2차원 XY모형

2차원 XY모형의 해밀토니안은 다음과 같다. $$\beta H = -K\sum_{\langle mn\rangle} \cos(\theta_m-\theta_n)$$

머민-바그너 정리에 의하면 2차원 이하에서는 연속적인 대칭성의 자발 대칭 깨짐이 일어날 수 없다. 따라서 2차원 XY모형에서는 유한한 온도에서 장거리 질서가 보이지 않아야 할 것이다. 이를 직접 확인해보자.

계의 온도가 매우 낮은 상태라면, 인접한 두 스핀 사이의 각도 차이가 매우 적을 것이므로 시스템의 작용을 다음과 같이 전개할 수 있다. \begin{align*} S =& -\beta H = -K\sum_{\langle ij\rangle} \cos(\theta_i-\theta_j)\\ \approx&-K\sum_{\langle ij\rangle}\left(1-\frac12(\theta_i-\theta_j)^2\right)\\ =&\frac K2\sum_{\langle ij\rangle}(\theta_i-\theta_j)^2+\text{const} \end{align*} 여기서 상수항은 물리에 영향을 미치지 않으므로 무시하고 다음과 같은 푸리에 변환을 취하자. $$\theta(\mathbf q) = \sum_\mathbf re^{i\mathbf q\cdot \mathbf r}\theta(\mathbf r),\quad \theta(\mathbf r) = \int_{BZ}\frac{d^2q}{(2\pi)^2}e^{-i\mathbf q\cdot \mathbf r}\theta(\mathbf q)$$ 여기서 BZ는 첫번째 브릴루앙 영역을 의미한다. 인접한 방향 $\hat\mu=\hat x,\hat y$와 위치 $\mathbf r$을 가지고 위의 작용을 다시 고쳐쓰면 \begin{align*} \sum_\mathbf r\theta_\mathbf r^2=&\sum_\mathbf r\int_{BZ}\frac{d^2q}{(2\pi)^2}\frac{d^2k}{(2\pi)^2}e^{-i(\mathbf k+\mathbf q)\cdot\mathbf r}\theta(\mathbf q)\theta(\mathbf k)\\ =&\int_{BZ}\frac{d^2qd^2k}{(2\pi)^2}\,\delta^2(\mathbf k+\mathbf q)\theta(\mathbf q)\theta(\mathbf k)\\ =&\int_{BZ}\frac{d^2k}{(2\pi)^2}\vert\theta(\mathbf k)\vert^2 \end{align*} 가 되고, 위에서 소개한 푸리에 변환을 취해주면 첫 번째 항을 \begin{align*} \sum_\mathbf r\theta_\mathbf r^2=&\sum_\mathbf r\int_{BZ}\frac{d^2q}{(2\pi)^2}\frac{d^2k}{(2\pi)^2}e^{-i(\mathbf k+\mathbf q)\cdot\mathbf r}\theta(\mathbf q)\theta(\mathbf k)\\ =&\int_{BZ}\frac{d^2qd^2k}{(2\pi)^2}\,\delta^2(\mathbf k+\mathbf q)\theta(\mathbf q)\theta(\mathbf k)\\ =&\int_{BZ}\frac{d^2k}{(2\pi)^2}\vert\theta(\mathbf k)\vert^2 \end{align*} 그리고 두 번째 항의 $\hat x$을 \begin{align*} \sum_{\mathbf r,\hat\mu}\theta_\mathbf r\theta_{\mathbf r+\hat\mu}=&\frac12\sum_{\mathbf r}\left(\theta_\mathbf r\theta_{\mathbf r+\hat x}+\theta_\mathbf r\theta_{\mathbf r-\hat x}\right)\\ =&\frac12\sum_\mathbf r\int_{BZ}\frac{d^2k}{(2\pi)^2}\frac{d^2q}{(2\pi)^2}e^{-i(\mathbf k+\mathbf q)\cdot\mathbf r}\left(e^{iq_x}+e^{-iq_x}\right)\theta(\mathbf k)\theta(\mathbf q)\\ =&\int_{BZ}\frac{d^2kd^2q}{(2\pi)^2}\delta^2(\mathbf k+\mathbf q)\cos q_x \theta(\mathbf k)\theta(\mathbf q)\\ =&\int_{BZ}\frac{d^2k}{(2\pi)^2}\cos k_x\vert\theta(\mathbf k)\vert^2 \end{align*} 의 형태로 쓸 수 있으므로 운동량 공간에서 작용을 $$S = \frac K2\int_{BZ}\frac{d^2k}{(2\pi)^2}\left[\sum_{\hat\mu}\left(2-2\cos k_\mu\right)\right]\vert\theta(\mathbf k)\vert^2$$ 로 쓸 수 있다.

XY모델의 스핀-스핀 상관함수는 $$\langle \mathbf S_\mathbf r\cdot\mathbf S_{\mathbf r'}\rangle=\langle\cos(\theta(\mathbf r)-\theta(\mathbf r'))\rangle = e^{G(\mathbf r-\mathbf r')-G(\mathbf 0)}$$ 로 정의되고, 여기서 $G(\mathbf r-\mathbf r')$는 전파인자로써 다음과 같다. $$G(\mathbf r-\mathbf r')=\langle(\theta(\mathbf r)\theta(\mathbf r'))=\frac 1K\int_{BZ}\frac{d^2k}{(2\pi)^2}\frac{e^{i\mathbf k\cdot(\mathbf r-\mathbf r')}}{\sum_{\mu}(2-2\cos k_\mu)}$$ 저온 영역에서는 $k\ll1$ 근처의 기여도가 지배적일 것이므로 $\cos$항을 전개해서 쓰면 \begin{align*} G(\mathbf r)-G(\mathbf 0)=&\frac 1K\int_{\vert k\vert<\Lambda}\frac{d^2k}{(2\pi)^2}\frac{e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r}-1}{\sum_{\mu}(2-2\cos k_\mu)}\\ =&\frac 1K\int_{\vert k\vert<\Lambda}\frac{d^2k}{(2\pi)^2}\frac{e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r}-1}{k^2}\\ =&\frac1{(2\pi)^2K}\int_0^\Lambda dk\frac1k \int_0^{2\pi}d\theta \left(e^{ikr\cos\theta}-1\right)\\ =&\frac1{(2\pi)^2K}\int_0^\Lambda dk\frac1k \int_0^{2\pi}d\theta \left(J_0(kr)+2\sum_{n=1}^\infty i^nJ_n(kr)\cos n\theta-1\right)\\ =&\frac{1}{2\pi K}\int_0^\Lambda dk\frac{J_0(kr)-1}{k} \end{align*} 가 되고, 피적분 함수의 점근 거동은 $$\frac{J_0(x)-1}{x}\approx-\frac1x$$ 이므로 $kr\gg1$일 때 전파인자는 $$G(\mathbf r)-G(\mathbf 0)=-\frac{1}{2\pi K}\log(\Lambda r)$$ 와 같이 쓰여지고, 스핀-스핀 상관함수는 $$\langle \mathbf S_\mathbf r\cdot\mathbf S_{\mathbf r'}\rangle=e^{G(\mathbf r-\mathbf r')-G(\mathbf 0)}\approx \left(\frac{1}{\Lambda\vert\mathbf r-\mathbf r'\vert}\right)^{1/2\pi K}$$ 의 형태를 가진다. 따라서 매우 먼 거리에서 상관함수가 $0$에 가까우므로 장거리 질서가 존재하지는 않지만, 상자성처럼 상관함수가 거리에 따라 지수적으로 감소하지는 않기 때문에 무언가 다른 상이 존재할 가능성이 있다는 것을 짐작할 수 있다.

다시 한번, 해밀토니안을 극소점(local minimum) 부근에서 전개하여 2차항까지만 적고 연속 극한을 취하자. $$H = -J \sum_{\langle ij \rangle} \cos(\phi_i - \phi_j) \approx \frac{1}{2} J \sum_{\langle ij \rangle} (\phi_i - \phi_j)^2 + const. \longrightarrow J \int d\mathbf{r} \left| \nabla \phi(\mathbf{r}) \right|^2$$ 해밀토니안의 극소값을 주는 해를 $\overline{\phi}(\mathbf{r})$로, 그로부터의 편차를 $\psi(\mathbf{r})$로 나타내자: $\phi(\mathbf{r}) = \overline{\phi}(\mathbf{r}) + \psi(\mathbf{r})$. 범함수의 미분에서 보듯이, $\overline{\phi}$는 (유한한 수의 점, 즉 소용돌이의 중심들을 제외하고) 라플라스 방정식을 만족한다: $\nabla^2 \overline{\phi} = 0$. 복소분석으로부터 $\overline{\phi}$의 켤레인 $\bar{\phi}'$을 정의하면 $\bar{\phi}'$ 역시 라플라스 방정식을 만족하며, $\mathbf{r}=(x,y)$와 $z=x+iy$로서 2차원평면을 복소평면으로 대응시키면 $f(z) \equiv \overline{\phi} + i\bar{\phi}'$은 해석적인 함수가 된다. 그리고 $\overline{\phi}$과 $\bar{\phi}'$은 아래의 코시-리만(Cauchy-Riemann) 관계식을 만족한다. $$\left\{ \begin{array}{l} \partial \overline{\phi} / \partial x = \partial \bar{\phi}' / \partial y\\ \partial \overline{\phi} / \partial y = -\partial \bar{\phi}' / \partial x \end{array} \right.$$ 이 관계식으로부터 $$\int d\mathbf{r} \left| \nabla \overline\phi(\mathbf{r}) \right|^2 = \int d\mathbf{r} \left| \nabla \bar{\phi}'(\mathbf{r}) \right|^2$$ 임은 바로 알 수 있다.

어떤 영역의 소용돌이값(vorticity) $q$를 다음처럼 정의하자: \begin{eqnarray} q &=& \frac{1}{2\pi} \oint d\overline{\phi}(\mathbf{r})\\ &=& \frac{1}{2\pi} \oint (\partial \overline{\phi} / \partial x) dx + (\partial \overline{\phi} / \partial y) dy\\ &=& \frac{1}{2\pi} \iint \left( -\partial^2 \bar{\phi}' / \partial^2 x -\partial^2 \bar{\phi}' / \partial^2 y \right) dA\\ &=& \frac{1}{2\pi} \iint \left( -\nabla^2 \bar{\phi}' \right) dA. \end{eqnarray} 세 번째 줄로 넘어올 때에 그린의 정리를 사용했다: $\oint (Ldx + Mdy) = \iint (\partial M / \partial x - \partial L / \partial y) dA$. 첫 줄의 좌변과 비교해보면 $\nabla^2 \bar{\phi}' = -2\pi \rho(\mathbf{r})$임을 알 수 있고, 이때 $$\rho(\mathbf{r}) = \sum_i q_i \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}_i)$$ 는 소용돌이 전하 밀도를 의미한다. 전자기학에서 많이 보아왔듯이 이 방정식의 해는 아래의 꼴로 주어지며 $$\bar{\phi}' = -2\pi \int d\mathbf{r} \rho(\mathbf{r}') g(\mathbf{r} - \mathbf{r}'),$$ 퍼뜨리개(propagator) $g$는 근사적으로 $$g(r) \approx \frac{1}{2\pi} \ln \frac{r}{\tau}$$ 처럼 쓸 수 있다. 여기에서 $\tau$는 관찰 가능한 해상도를 제한하는 차단(cutoff) 거리로서, 우리 문제에서는 격자상수 정도의 값에 대응된다. 계 전체는 “중성”이어서 소용돌이값을 모두 더하면 $\sum_i q_i =0$이 된다고 가정한다. 만일 그렇지 않다면 알짜 전하의 에너지가 계의 크기 $R \to \infty$에 대해 $\ln(R/\tau)$ 정도로 발산하고 만다.

연속극한에서의 해밀토니안을 다시 생각해보면 \begin{eqnarray} \int d\mathbf{r} \left| \nabla \phi (\mathbf{r}) \right|^2 &=& \int d\mathbf{r} \left| \nabla \psi (\mathbf{r}) \right|^2 + \int d\mathbf{r} \left| \nabla \overline{\phi} (\mathbf{r}) \right|^2 + 2\int d\mathbf{r} \nabla \psi \cdot \nabla \overline{\phi}\\ &=& \int d\mathbf{r} \left| \nabla \psi (\mathbf{r}) \right|^2 + \int d\mathbf{r} \left| \nabla \bar{\phi}' (\mathbf{r}) \right|^2 + 2\int d\mathbf{r} \nabla \psi \cdot \nabla \overline{\phi}\\ &=& \int d\mathbf{r} \left| \nabla \psi (\mathbf{r}) \right|^2 - \int d\mathbf{r} \left( \bar{\phi}' \nabla^2 \bar{\phi}' \right) - 2\int d\mathbf{r} \left( \psi \nabla^2 \overline{\phi} \right)\\ &=& \int d\mathbf{r} \left| \nabla \psi (\mathbf{r}) \right|^2 - \int d\mathbf{r} (-2\pi)^2 \int d\mathbf{r}' \rho(\mathbf{r}) g(\mathbf{r} - \mathbf{r}') \rho(\mathbf{r}')\\ &\approx& \int d\mathbf{r} \left| \nabla \psi (\mathbf{r}) \right|^2 -2\pi \sum_{i\neq j} q_i q_j \ln \frac{\left| \mathbf{r}_i - \mathbf{r}_j \right|}{\tau}. \end{eqnarray} 이렇게 해서 해밀토니안이 스핀 파의 자유도 $\psi(\mathbf{r})$과 소용돌이의 자유도 $(\left\{ q_i \right\}, \left\{ \mathbf{r}_i \right\})$로 분리되었다. 세 번째 줄로 넘어올 때에 둘째와 셋째 항에 대해 부분적분을 행했고 표면적분은 0으로 놓았다. 덧붙여 셋째의 교차항은 거의 모든 영역에서 $\nabla^2 \overline{\phi} = 0$인데다가 스핀 파는 $\overline{\phi}$와 독립적인 자유도이기 때문에 전체 공간에서 적분하면 결국 상쇄되어 0이 된다고 보았다.

스핀 파의 자유도는 상전이를 만들지 못하므로 소용돌이 부분만을 취하자. 거의 언제나 소용돌이는 단위 전하만을 가져서 $|q|=1$일 것이다. $q=+1$ 전하를 가지는 $n$개의 소용돌이와 $-1$ 전하를 가지는 $n$개의 소용돌이가 존재하는 계를 생각하자. $$H_{2n} = -\sum_{i \neq j} p_i p_j \ln \frac{\left| \mathbf{r}_i - \mathbf{r}_j \right|}{\tau}$$ 으로서 $p_i = \pm p$, 이때 $p \equiv (2\pi J)^{1/2}$이다. 큰바른틀 분배함수는 $$Z = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n!)^2} \kappa^{2n} \int_{D_{2n}} d\mathbf{r}_{2n} \cdots \int_{D_{1}} d\mathbf{r}_{1} \exp(-\beta H_{2n})$$ 으로서 $\kappa \tau^2 = e^{-\beta \mu}$로서 휘산도(fugacity)를 나타내고 $D_k$는 $\mathbf{r}_k$의 적분영역으로서, $\mathbf{r}_j$ 주변으로 반경 $\tau$ 이내를 제외한 나머지 공간을 의미한다 ($j=k, k+1, \ldots, 2n$).

차단길이 $\tau$를 $\tau+d\tau$로 늘리면 그러한 기술에서는 거리가 $[\tau, \tau+d\tau)$만큼 떨어져 있었던, 서로 부호가 반대인 소용돌이 쌍이 합쳐지게 될 것이다. $d\tau$가 미소량인 한 그런 쌍은 매우 드물 것이므로 $O(d\tau)$까지만 위 분배함수를 전개할 것이다. 그러면 적분구간을 아래처럼 고칠 수 있다: $$\int_{D_{2n}} d\mathbf{r}_{2n} \cdots \int_{D_{1}} d\mathbf{r}_{1} \approx \int_{D'_{2n}} d\mathbf{r}_{2n} \cdots \int_{D'_{1}} d\mathbf{r}_{1} + \sum_{(i,j)}^{(n,n)} \int_{D'_{2n}} d\mathbf{r}_{2n} \cdots \int_{D'_{j+1}} d\mathbf{r}_{j+1} \int_{D'_{j-1}} d\mathbf{r}_{j-1} \cdots \int_{D'_{i+1}} d\mathbf{r}_{i+1} \int_{D'_{i-1}} d\mathbf{r}_{i-1} \cdots \int_{D'_{1}} d\mathbf{r}_{1} \int_{\overline{D}(i,j)} d\mathbf{r}_{j} \int_{\delta_{i}(j)} d\mathbf{r}_{i}.$$ $D'_k$는 $D_k$와 마찬가지로 정의되는데, 차이는 $\tau$를 $\tau+d\tau$로 바꾼 것뿐이다. 우변 두 번째 항에서는 소용돌이 $i$와 $j$를 고른 다음, $\mathbf{r}_i$는 $\mathbf{r}_j$ 주변으로 반경 $[\tau, \tau+d\tau)$인 고리 $\delta_i(j)$를 따라 적분하고, $\mathbf{r}_j$는 $i$와 $j$를 제외한 모든 소용돌이 $k$ 주변으로 반경 $\tau$ 이내를 제외한 공간인 $\overline{D}(i,j)$에 대해 적분한다. 합 기호 위의 $(n,n)$은 계에 $n$개의 +소용돌이와 $n$개의 -소용돌이가 있다는 의미이다. 소용돌이의 쌍 $i$와 $j$는 순서가 바뀌어도 상관 없이 합산시에 한 번만 들어간다. 전체 $2n$개의 소용돌이가 있기 때문에 (편의를 위해 $i=j$인 경우까지 포함하면) 원칙적으로 $4n^2$ 개의 쌍을 만들 수 있지만 그 중 절반은 같은 부호의 전하끼리 쌍을 이룬 것이기 때문에 $2n^2$개만 계산에 남고, 다음으로 순서가 바뀌어도 상관없다는 조건 때문에 다시 2로 나뉘어 총 $n^2$ 개의 항을 합산하게 될 것이다.

분배함수의 적분 중 $\mathbf{r}_i$에 대한 부분은 $$\int_{\delta_i(j)} d\mathbf{r}_i \exp \left[ 2\beta \left( \sum_k p_i p_k \ln \left| \frac{\mathbf{r}_i - \mathbf{r}_k}{\tau} \right| + \sum_k p_j p_k \ln \left| \frac{\mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k}{\tau} \right| \right) \right]$$ 인데, 인접한 소용돌이 쌍의 부호가 서로 반대인 경우가 가장 큰 기여를 할 것이므로 $p_i = -p_j$로 놓을 수 있다. 또 매우 얇은 고리로 적분구간이 제한되므로 $\mathbf{r}_i - \mathbf{r}_j = \vec{\tau}$로 놓자. 그러면 위 적분은 다음처럼 표현된다: $$\int_{\delta_i(j)} d\mathbf{r}_i \prod_{k} \left| \frac{\mathbf{r}_i - \mathbf{r}_k}{\tau} \right|^{2\beta p_i p_k} \left| \frac{\mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k}{\tau} \right|^{-2\beta p_i p_k} = \int_{\delta_i(j)} d\mathbf{r}_i \prod_{k} \left( \frac{\left| \mathbf{r}_i - \mathbf{r}_k \right|^2}{\left| \mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k \right|^2} \right)^{\beta p_i p_k}$$. 그런데 대부분의 기여는 $|\mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k| \gg \tau$인 영역에서 오기 때문에, 괄호 안의 표현식을 $\tau/|\mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k|$의 2차항까지 전개해놓자: \begin{eqnarray} \frac{\left| \mathbf{r}_i - \mathbf{r}_k \right|^2}{\left| \mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k \right|^2} &=& \frac{\left| (\mathbf{r}_i - \mathbf{r}_j) + (\mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k)\right|^2}{\left| \mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k \right|^2} = \frac{\left| \vec{\tau} + (\mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k)\right|^2}{\left| \mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k \right|^2}\\ &\approx& 1 + \frac{2\vec{\tau} \cdot (\mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k)}{\left| \mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k \right|^2} + \frac{\tau^2}{\left| \mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k \right|^2}. \end{eqnarray} 그리고 거듭제곱의 표현식을 2차항까지 전개하면 아래처럼 된다. \begin{eqnarray} \prod_k \left( 1+A\epsilon_k + B\epsilon_k^2 \right)^{n_k} &\approx& \prod_k \left[ 1+ n_kA\epsilon_k + n_kB\epsilon_k^2 + \frac{1}{2}n_k (n_k-1) A^2 \epsilon_k^2 \right]\\ &\approx& 1 + \sum_k \left[ n_kA\epsilon_k + n_kB\epsilon_k^2 + \frac{1}{2}n_k (n_k-1) A^2 \epsilon_k^2 \right] + \frac{1}{2}\sum_{k\neq l} (n_k A\epsilon_k) (n_l A\epsilon_l). \end{eqnarray} 이를 이용해 위의 식을 $\delta_i(j)$에서 적분한다: \begin{eqnarray} &&\tau d\tau \int_0^{2\pi} d\theta \prod_k \left( 1 + \frac{2\vec{\tau} \cdot (\mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k)}{\left| \mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k \right|^2} + \frac{\tau^2}{\left| \mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k \right|^2} \right)^{\beta p_i p_k}\\ &\approx& \tau d\tau \int_0^{2\pi} d\theta \left\{ 1 + \sum_k \beta p_i p_k \frac{2\vec{\tau} \cdot (\mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k)}{\left| \mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k \right|^2} + \sum_k \beta p_i p_k \frac{\tau^2}{\left| \mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k \right|^2} + \sum_k \frac{1}{2} \beta p_i p_k (\beta p_i p_k - 1) \left[ 2\frac{\vec{\tau} \cdot (\mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k)}{\left| \mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k \right|^2} \right]^2 + \frac{1}{2} \sum_{k \neq l} (\beta p_i p_k) (\beta p_i p_l) \frac{2\vec{\tau} \cdot (\mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k)}{\left| \mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k \right|^2} \frac{2\vec{\tau} \cdot (\mathbf{r}_j - \mathbf{r}_l)}{\left| \mathbf{r}_j - \mathbf{r}_l \right|^2} \right\}. \end{eqnarray} 여기에서 $\theta$는 $\vec{\tau}$가 어떤 축과 만드는 각도이다. 첫 번째 항을 적분하면 간단히 $2\pi \tau d\tau$를 준다.

$\vec{\tau} = \tau(\cos\theta, \sin\theta)$로 놓으면 상수 벡터 $\mathbf{A}$와 $\mathbf{B}$에 대해 다음의 식들이 성립함을 쉽게 확인할 수 있다: $$\int_0^{2\pi} d\theta \vec{\tau} \cdot \mathbf{A} = 0,$$ $$\int_0^{2\pi} d\theta (\vec{\tau} \cdot \mathbf{A}) (\vec{\tau} \cdot \mathbf{B}) = \pi \tau^2 \mathbf{A} \cdot \mathbf{B}.$$ 따라서 피적분항의 두 번째 항은 적분에 기여하지 못하고, 세 번째와 네 번째 항은 다음처럼 간단해진다: \begin{eqnarray} &&\tau d\tau \int_0^{2\pi} d\theta \sum_k \beta p_i p_k \frac{\tau^2}{\left| \mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k \right|^2} + \tau d\tau \int_0^{2\pi} d\theta \sum_k \frac{1}{2} \beta p_i p_k (\beta p_i p_k - 1) \left[ \frac{2\vec{\tau} \cdot (\mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k)}{\left| \mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k \right|^2} \right]^2\\ &=& \tau d\tau \sum_k \beta p_i p_k \frac{2\pi \tau^2}{\left| \mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k \right|^2} + \tau d\tau \sum_k \frac{1}{2} \beta p_i p_k (\beta p_i p_k - 1) \frac{4 \pi \tau^2}{\left| \mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k \right|^2}\\ &=& \tau d\tau \sum_k \beta^2 p_i^2 p_k^2 \frac{2 \pi \tau^2}{\left| \mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k \right|^2}\\ &=& 2\pi \tau d\tau \times \beta^2 p^4 \sum_k \frac{\tau^2}{\left| \mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k \right|^2} \end{eqnarray} 또한 다섯 번째 항은 마찬가지 방법으로 다음처럼 표현된다: \begin{eqnarray} &&\tau d\tau \int_0^{2\pi} d\theta \frac{1}{2} \sum_{k \neq l} (\beta p_i p_k) (\beta p_i p_l) \frac{2\vec{\tau} \cdot (\mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k)}{\left| \mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k \right|^2} \frac{2\vec{\tau} \cdot (\mathbf{r}_j - \mathbf{r}_l)}{\left| \mathbf{r}_j - \mathbf{r}_l \right|^2}\\ &=& \tau d\tau \sum_{k \neq l} \beta^2 p^2 p_k p_l \frac{2\pi \tau^2 (\mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k) \cdot (\mathbf{r}_j - \mathbf{r}_l)}{\left| \mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k \right|^2 \left| \mathbf{r}_j - \mathbf{r}_l \right|^2}\\ &=& 2\pi \tau d\tau \beta^2 p^2 \sum_{k \neq l} p_k p_l \frac{\tau^2(\mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k) \cdot (\mathbf{r}_j - \mathbf{r}_l)}{\left| \mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k \right|^2 \left| \mathbf{r}_j - \mathbf{r}_l \right|^2}. \end{eqnarray}

$$ 2\pi \tau d\tau \int_{\overline{D}(i,j)} d\mathbf{r}_j \left\{ 1 + \beta^2 p^4 \sum_k \frac{\tau^2}{\left| \mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k \right|^2} + \beta^2 p^2 \sum_{k \neq l} p_k p_l \frac{\tau^2 (\mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k) \cdot (\mathbf{r}_j - \mathbf{r}_l)}{\left| \mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k \right|^2 \left| \mathbf{r}_j - \mathbf{r}_l \right|^2} \right\}$$

첫 번째 항의 적분은 계의 전체 면적 $A$를 준다(제외되는 반경 $\tau$는 작으므로 무시): $$\int_{\overline{D}(i,j)} d\mathbf{r}_j \approx A.$$ 두 번째 항의 적분은 계의 반경을 $R$이라 했을 때에 $R$이 매우 크다면 마치 $\mathbf{r}_k$가 원점에 있는 것처럼 다음처럼 구해진다: $$\int_{\overline{D}(i,j)} \frac{d\mathbf{r}_j}{\left| \mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k \right|^2} \approx 2\pi \ln \frac{R}{\tau}.$$ 세 번째 항의 적분 역시 마찬가지로 $\tau$가 작고 $R$이 큰 극한에서 행한다. 편의상 $\mathbf{r}_k = (\rho,0)$, $\mathbf{r}_l = (-\rho,0)$이라고 한다면 이 적분은 \begin{eqnarray} \int_0^R \int_0^{2\pi} \frac{(r^2-\rho^2)}{(r^2+\rho^2+2\rho r\cos\theta) (r^2+\rho^2-2\rho r\cos\theta)}r d\theta dr &=& \pi \ln\left[ \frac{1}{4} \left( 1 + \frac{R^2}{\rho^2} \right) \right]\\ &\approx& \pi \ln\left( \frac{R^2}{\left| \mathbf{r}_k - \mathbf{r}_l \right|^2} \right)\\ &=& 2\pi \ln\left( \frac{R}{\left| \mathbf{r}_k - \mathbf{r}_l \right|} \right). \end{eqnarray}

위 결과들을 모두 더하면 \begin{eqnarray} 2\pi \tau d\tau \left(A + 2\pi \tau^2 \beta^2 p^4 \sum_k \ln \frac{R}{\tau} + 2\pi \tau^2 \beta^2 p^2 \sum_{k \neq l} p_k p_l \ln \frac{R}{\left| \mathbf{r}_k - \mathbf{r}_l \right|} \right) &\approx& 2\pi \tau d\tau \left(A - 2\pi \tau^2 \beta^2 p^2 \sum_{k\neq l} p_k p_l \ln \frac{R}{\tau} + 2\pi \tau^2 \beta^2 p^2 \sum_{k \neq l} p_k p_l \ln \frac{R}{\left| \mathbf{r}_k - \mathbf{r}_l \right|} \right)\\ &=& 2\pi \tau d\tau \left( A - 2\pi \tau^2 \beta^2 p^2 \sum_{k \neq l} p_k p_l \ln \left| \frac{\mathbf{r}_k - \mathbf{r}_l}{\tau} \right| \right). \end{eqnarray}

따라서 \begin{eqnarray} Z &=& \sum_{n} \frac{1}{(n!)^2} \kappa^{2n} \int_{D_{2n}} d\mathbf{r}_{2n} \cdots \int_{D_{1}} d\mathbf{r}_{1} e^{-\beta H_{2n}}\\ &\approx& \sum_{n} \frac{1}{(n!)^2} \kappa^{2n} \left[ \int_{D'_{2n}} d\mathbf{r}_{2n} \cdots \int_{D'_{1}} d\mathbf{r}_{1} e^{-\beta H_{2n}} + \sum_{(i,j)}^{(n,n)} \int_{D'_{2n}} d\mathbf{r}_{2n} \cdots \int_{D'_{j+1}} d\mathbf{r}_{j+1} \int_{D'_{j-1}} d\mathbf{r}_{j-1} \cdots \int_{D'_{i+1}} d\mathbf{r}_{i+1} \int_{D'_{i-1}} d\mathbf{r}_{i-1} \cdots \int_{D'_{1}} d\mathbf{r}_{1} 2\pi \tau d\tau \left( A - 2\pi \tau^2 \beta^2 p^2 \sum_{k \neq l} p_k p_l \ln \left| \frac{\mathbf{r}_k - \mathbf{r}_l}{\tau} \right| \right) e^{-\beta H_{2n-2}} \right]\\ &=& \sum_{n} \frac{1}{(n!)^2} \kappa^{2n} \int_{D'_{2n}} d\mathbf{r}_{2n} \cdots \int_{D'_{1}} d\mathbf{r}_{1} e^{-\beta H_{2n}} +\sum_{n} \frac{1}{(n!)^2} \kappa^{2n} \sum_{(i,j)}^{(n,n)} \int_{D'_{2n}} d\mathbf{r}_{2n} \cdots \int_{D'_{j+1}} d\mathbf{r}_{j+1} \int_{D'_{j-1}} d\mathbf{r}_{j-1} \cdots \int_{D'_{i+1}} d\mathbf{r}_{i+1} \int_{D'_{i-1}} d\mathbf{r}_{i-1} \cdots \int_{D'_{1}} d\mathbf{r}_{1} 2\pi \tau d\tau \left( A - 2\pi \tau^2 \beta^2 p^2 \sum_{k \neq l} p_k p_l \ln \left| \frac{\mathbf{r}_k - \mathbf{r}_l}{\tau} \right| \right) e^{-\beta H_{2n-2}}\\ &=& \sum_{n} \frac{1}{(n!)^2} \kappa^{2n} \int_{D'_{2n}} d\mathbf{r}_{2n} \cdots \int_{D'_{1}} d\mathbf{r}_{1} e^{-\beta H_{2n}} +\sum_{n} \frac{1}{(n+1)!^2} \kappa^{2n+2} \sum_{(i,j)}^{(n+1,n+1)} \int_{D'_{2n}} d\mathbf{r}_{2n} \cdots \int_{D'_{1}} d\mathbf{r}_{1} 2\pi \tau d\tau \left( A - 2\pi \tau^2 \beta^2 p^2 \sum_{k \neq l} p_k p_l \ln \left| \frac{\mathbf{r}_k - \mathbf{r}_l}{\tau} \right| \right) e^{-\beta H_{2n}}\\ &=& \sum_{n} \frac{1}{(n!)^2} \kappa^{2n} \left[ \int_{D'_{2n}} d\mathbf{r}_{2n} \cdots \int_{D'_{1}} d\mathbf{r}_{1} e^{-\beta H_{2n}} +\frac{1}{(n+1)^2} \kappa^{2} \sum_{(i,j)}^{(n+1,n+1)} \int_{D'_{2n}} d\mathbf{r}_{2n} \cdots \int_{D'_{1}} d\mathbf{r}_{1} 2\pi \tau d\tau \left( A - 2\pi \tau^2 \beta^2 p^2 \sum_{k \neq l} p_k p_l \ln \left| \frac{\mathbf{r}_k - \mathbf{r}_l}{\tau} \right| \right) e^{-\beta H_{2n}} \right]\\ &\approx& \sum_{n} \frac{1}{(n!)^2} \kappa^{2n} \left[ \int_{D'_{2n}} d\mathbf{r}_{2n} \cdots \int_{D'_{1}} d\mathbf{r}_{1} e^{-\beta H_{2n}} +\kappa^{2} \int_{D'_{2n}} d\mathbf{r}_{2n} \cdots \int_{D'_{1}} d\mathbf{r}_{1} 2\pi \tau d\tau \left( A - 2\pi \tau^2 \beta^2 p^2 \sum_{k \neq l} p_k p_l \ln \left| \frac{\mathbf{r}_k - \mathbf{r}_l}{\tau} \right| \right) e^{-\beta H_{2n}} \right]\\ &=& \sum_{n} \frac{1}{(n!)^2} \kappa^{2n} \int_{D'_{2n}} d\mathbf{r}_{2n} \cdots \int_{D'_{1}} d\mathbf{r}_{1} \left[ 1 +\kappa^{2} 2\pi \tau d\tau \left( A - 2\pi \tau^2 \beta^2 p^2 \sum_{k \neq l} p_k p_l \ln \left| \frac{\mathbf{r}_k - \mathbf{r}_l}{\tau} \right| \right) \right] e^{-\beta H_{2n}}\\ &\approx& \sum_{n} \frac{1}{(n!)^2} \kappa^{2n} \int_{D'_{2n}} d\mathbf{r}_{2n} \cdots \int_{D'_{1}} d\mathbf{r}_{1} \exp \left[ \kappa^{2} 2\pi \tau d\tau \left( A - 2\pi \tau^2 \beta^2 p^2 \sum_{k \neq l} p_k p_l \ln \left| \frac{\mathbf{r}_k - \mathbf{r}_l}{\tau} \right| \right) \right] e^{-\beta H_{2n}}\\ &=& \exp(2\pi \kappa^2\tau d\tau A) \sum_{n} \frac{1}{(n!)^2} \kappa^{2n} \int_{D'_{2n}} d\mathbf{r}_{2n} \cdots \int_{D'_{1}} d\mathbf{r}_{1} \exp \left\{ \beta \left[ - (2\pi)^2 \beta p^2 (\kappa \tau^2)^2 \frac{d\tau}{\tau} \right] \sum_{k \neq l} p_k p_l \ln \left| \frac{\mathbf{r}_k - \mathbf{r}_l}{\tau} \right| \right\} e^{-\beta H_{2n}}\\ &=& \exp(2\pi \kappa^2\tau d\tau A) \sum_{n} \frac{1}{(n!)^2} \kappa^{2n} \int_{D'_{2n}} d\mathbf{r}_{2n} \cdots \int_{D'_{1}} d\mathbf{r}_{1} \exp \left\{ \beta \left[1 - (2\pi)^2 \beta p^2 (\kappa \tau^2)^2 \frac{d\tau}{\tau} \right] \sum_{k \neq l} p_k p_l \ln \left| \frac{\mathbf{r}_k - \mathbf{r}_l}{\tau} \right| \right\}\\ \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \kappa^{2n} \exp\left[ -\beta\sum_{i\neq j} p_i p_j \ln \tau \right] &\approx& \kappa^{2n} \exp \left\{ -\beta\sum_{i\neq j} p_i p_j \left[ \ln (\tau+d\tau) - \frac{d\tau}{\tau} \right] \right\}\\ &=& \kappa^{2n} \exp \left\{ -\beta\sum_{i\neq j} p_i p_j \ln (\tau+d\tau) \right\} \exp \left( \beta \sum_{i \neq j} p_i p_j \frac{d\tau}{\tau} \right) \end{eqnarray} 여기에서 $p_i = -p_j$인 인접한 소용돌이 쌍들이 대부분을 기여하므로 $\sum_{i \neq j} p_i p_j \approx -2n p^2$으로 근사하면, 위 식은 \begin{eqnarray} \kappa^{2n} \exp \left( - 2n \beta p^2 \frac{d\tau}{\tau} \right) \exp \left\{ -\beta\sum_{i\neq j} p_i p_j \ln (\tau+d\tau) \right\} &\approx& \kappa^{2n} \left( 1 - 2n \beta p^2 \frac{d\tau}{\tau} \right) \exp \left\{ -\beta\sum_{i\neq j} p_i p_j \ln (\tau+d\tau) \right\}\\ &\approx& \left[ \kappa \left( 1 - \beta p^2 \frac{d\tau}{\tau} \right) \right]^{2n} \exp \left\{ -\beta\sum_{i\neq j} p_i p_j \ln (\tau+d\tau) \right\} \end{eqnarray} 따라서 휘산도의 변화는 \begin{eqnarray} \kappa \tau^2 &\longrightarrow& \kappa \left( 1 - \beta p^2 \frac{d\tau}{\tau} \right) (\tau+d\tau)^2\\ &\approx& \kappa \left( 1 - \beta p^2 \frac{d\tau}{\tau} \right) (\tau^2 + 2\tau d\tau)\\ &=& \kappa \left( 1 - \beta p^2 \frac{d\tau}{\tau} \right) \tau^2 \left(1 + 2 \frac{d\tau}{\tau} \right)\\ &\approx& \kappa\tau^2 \left( 1 - \beta p^2 \frac{d\tau}{\tau} + 2\frac{\tau}{d\tau} \right)\\ &\approx& \kappa\tau^2 \left[ 1 - (\beta p^2-2) \frac{d\tau}{\tau} \right] \end{eqnarray}

차단 길이 $\tau$를 $\tau+d\tau$로 변경함에 따라 계의 맺음변수들이 다음처럼 변화한다: \begin{eqnarray} \beta p^2 &\longrightarrow& (\beta p^2)' = \beta p^2 \left[ 1 - (2\pi)^2 (\beta p^2) (\kappa \tau^2)^2 \frac{d\tau}{\tau} \right]\\ \kappa \tau^2 &\longrightarrow& (\kappa \tau^2)' = \kappa \tau^2 \left[ 1 - (\beta p^2 - 2) \frac{d\tau}{\tau} \right]. \end{eqnarray} 만일 $x \equiv \beta p^2 - 2$와 $y \equiv 2\pi \kappa \tau^2$을 정의한다면 아래처럼 쓸 수 있다: \begin{eqnarray} dx &=& -(x+2)^2 y^2 \frac{d\tau}{\tau}\\ dy &=& -xy \frac{d\tau}{\tau}. \end{eqnarray} $\lambda \equiv \ln \tau$로 정의하는 것도 일반적이다: \begin{eqnarray} \frac{dx}{d\lambda} &=& -(x+2)^2 y^2\\ \frac{dy}{d\lambda} &=& -xy. \end{eqnarray} $(x,y)=(0,0)$인 고정점 주변에서는 아래처럼 근사할 수 있고 \begin{eqnarray} \frac{dx}{d\lambda} &=& -4y^2\\ \frac{dy}{d\lambda} &=& -xy, \end{eqnarray} $x = 2\pi K -2$로 쓸 수도 있으므로 $K$와 $y$에 대해 정리하면 아래의 꼴로 나타나기도 한다: \begin{eqnarray} \frac{dK^{-1}}{d\lambda} &=& 2\pi y^2\\ \frac{dy}{d\lambda} &=& (2-2\pi K) y. \end{eqnarray}

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