어떤 연산자의 바일 변환(Weyl transform)은 아래와 같이 정의된다. $$\begin{equation} \tilde{A}(x,p) = \int dye^{-ipy/\hbar}\langle x+\frac{y}{2}|\hat{A}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y}{2}\rangle \end{equation}$$

따라서 두 연산자 $\hat{A}$, $\hat{B}$의 바일 변환은 아래와 같다.

$$\begin{align*} \tilde{A}(x,p) &= \int dye^{-ipy/\hbar}\langle x+\frac{y}{2}|\hat{A}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y}{2}\rangle, \\ \tilde{B}(x,p) &= \int dy^{\prime}e^{-ipy^\prime/\hbar}\langle x+\frac{y^\prime}{2}|\hat{B}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y^\prime}{2}\rangle \end{align*}$$

변환된 두 연산자를 곱하고 위치 $x$와 운동량 $p$의 모든 공간에 적분을 계산하면 $$\begin{align*} \int\int dxdp\tilde{A}(x,p)\tilde{B}(x,p) &= \int\int\int\int dxdpdydy^{\prime}e^{-ip(y+y^{\prime})/\hbar}\langle x+\frac{y}{2}|\hat{A}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y}{2}\rangle\langle x+\frac{y^{\prime}}{2}|\hat{B}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y^{\prime}}{2}\rangle \\ &=\int\int\int dxdydy^{\prime}\langle x+\frac{y}{2}|\hat{A}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y^\prime}{2}\rangle\langle x+\frac{y^{\prime}}{2}|\hat{B}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y^{\prime}}{2}\rangle \times 2\pi\hbar\delta(y+y^{\prime}) \\ &= 2\pi\hbar\int\int dxdy\langle x+\frac{y}{2}|\hat{A}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y}{2}\rangle\langle x-\frac{y}{2}|\hat{B}(\hat{x},\hat{p})|x+\frac{y}{2}\rangle \end{align*}$$

이 된다. 첫 번쨰 줄에서 두 번째 줄로 넘어가는 과정에서 $\int exp(-ip(y+y)/\hbar)=2\pi\hbar\delta(y+y^\prime)$ 계산이 사용되었다. 이제 $u=x-\frac{y}{2}$, $v=x+\frac{y}{2}$으로 치환하여 계산하면 $\hat{A}\hat{B}$의 대각합과 관련됨을 알 수 있다. $$\begin{align*} \int\int dxdp\tilde{A}(x,p)\tilde{B}(x,p) = 2\pi\hbar\int\int dudv\langle v|\hat{A}|u\rangle\langle u|\hat{B}|v\rangle = h\text{Tr}[\hat{A}\hat{B}]. \end{align*}$$

밀도 행렬 $\hat\rho$와 연산자 $\hat{A}$를 곱하여 대각합을 취하면 $\hat{A}$의 평균을 구할 수 있다. $$\begin{align*} \text{Tr}[\hat\rho\hat{A}] &= \text{Tr}[|\psi\rangle\langle\psi|\hat{A}]\\ &=\sum_n\langle n|\psi\rangle\langle\psi|\hat{A}|n\rangle \\ &=\sum_n \langle\psi|\hat{A}|n\rangle\langle n|\psi\rangle \\ &=\langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle \\ &=\langle A\rangle \end{align*}$$

이 관계식을 위에서 보인 두 연산자 곱의 대각합 관계식과 연결지으면

$$\begin{align*} \langle A\rangle = \text{Tr}[\hat\rho\hat{A}] = \frac{1}{2\pi\hbar}\int\int dxdp\tilde\rho\tilde{A} \end{align*}$$

임을 알 수 있다. 따라서 위그너 함수 $$\begin{align*} W(x,p) = \frac{\tilde\rho}{2\pi\hbar}\int dye^{-ipy/\hbar}\psi\left(x+\frac{y}{2}\right)\psi^\ast\left(x-\frac{y}{2}\right) \end{align*}$$ 를 정의하면 위상 공간에서 위치 $x$, 운동량 $p$를 가지는 확률 밀도 함수가 $W(x,p)$임을 알 수 있다. 주의할 점의 이것이 확률 밀도함수에 준하는 것이다(quasi-probability distribution function). 위그너 함수의 값은 음수가 될 수 있다.

그러므로 위상 공간에서 $x$와 $p$의 평균값을 아래와 같이 계산할 수 있다. $$\begin{align*} \langle x\rangle &= \int\int dxdpW(x,p)x,\\ \langle p\rangle &= \int\int dxdpW(x,p)p \end{align*}$$

1. Jon Brogaard, Wigner function formalism in Quantum mechanics (Niels Bohr Institute, University of Copenhagen, 2015).