이징 모형의 해밀토니안은 다음과 같이 쓰여진다: $$H = -J \sum_{(ij)\in B} S_i S_j - h \sum_{i} S_i.$$ 이 때 $(ij)$는 스핀 $i$와 $j$를 연결하는 선이며 $B$는 모든 연결선의 집합이다.

$N$개의 스핀이 있을 때 분배 함수는 $$Z = \sum_{S_1 = \pm 1} \sum_{S_2 = \pm 1} \cdots \sum_{S_N = \pm 1} e^{-\beta H} = \sum_{\mathbf{S}} e^{-\beta H} = \mbox{Tr~} e^{-\beta H}$$ 로서, 이 때 $\mathbf{S}$는 모든 스핀 상태의 집합이고 $\beta \equiv (k_B T)^{-1}$이며, $\mbox{Tr}$은 대각합(trace)의 준말이다.

스핀 상태 $\mathbf{S}$를 발견할 확률을 $P(\mathbf{S})$라고 하면 자기화(magnetization) $m$은 다음처럼 표현된다: $$m = \frac{1}{N} \left< \sum_i S_i \right> = \frac{1}{N} \mbox{Tr} \left[ \left( \sum_i S_i \right) P(\mathbf{S}) \right].$$ 공간적으로 나란히 옮김에 대해 불변한다면 $m$은 특정 위치에 의존하지 않는다.

$S_i$가 $m$에서 벗어나는 정도를 $\delta S_i = S_i - m$이라고 칭하자. $\delta S_i$의 이차항부터는 작아서 무시할 수 있다고 가정한다면 위의 해밀토니안은 아래처럼 근사할 수 있다: $$H = -J \sum_{(ij)\in B} [(m + \delta S_i)(m+\delta S_j)] - h \sum_{i} S_i$$ $$\approx -J \sum_{(ij)\in B} [m^2 + m(\delta S_i+\delta S_j)] - h \sum_{i} S_i$$ $$= -J \sum_{(ij)\in B} [m^2 + m(S_i+S_j - 2m)] - h \sum_{i} S_i$$ $$= N_B J m^2 - J m \sum_{(ij) \in B} [(S_i+S_j)] - h \sum_{i} S_i$$ $$= N_B J m^2 - 2 J m \sum_{(ij) \in B} S_i - h \sum_{i} S_i$$ $$= N_B J m^2 - J m z \sum_{i} S_i - h \sum_{i} S_i$$ $$= N_B J m^2 - (J m z +h) \sum_{i} S_i.$$ 이 때 $N_B$는 전체 연결선의 수, $z$는 한 스핀 당 연결선의 수를 의미한다. 그러니까 연결선을 따라 더하면($\sum_{(ij)\in B}$) 각 스핀은 $z/2$번 더해지는 것에 해당한다 (한 연결선이 두 개의 스핀에 공유되므로 $1/2$).

이렇게 근사적인 해밀토니안을 분배함수 식에 대입하면 $$Z = \mbox{Tr~}\exp \left[ \beta \left( N_B Jm^2 - (Jmz+h)\sum_i S_i \right) \right]$$ $$ = e^{-\beta N_B Jm^2} [2\cosh \beta(Jmz+h)]^N$$ 이고 대각합 계산으로부터 자기화가 만족해야 하는 식 $$m = \frac{1}{Z} \mbox{Tr~} S_i e^{-\beta H} = \tanh \beta (Jmz+h)$$ 를 얻는다.

모든 스핀이 서로 연결된 이징 모형의 경우 평균장 이론은 정확한 답을 준다. 이 때의 해밀토니안은 $$H = -\frac{J}{2N} \sum_{i \neq j} S_i S_j - h \sum_i S_i$$ 이다. 첫 항의 $1/2$은 각 스핀쌍이 한 번씩만 나타나도록 추가한 것이고 $1/N$은 해밀토니안을 크기 변수로 만들기 위해서이다.

첫 번째 항의 합을 다음처럼 고쳐 쓸 수 있다: $$\sum_{i \neq j} S_i S_j = \left(\sum_i S_i \right)^2 - N.$$ 따라서 분배함수는 $$Z = \mbox{Tr} \exp \left[ \frac{\beta J}{2N} \left(\sum_i S_i \right)^2 - \frac{\beta J}{2} + \beta h \sum_i S_i \right]$$ 이 된다. 이 중 $\beta J/2$는 상수이고 물리에 아무런 영향을 끼치지 않으므로 무시한다.

허바드-스트라토노비치 변환에 의하면 $$e^{ax^2/2} = \sqrt{\frac{aN}{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty dm~ e^{-Nam^2/2 + \sqrt{N}amx}$$ 이므로 $a=\beta J$과 $x = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_i S_i$를 대입하면 $$e^{\frac{\beta J}{2} \frac{1}{N} \left( \sum_i S_i \right)^2} = \frac{\beta J N}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty dm~ e^{-N\beta J m^2/2 + \beta J m \sum_i S_i}$$ 이다. 여기에 대각합을 걸면 $\sum_i S_i$에만 걸리므로, 결과적으로 분배함수는 $$Z = \mbox{Tr} \sqrt{\frac{\beta J N}{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty dm~ e^{-N\beta Jm^2/2 + \beta (Jm+h) \sum_i S_i}$$ $$= \sqrt{\frac{\beta J N}{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty dm~ e^{-N\beta Jm^2/2} [2\cosh \beta(Jm+h)]^N$$ $$= \sqrt{\frac{\beta J N}{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty dm~ \exp \left\{ - \frac{N\beta Jm^2}{2} + N\ln [2\cosh \beta (Jm + h)] \right\}$$ 이 된다.

안장점 근사 방법에 의하면 $N \rightarrow \infty$에서 가장 큰 기여분은 아래 방정식이 만족될 때 얻어진다: $$ \frac{\partial}{\partial m} \left\{ - \frac{\beta Jm^2}{2} + \ln [2\cosh \beta (Jm + h)] \right\} = 0.$$ 이는 위에서 구한 $m = \tanh \beta (Jm+h)$와 같은 식이다.

여기에서 $m$은 단순히 적분변수로서 등장했음에 유의하라. 그럼에도 $m$이라는 기호를 쓴 것은 여기에 직접적인 물리적 의미를 줄 수 있기 때문이다. 처음의 분배함수 식 $$Z = \mbox{Tr} \sqrt{\frac{\beta J N}{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty dm~ e^{-N\beta Jm^2/2 + \beta (Jm+h) \sum_i S_i}$$ 에 안장점 근사 방법을 적용하면 $$ \frac{\partial}{\partial m} \left\{ -\frac{\beta Jm^2}{2} + \beta (Jm+h) \frac{1}{N} \sum_i S_i \right\} = 0$$ 이 되면서 $m = \frac{1}{N} \sum_i S_i$임을 확인할 수 있다.

• H. Nishimori, Statistical physics of spin glasses and information processing an introduction (Clarendon, Oxford, 2001).