개요
가로로 놓인 현을 용수철로 연결된 질점들의 무수한 연쇄로 생각해서 에너지와 라그랑지언을 적고 이로부터 파동방정식을 유도한다. 질점의 질량은 $m$, 용수철 상수는 $K$라고 놓을 것이다.
이 때 현에는 중력을 무시해도 좋을 만큼 충분히 큰 장력 $\tau$가 걸려 있으며 파동으로 인해 생기는 장력의 변화는 매우 작다고 본다. 파동은 횡파를 고려하여 각 질점은 세로 방향으로만 움직인다고 보는데 그 세로 방향의 변위 역시 충분히 작다고 가정할 것이다.
질점들을 $i$라는 변수로 구분하자. 시간 $t$에 대해 변화하는 세로 방향의 변위 $y_i(t)$가 라그랑지언을 적기 위한 일반화 좌표, 그리고 그 시간 미분인 $\dot{y}_i(t)$가 일반화 속도가 될 것이다.
에너지와 운동방정식
운동 에너지는 간단히 다음처럼 표현된다: $$T = \sum_i \frac{1}{2}m \dot{y}_i^2.$$
위치 에너지 계산을 위해 현이 진동하기 전 평형 상태에서 질점들 사이 거리가 $a$라고 해보자. 현이 진동하면서 $i$번째 질점의 세로 방향 변위가 $y_i$, 그 다음 질점의 변위가 $y_{i+1}$이 되었다고 하자. 그 둘의 차이를 $\Delta y = y_{i+1}-y_i$라고 부르면, 처음의 거리 $a$에 비해서 늘어난 거리는 피타고라스 정리에 의해 $$\Delta l = \sqrt{a^2 + \Delta y^2} - a \approx a \left[ 1 + \frac{1}{2} \left( \frac{\Delta y}{a} \right)^2 \right] - a = \frac{1}{2}a \left( \frac{y_{i+1} - y_i}{a} \right)^2.$$ 여기에서 $\epsilon \ll 1$에 대해 $(1+\epsilon)^n \approx 1+n\epsilon$라는 근사식이 사용되었다. 따라서 장력 $\tau$에 대해 한 일이 위치 에너지가 된다고 보면 위치 에너지의 총량은 $$V = \sum_i \frac{1}{2} \tau a \left( \frac{y_{i+1} - y_i}{a} \right)^2$$ 가 된다.
다른 관점에서 보면, 전혀 장력이 걸려있지 않을 때의 간격이 $a_0$라면, 장력이 걸린 평형 상태의 위치 에너지는 $\frac{1}{2} K(a-a_0)^2$이다. 파동으로 인해 추가적으로 $\Delta l \ll a-a_0$만큼 길이가 늘어나게 되면 위치 에너지의 증가분은 $$\frac{1}{2} K (a-a_0 + \Delta l)^2 - \frac{1}{2} K (a-a_0)^2 \approx K(a-a_0) \Delta l$$ 인데 $K(a-a_0)$가 바로 장력 $\tau$에 해당하는 양이다. 즉, 위치 에너지가 $\Delta l$에 비례하는 까닭은 이미 장력이 걸려있었기 때문이며, 위의 $V$는 파동으로 인한 위치 에너지 증가분을 합해서 적은 것이다.
위의 운동 에너지와 위치 에너지를 이용해 라그랑지언을 적어보면, $$L = T-V = \sum_i \frac{1}{2} \left[ m \dot{y}_i^2 - \tau a \left( \frac{y_{i+1}-y_i}{a} \right)^2 \right]$$ 이고, 각각의 $y_i$에 대해 오일러-라그랑주 방정식을 적용하면 $$\tau \left[ \frac{y_{i+1}-y_i}{a} - \frac{y_{i}-y_{i-1}}{a}\right] = m \ddot{y}_i$$ 을 얻는데, 이것이 $i$번째 질점의 운동방정식이다.
연속체 극한
선밀도 $\rho$를 도입해서 $a$를 $dx$로, $m$을 $\rho~ dx$로 써보자. 아주 작은 $dx$에서 $\frac{y_{i+1}-y_i}{a}$는 $$\frac{y(x+dx,t)-y(x,t)}{dx} = \frac{\partial y}{\partial x} = y'$$ 로 쓸 수 있다. $x$와 $t$를 독립변수로 취했을 때의 라그랑지언은 $$L = \iint \frac{1}{2} \left( \rho \dot{y}^2 - \tau y'^2 \right) dx~ dt = \iint \frac{1}{2} \left[ \rho \left( \frac{\partial y}{\partial t} \right)^2 - \tau \left( \frac{\partial y}{\partial x} \right)^2 \right] dx~ dt$$ 이다. 라그랑지언 밀도 $L_1 = \frac{1}{2} \left( \rho \dot{y}^2 - \tau y'^2 \right)$를 정의한 다음 이 두 변수 모두에 대해 오일러-라그랑주 방정식을 적용하면 $$0 = \frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial L_1}{\partial \dot{y}} + \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial L_1}{\partial y'} = \frac{\partial}{\partial t} \left(\rho \dot{y} \right) + \frac{\partial}{\partial x}(-\tau y') = \rho \ddot{y} - \tau y'' = \rho \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} - \tau \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}.$$ 파동방정식과 비교해보면 이는 속력이 $\sqrt{\tau/\rho}$인 파동을 기술함을 알 수 있다.
혹은 위에서 구한 운동방정식에 극한을 취함으로써 같은 결과를 얻을 수도 있다: $$\rho ~dx~ \ddot{y} = \tau~dx \left[ \frac{\frac{\partial y}{\partial x} \left(x+\frac{dx}{2},t\right) - \frac{\partial y}{\partial x} \left(x-\frac{dx}{2},t \right)}{dx} \right] = \tau~dx~\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}.$$