Ma(1976)는 가우스 고정점의 재규격화를 설명하면서, 두 단계로 나누어 (i) 먼저 스핀 블럭의 크기를 $s$배만큼 늘려 카다노프 변환을 하고 (ii) 전체적으로 눈금을 다시 잡아서 원래와 같은 모양으로 되돌리는 과정을 고려한다.

재규격화를 통해 스핀 변수가 어떤 변화를 겪는지 알아보자. $d$ 차원의 실공간에서 위치 $x$에 의존하는 스핀 변수 $\sigma_x$가 있다고 하면 그 푸리에 변환 $\sigma_k$는 다음과 같다. $$\sigma_k = L^{-d/2} b^d \sum_x e^{-ikx} \sigma_x$$ 이 때 $L$은 계의 크기이며 $b$는 스핀 블럭의 크기이다. $b^d \sum_x$는 $\int d^d x$에 대응된다.

카다노프 변환을 하면 $L'=L/s$와 $x'=x/s$로써 위 식을 다시 적어야 한다. $$\sigma_k = (sL')^{-d/2} s^d b^d \sum_{x'} e^{-iksx'} \lambda_s \sigma_{x'}$$ 앞서의 $\int d^d x$가 $s^d \int d^d x'$이 되고 이는 다시 $s^d b^d \sum_{x'}$처럼 표시되기 떄문에 $s^d$만큼의 인수가 나타났다. $\lambda_s$는 척도 변화에 맞추어 스핀 변수의 크기를 재조정해주기 위한 인수이다.

$k'\equiv sk$까지 도입해서 완전히 재규격화된 스핀 변수를 적으면 $$\sigma_{k'} = {L'}^{-d/2} b^d \sum_{x'} e^{-ik'x'} \sigma_{x'}$$ 일 것이므로 위의 식과 비교하면 $$\sigma_k = s^{d/2} \lambda_s \sigma_{sk}$$ 이다.

아직 $\lambda_s$를 구해야 하는데 이는 상관함수 $G(k,\mu)$를 고려함으로써ᅠ 찾을 수 있다. $\mu$는 계의 상호작용들을 정의하는 맺음변수들을 통칭한다. 해당 맺음변수에 대해 스핀 배치의 평형 확률분포를 $P$라고 부를 것이다. 상관함수는 다음처럼 재규격화된다. \begin{eqnarray*} G(k,\mu) &=& \left< \left| \sigma_k \right|^2 \right>_P\\ &=& \lambda_s^2 s^d \left< \left| \sigma_{sk} \right|^2 \right>_{P'}\\ &=& \lambda_s^2 s^d G(sk, \mu') \end{eqnarray*}

특히 축척을 $s$배 변화시키는 재규격화 변환을 $R_s$라고 칭할 때에 $R_s R_{s'} = R_{ss'}$의 성질이 성립하고, 상수 $a$에 대해 $s^a s'^a = (ss')^a$임을 감안하면 $\lambda_s = s^a$의 형태일 것이라고 추측할 수 있다.

그러면 재규격화 변환의 고정점인 임계점 근방에서 $G(k, \mu_c) = s^{2a+d} G(sk, \mu_c)$이 되는데, 축척 $s$에 대한 의존이 사라질 것이므로 $G(k,\mu_c) \propto k^{-(2a+d)}$가 된다. 다른 한편으로 축척 지수의 정의상 $G(k,\mu_c) \propto k^{2-\eta}$로 주어져 있기 때문에, 정리하면 $a = (2-\eta-d)/2$이다. 따라서 $\sigma_k = s^{d/2} \lambda_s \sigma_{sk} = s^{1-\eta/2} \sigma_{sk}$이다.

수식으로 나타내면 원래의 해밀토니안 $H$가 있을 때, 재규격화된 해밀토니안 $H'$은 다음처럼 주어진다. $$ e^{-H'-AL^d} = \left[ \int \delta \phi e^{-H} \right]_{\sigma_k \to s^{1-\eta/2} \sigma_{sk}}$$ 이 때 $AL^d$는 특정 스핀 배치에 의존하지 않는 전체 자유 에너지의 변화분이고 $$\delta \phi = \prod_{\Lambda/s < q < \Lambda} \prod_i d \sigma_{i,q}$$ 로서, $i$는 스핀 변수의 자유도, $q$는 운동량에 해당한다.

• Shang-Keng Ma, Modern Theory of Critical Phenomena (Westview Press, 1976, 2000).