡터 $\vec{\omega}_B$를 도입하여 $\Omega_B \vec{L}_B = \vec{\omega}_B \times \vec{L}_B$로 고쳐 적었다. $\Omega = R \Omega_B R^\intercal$이므로 $\vec{\omega} = R \vec{\omega}_B$이어야 한다. 이는 오일러 각을 사용해 임의의 3차원 회전 행렬 $R$을 적은 다음 $R \Omega_B R^\intercal$의 성분과 $R \vec{\omega}_B$의 성분을 비교함으로써 바로 보일 수 있다. $\vec{\omega}_B = R^\intercal \vec{\omega}$가 영벡터가 아님에 유의하라. 강체와 함께 회전하고 있으면 강체가 정지한 듯이 보일 테니까 $\vec{\omega}_B=0$일 것이라고 생각하기 쉬운데, $\vec{\omega}_B$의 의미는 그것이 아니라 $\vec{\omega}$를 $R^\intercal$로 좌표 변환한 것에 불과하다.
비관성 좌표계 $B$가 물체의 주축 방향으로 정렬되어 있다면 $$I_B = R^\intercal I R = \begin{pmatrix} I_{B1} & 0 & 0 \\ 0 & I_{B2} & 0\\ 0 & 0 & I_{B3} \end{pmatrix}$$ 로 대각화되며 시간에 대해 일정하다. 또 $\vec{v} = \vec{\omega}$를 대입하면 다음을 얻는다: \begin{eqnarray*} \frac{d}{dt} \vec{\omega} &=& R \frac{d}{dt} \vec{\omega}_B + \vec{\omega} \times \vec{\omega} = R \frac{d}{dt} \vec{\omega}_B\\ \frac{d}{dt} \vec{\omega}_B &=& R^\intercal \frac{d}{dt} \vec{\omega}. \end{eqnarray*} 이 양 역시 일반적으로 영이 아니다. 따라서 $\vec{L}_B = I_B \vec{\omega}_B = (I_{B1} \omega_{B1}, I_{B2} \omega_{B2}, I_{B3} \omega_{B3})^\intercal$이고 그 시간 변화는 다음처럼 쓸 수 있다: $$\frac{d}{dt} \vec{L}_B = I_B \frac{d}{dt} \vec{\omega}_B.$$
정리해서 적어보면 이렇다: \begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \left(R^\intercal \vec{\tau}\right)_1\\ \left(R^\intercal \vec{\tau}\right)_2\\ \left(R^\intercal \vec{\tau}\right)_3 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} I_{B1} & 0 & 0 \\ 0 & I_{B2} & 0\\ 0 & 0 & I_{B3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{d}{dt} \omega_{B1} \\ \frac{d}{dt} \omega_{B2} \\ \frac{d}{dt} \omega_{B3} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \omega_{B1} \\ \omega_{B2} \\ \omega_{B3} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} I_{B1} \omega_{B1} \\ I_{B2} \omega_{B2} \\ I_{B3} \omega_{B3} \end{pmatrix}\\ &=& \begin{pmatrix} I_{B1} \frac{d}{dt} \omega_{B1} - (I_{B2} - I_{B3}) \omega_{B2} \omega_{B3}\\ I_{B2} \frac{d}{dt} \omega_{B2} - (I_{B3} - I_{B1}) \omega_{B3} \omega_{B1}\\ I_{B3} \frac{d}{dt} \omega_{B3} - (I_{B1} - I_{B2}) \omega_{B1} \omega_{B2} \end{pmatrix}. \end{eqnarray*} 이것이 오일러 운동방정식이다.
테니스 라켓 정리
중간축 정리(intermediate-axis thorem) 또는 자니베코프 효과(Dzhanibekov effect)라고도 불린다. 돌림힘이 작용하지 않는 경우 오일러 운동방정식에서 $\vec{\tau}=0$이어서 좌변이 0이 되고 $\vec{\omega}_B$에 대한 운동방정식을 다음처럼 얻는다:
\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dt} \omega_{B1} &=& \left(\frac{I_{B2} - I_{B3}}{I_{B1}} \right) \omega_{B2} \omega_{B3}\\
\frac{d}{dt} \omega_{B2} &=& \left(\frac{I_{B3} - I_{B1}}{I_{B2}} \right) \omega_{B3} \omega_{B1}\\
\frac{d}{dt} \omega_{B3} &=& \left(\frac{I_{B1} - I_{B2}}{I_{B3}} \right) \omega_{B1} \omega_{B2}.
\end{eqnarray*}
$I_{B1} = 2$, $I_{B2} = 3$, 그리고 $I_{B3}=5$로 하여 이 방정식을 RK4로 수치적분한 결과가 아래 그림과 같다. 시간 계단의 크기를 적응형(adaptive step size)으로 구현했으며, 수직 점선들이 매 순간 시간 계단의 크기를 나타내고 있다. 시간 $t=0$의 시점에 관성계에서 각속도 벡터는 $\vec{\omega}(t=0) = \hat{y}$이며, 물체가 약간 기울어 있어서 $B$ 좌표계에서 보았을 때에는 $\vec{\omega}_B (t=0) \approx (0.01, 0.99995, 0)^\intercal$로 시작한다고 가정했다. 아래 그림에서 $\omega_{B2}$가 부호를 바꾸는 것은, 관성계에서 보면 물체의 방향이 뒤집혀도 (예를 들어 T 드라이버가 ㅗ에서 ㅜ로 뒤집혀도) 반시계방향으로 돌던 물체는 여전히 반시계방향으로, 시계방향으로 돌던 물체는 여전히 시계방향으로 돈다는 뜻이다.
회전행렬 $R(t)$가 존재해서 $\vec{\omega}(t) = R(t) \vec{\omega}_B(t)$이며, 각운동량 $\vec{L} = I(t) \vec{\omega}(t) = R(t) I_B \vec{\omega}_B(t)$가 보존량이다.
따라서 위에서 계산된 $\vec{\omega}_B(t)$를 통해 $\vec{L}_B = I_B \vec{\omega}_B(t)$를 구한 다음, $\vec{L}_B$를 $t=0$에서의 $\vec{L}$로 회전시키는 행렬 $R(t)$를 구한다. 이를 통해 관성계에서 본 각속도 벡터 $\vec{\omega}(t) = R(t) \vec{\omega}_B(t)$를 구하면 아래 그림처럼 얻어진다. $\omega_{I1}$이 보여주듯이 일정한 방향으로 주기적으로 뒤집힌다.
코리올리 효과
원점 $O$에서 정의된 $xyz$ 좌표계와 원점 $O'$에서 정의된 $x'y'z'$ 좌표계를 고려하자. $x'y'z'$ 좌표계는 $xyz$ 좌표계를 병진 이동하고 회전시켜서 얻어진다. 이때 $O$로부터 $O'$로 향하는 벡터를 $xyz$ 좌표계에서 표현한 것을 $\vec{X}_0$라고 하자. 또한 원점을 이동한 후 $x'y'z'$에서의 표현을 $xyz$의 표현으로 변환해주는 회전 행렬을 $R$라고 하자.
시간 $t$에서 어떤 점 $P$의 위치를 $xyz$ 좌표계에서 표현한 것을 $\vec{X}$, 마찬가지의 양을 $x'y'z'$ 좌표계에서 표현한 것을 $\vec{X}'$라고 하자.
$O'$에서 $P$로 향하는 벡터를 $xyz$ 좌표계에서 표현한 것을 $\vec{\xi}$, 그리고 $x'y'z'$ 좌표계에서 표현한 것을 $\vec{\xi}'$라고 하면 다음과 같다: $$\vec{X} = \vec{X}_0 + \vec{\xi} = \vec{X}_0 + R \vec{\xi}'.$$ 이것을 시간에 대해 미분하면 다음의 식을 얻는다. \begin{eqnarray*} \dot{\vec{X}} &=& \dot{\vec{X}}_0 + \dot{R} \vec{\xi}' + R \frac{d}{dt} \left(\vec{\xi}' \right)\\ &=& \dot{\vec{X}}_0 + \dot{R} R^\intercal \vec{\xi} + R \frac{d}{dt} \left(\vec{\xi}' \right)\\ &=& \dot{\vec{X}}_0 + \vec{\omega} \times \vec{\xi} + R \frac{d}{dt} \left(\vec{\xi}' \right). \end{eqnarray*} 마지막 항을 $\vec{V}$라고 부르자. 이것은 $x'y'z'$ 좌표계의 원점 $O'$에 대한 속도를 $xyz$ 좌표계로 변환하여 표현한 것이다. $\dot{\vec{X}}_0=0$인 상황에서 $xyz$를 관성 좌표계로, $x'y'z'$ 를 회전 좌표계로 놓고 $$\left[ \frac{d\vec{r}}{dt} \right]_\text{inertial} = \left[ \frac{d\vec{r}}{dt} \right]_\text{rot} + \omega \times \vec{r}$$ 로 쓸 때가 많은데, 우리 표기법에서는 $\vec{V}$가 $\left[ \frac{d\vec{r}}{dt} \right]_\text{rot}$에 해당한다.
한번 더 미분하자: \begin{eqnarray*} \vec{F}/m = \ddot{\vec{X}} &=& \ddot{\vec{X}}_0 + \ddot{R} \vec{\xi}' + \dot{R} \frac{d}{dt} \left( \vec{\xi}' \right) + \dot{R} \frac{d}{dt} \left(\vec{\xi}' \right) + R \frac{d^2}{dt^2} \left(\vec{\xi}' \right)\\ &=& \ddot{\vec{X}}_0 + \ddot{R} R^\intercal \vec{\xi} + 2\dot{R} \frac{d}{dt} \left( \vec{\xi}' \right) + R \frac{d^2}{dt^2} \left(\vec{\xi}' \right)\\ &=& \ddot{\vec{X}}_0 + \ddot{R} R^\intercal \vec{\xi} + 2\dot{R} R^\intercal R \frac{d}{dt} \left( \vec{\xi}' \right) + R \frac{d^2}{dt^2} \left(\vec{\xi}' \right)\\ &=& \ddot{\vec{X}}_0 + \ddot{R} R^\intercal \vec{\xi} + 2\dot{R} R^\intercal \vec{V} + R \frac{d^2}{dt^2} \left(\vec{\xi}' \right). \end{eqnarray*}
위에서 $\Omega = \dot{R} R^\intercal$로 정의했으므로 $\dot{R} = \Omega R$이고 이 양변을 미분하면 $$\ddot{R} = \dot{\Omega} R + \Omega \dot{R},$$ 그 다음 양변에 $R^\intercal$를 곱하면 다음과 같다: $$\ddot{R} R^\intercal = \dot{\Omega} + \Omega \dot{R} R^\intercal = \dot{\Omega} + \Omega^2.$$
결국 다음처럼 쓸 수 있다: $$\ddot{\vec{X}} = \ddot{\vec{X}}_0 + \dot{\vec{\omega}} \times \vec{\xi} + \vec{\omega} \times \left[ \vec{\omega} \times \vec{\xi} \right] + 2 \vec{\omega} \times \vec{V} + R \frac{d^2}{dt^2} \left(\vec{\xi}' \right).$$ 이 중에서 $\vec{\omega} \times \left[ \vec{\omega} \times \vec{\xi} \right]$는 원심가속도를 기술하고, $2 \vec{\omega} \times \vec{V}$가 코리올리 효과를 기술한다.