ETH (Eigenstate Thermalization Hypothesis)

'고유상태 열화 가설'(ETH)은 '양자 고립계(quantum isolated system)'가 어떻게 열적 평형(thermal equilibrium)에 도달하는지, 그 메커니즘을 이해하기 위해 도입되는 일련의 아이디어이다.

'고유상태 열화(eigenstate thermalization)'라는 용어는 Mark Srednicki(1994)에 의해 도입되었다.

Ergodicity란, 열평형 상태에 있는 어떤 물리량의 시간 평균(time average)과 열역학적 모둠 평균(ensemble average)이 서로 같은 결과를 주는 성질을 말한다.

고전적(classical)한 계에서는 '위상 공간(phase space)'의 궤적(trajectory)이 그 공간을 고르게 돌아다닐 때 ergodicity를 갖는다고 할 수 있으며

그 현상에 상응하는 메커니즘은 '혼돈(chaos)'이다.

$$ \\ $$

한편, 양자(quantum) 계의 경우는 그러한 혼돈 행태(chaotic behavior)를 정의 및 기술하기가 쉽지 않으므로, 대응 가능한 메커니즘이 필요하고

그에 해당하는 아이디어가 고유상태 열화 가설(ETH)이다.

무한히 긴 시간 간격에 대한 물리량의 평균 (long-time average)을 계산하고, 그가 바른틀 모둠(canonical ensemble), 작은 바른틀 모둠(microcanonical ensemble) 등의

평형 모둠의 평균의 결과를 준다면 ergodicity를 갖고 열적 평형에 도달(thermalization)하게 된다.

$$ \\ $$ 양자 고립계의 초기 상태를 나타내는 파동 함수를 브라-켓 표기법을 사용하여 나타내고, 그를 완전성(completeness)을 갖는 '에너지 고유 상태(energy eigenstate)의 기저(basis)로 다음과 같이 전개할 수 있다고 하자.

$$ | \psi(0) \rangle = \sum_{\alpha} C_{\alpha} |E_{\alpha} \rangle $$

시간이 흐른다면 (time evolution), 시간 $t$에 대한 의존성을 다음과 같이

$$ | \psi(t) \rangle = e^{-i H t} | \psi(0) \rangle = \sum_{\alpha} C_{\alpha} e^{-i E_{\alpha} t} |E_{\alpha} \rangle $$

시간 진화 연산자로서 표현할 수 있다.

$$ \\ $$ 양자 계에서는 물리량을 '기대값(expectation value)'으로 구하므로, 어떤 '관측 가능량(observable)' $O$의 기대값을 다음과 같이 나타내자.

$$ \langle O(t) \rangle = \langle \psi(t)|O|\psi(t) \rangle = \sum _{\alpha, \beta} C_{\alpha}^* C_{\beta} e^{i (E_{\alpha}-E_{\beta})t} O_{\alpha \beta} $$

이때, $O_{\alpha \beta}\equiv \langle E_\alpha|O|E_\beta \rangle$는 $O$를 energy eigenstate basis로 행렬 표현(matrix representation)한 것이다.

$$ \\ $$ 이 기대값을 '무한히 긴' 시간에 대해 평균을 내린다면 어떻게 표현이 될지, 아래와 같이 식으로 확인해보자.

\begin{align} \overline{\langle O \rangle} &= \lim_{\tau \to \infty } \frac{1}{\tau} \int _0 ^\tau \langle \psi(t) | O | \psi(t) \rangle dt \\ &= \lim_{\tau \to \infty } \frac{1}{\tau} \int _0 ^\tau \left[ \sum _{\alpha, \beta} C_{\alpha}^* C_{\beta} e^{i (E_{\alpha}-E_{\beta})t} O_{\alpha \beta} \right] dt \\ &= \sum_\alpha |C_\alpha|^2 O_{\alpha \alpha} + \lim_{\tau \to \infty } \frac{1}{\tau} \int _0 ^\tau \left[ \sum _{\alpha \ne \beta} C_{\alpha}^* C_{\beta} e^{i (E_{\alpha}-E_{\beta})t} O_{\alpha \beta} \right] dt \end{align}

이때 energy eigenstate의 degeneracy는 없다고 가정(non-degenerate)한다.

그러므로 위의 식에서 두 번째 적분 항은 $0$의 극한 값을 갖는다.

$$ \\ $$ $e^{i (E_{\alpha}-E_{\beta})t}$의 인자는 서로 다른 위상(phase)을 가지므로, 시간 흐름이 진행되며 복소 평면(complex plane) 상에서 상쇄되는 '위상 어긋남(dephasing)'이 발생하고

평균을 계산하는 시간 간격 $\tau$가 무한히 크기 때문이다.

$$ \\ $$ 따라서, 그에 기여하는 값은 $O$의 대각선 성분(diagonal element) 뿐이다.

$$ \\ $$ $$ \overline{\langle O \rangle} = \lim_{\tau \to \infty } \frac{1}{\tau} \int _0 ^\tau \langle \psi(t) | O | \psi(t) \rangle dt = \sum_\alpha |C_\alpha|^2 O_{\alpha \alpha} $$

$$\\ $$ 주의해야 할 부분은, 위와 같이 $\tau$를 $\infty$로 보내는 극한을 취하는 것 만으로는 열적 평형을 온전히 설명할 수 없다는 것이다.

계가 열적 평형에 도달하게 된다면, '대부분의 시간'에서 $\langle \psi(t)|O|\psi(t) \rangle$의 값이 $\overline{\langle O \rangle}$와 가까운 값이어야 하며, 그에 따라 $\overline{\langle O \rangle} = \langle \psi(t)|O|\psi(t) \rangle$인 것이기 때문에

$\tau \to \infty$ 이전에도 이미 시간 요동(temporal fluctuation)은 매우 작은 크기를 가져야만 한다.

$$ \\ $$ 다만 이는 아래에서 설명할 'ETH ansatz'에 의해서 만족된다.

(위와 같은 '열적 평형'에 대한 언급 및 설명 확인을 위해, 맨 아래의 참고 문헌 중 Mark Srednicki의 논문(1999)을 참고할 수 있다.)

위에서 long-time average를 계산한 결과로 얻은 다음의 식을

$$ \overline{\langle O \rangle}= \sum_\alpha |C_\alpha|^2 O_{\alpha \alpha}$$

'diagonal ensemble'이라고 부른다.

즉, 각각의 energy eigenstate ($E_\alpha \rangle$)에 대해 $|C_\alpha|^2$의 가중치(weight)를 주어 평균을 계산하는 모둠(ensemble)으로 취급한다.

$$ \\ $$

ETH의 가설(ansatz)은 관측 가능량 $O_{mn} \equiv \langle E_m |O| E_n \rangle$ 이 다음과 같은 형태를 가지며

$$ O_{mn} = g_O(E_{mn})\delta_{mn} + e^{-S(E_{mn})/2} f_O (E_{mn}, \omega_{mn}) R_{mn} $$

그에 따라 long-time average의 결과가 곧 작은 바른틀 모둠(microcanonical ensemble)의 결과와 동일하다는 것이다.

$g_O$와 $f_O$는 변수에 대한 매끄러운 함수(smooth function)이고, $E_{mn} = (E_m + E_n)/2, \omega_{mn}=(E_m - E_n)$이며 $S(E)$는 열역학적 엔트로피이다.

$$ \\ $$ $R_{mn}$은 평균이 0이고 분산은 1인 가우스 모둠(Gaussian Ensemble)에서 뽑는 행렬 성분이며,

대부분의 물리적인 해석을 위해서는 GOE(Gaussian Orthogonal Ensemble)의 모둠이다.

$$ \\ $$ long-time average와 microcanonical ensemble의 결과를 비교하고 등식으로 연결하여 표현하면 아래와 같다.

$$ \sum_\alpha |C_\alpha|^2 O_{\alpha \alpha} = \langle O \rangle _{\text{microcan.}} (E_0) \\ \equiv \frac{1}{\mathcal{N}_{E_0,\Delta E}} \sum_{\alpha, \ |E_0 - E_\alpha|< \Delta E} O_{\alpha \alpha} $$

이때 $\Delta E$는 microcanonical ensemble에서 정의하는 에너지 폭(energy window)이며, 에너지 $E_0 = \langle \psi(0) | H | \psi(0) \rangle$ 이다.

$$ \\ $$ 다만 ETH ansatz에서 도입되는 형태를 따른다고 해도 'diagonal ensemble이 왜 microcanonical ensemble의 결과를 주는지', 그리고

'어떤 전제 조건이 포함되어야 하는지' 등의 부분은 명확히 보이지 않는다.

아래의 사항들을 더 살펴보자.

$$ \\ $$

이번에는 Diagonal ensemble에서의 에너지 요동(energy fluctuation)을 계산하고자 한다.

첫 번째 과정으로, $$ O_{mn} = g_O(E_{mn})\delta_{mn} + e^{-S(E_{mn})/2} f_O (E_{mn}, \omega_{mn}) R_{mn} $$ 의 식으로 부터, $$O_{mm} = g_O(E_{m}) + \boldsymbol{e^{-S(E_{m})/2} f_O (E_{m}) R_{mm}} $$

임을 통해, 다음을 알 수 있다.

$$ \overline{\langle O \rangle}= \sum_m |C_m|^2 O_{mm} = \sum_{m} |C_m|^2 g_O(E_{m}) + \mathcal{O}(e^{-S(E_{m})/2}).$$

위의 $\mathcal{O}$ (big-O) 표기는 $O_{mm}$의 표현식 중 굵은 글씨체의 항에 의한 것이다.

$$ \\ $$ 그 다음의 과정으로, $g_O(E_m)$의 '평균 에너지($\langle E \rangle$)'에 대한 테일러 전개(Taylor expansion)를 표현하자.

$$ g_O(E_m) \approx g_O(\langle E \rangle)+(E_m - \langle E \rangle)\left.\frac{dg_O}{dE}\right\vert_{\langle E \rangle} + \frac{1}{2}(E_m - \langle E \rangle)^2 \left.\frac{d^2g_O}{dE^2}\right\vert_{\langle E \rangle} $$

이 식을 $\overline{\langle O \rangle}$의 식에 포함된 $\sum_m |C_m|^2 g_O(E_m)$ 에 넣으면

$$ \overline{\langle O \rangle} \approx g_O(\langle E \rangle) + \frac{1}{2}(\Delta E)^2 g_O''(\langle E \rangle)+ \mathcal{O}(e^{-S(E_{m})/2}). $$ 과 같다.

이때 $\Delta E$는 $\sum_m |C_m|^2 (E_m - \langle E \rangle)^2 $이고, $g_O''(\langle E \rangle)$은 $\left.\frac{d^2 g_O}{dE^2}\right\vert_{\langle E \rangle}$이다.

$$ \\ $$ 무한한 시간의 극한을 취한 long-time average에 해당하는 $\overline{\langle O \rangle} $는 $\langle E \rangle$(전체 에너지의 기대값)에 대해서는 의존하지만

'초기 조건'에 대한 의존성을 갖지 않아야 하므로, 다음의 조건이 성립해야 한다.

$$ (\Delta E)^2 \left|\frac{ g_O''(\langle E \rangle) }{g_O(\langle E \rangle)}\right| \ll 1.$$

이는 '$\Delta E$의 작음(smallness)'에 대한 보다 정확한 조건으로 언급된다.

$$ \\ $$ Mark Srednicki(1996)에 따르면, 우리는 $\langle E \rangle$를 중심으로 모여있는(centered) 에너지 범위 상의 microcanonical average를 표현하기 위해 $|C_m|^2$을 뽑을 수 있고,

만약 '위의 조건을 만족하는 $\Delta E$라면' $\ \overline{\langle O \rangle}$은 $O$의 microcanonical average와 같다.

$$ \\ $$ 또는, $|C_m|^2$을 canonical Boltzmann weight로 뽑을 수 있다.

바른틀 모둠에서의 에너지 분산 $\Delta E$은 $\langle E \rangle$에 대해 보통 다음의 관계에 있기 때문이며,

$$\frac{\Delta E}{\langle E \rangle} \propto N^{-1/2}$$

$N$이 클 때 $ (\Delta E)^2 \left|\frac{ g_O''(\langle E \rangle) }{g_O(\langle E \rangle)}\right| \ll 1.$의 식을 만족한다.

$$ \\ $$ 이는 분배함수 $ Z_N = \sum_\alpha e^{-\beta E_{N,\alpha}} $를 이용하여 얻는 에너지 요동이, 크기 변수(extensive variable)인 열용량(heat capacity) $C_v$와 관계 되기 때문이다.

$$ C_v = \left( \frac{\partial U}{\partial T} \right)_v = \frac{1}{kT^2}\left[\langle E^2 \rangle - \langle E \rangle ^2 \right] = \frac{1}{kT^2}\left[(\Delta E)^2 \right] $$

$$ \\ $$

위에서 언급한 내용과 같이, 온도가 $T=\frac{1}{\beta}$로 일정한 계의 평균 에너지 $\langle E \rangle=e(\beta)N$은 계의 크기에 비례하며

에너지의 분산도 $\langle (E- \langle E \rangle)^2 \rangle \propto N$ 로서 계의 크기에 비례하여, $\Delta E \propto \sqrt{N}$ 이다.

$$ \\ $$ 즉, '계의 에너지 분포가 $\langle \psi| H^2 |\psi \rangle - \langle \psi|H|\psi \rangle^2 \propto N$ 인 경우에만' 열 평형 상태에 있을 수 있다.

만약 에너지의 분포가 넓다면, 그는 여러 온도의 상태가 혼재된 상태가 되므로 열 평형 상태와 같을 수 없기 때문이다.

(diagonal ensemble로 취급되는 $\sum_\alpha |C_\alpha|^2 O_{\alpha \alpha}$은 무한히 긴 시간에 대한 time average임에 유의하자.)

$$ \\ $$ 평형 상태에 있는 양자 고립계의 온도를 설명하기 위해서는 (바른틀 모둠에서) 다음과 같은 방식을 통해

$$ E_0 = \text{Tr} \rho_c (\beta) H$$

온도의 역수 (inverse temperature)개념에 해당하는 $\beta$를 얻을 수 있다.

이때 $\rho_c$는 바른틀 모둠(canonical ensemble)의 밀도 행렬(density matrix)이다.

$$ \\ $$

ETH ansatz에 따르면, '비대각선 성분(off-diagonal element)'의 크기가 매우 작으므로 'temporal fluctuation'의 크기가 매우 작다는 것을 아래와 같이 확인할 수 있다.

\begin{align} \sigma_O ^2 &\equiv \lim_{\tau \to \infty} \frac{1}{\tau} \int_0 ^\tau dt \left[ {\langle O(t) \rangle}^2 - (\overline{\langle O \rangle})^2 \right] \\ &=\lim_{\tau \to \infty} \frac{1}{\tau} \int_0 ^\tau dt \left[ \sum_{m,n,p,q} O_{mn}O_{pq}C_m ^*C_n C_p ^* C_q e^{i(E_m -E_n + E_p - E_q)t} - (\overline{\langle O \rangle})^2 \right] \\ &=\sum_{m,n\ne m} |C_m|^2 |C_n|^2 |O_{mn}|^2 \le \exp\left[-S(\bar{E}) \right] \end{align}

$$ \\ $$ 즉, 계의 크기 (system size)에 따라서 지수적으로(exponentially) 작은 값이다.

$$ \\ $$

ETH를 따르는 계는, (앞서 보았던) '양자의 경우(quantum case)에 정의되는' ergodicity를 갖는다.

$$ \sum_\alpha |C_\alpha|^2 O_{\alpha \alpha} = \langle O \rangle _{\text{microcan.}} (E_0) \\ \equiv \frac{1}{\mathcal{N}_{E_0,\Delta E}} \sum_{\alpha, \ |E_0 - E_\alpha|< \Delta E} O_{\alpha \alpha} $$

이때 좌변인 long-time average의 $|C_\alpha|^2$는 초기 상태에 의해 결정되는 것이며, 시간에 따라 변화하지 않는다.

한편, 우변의 microcanonical average는 초기 상태에 대한 정보가 포함되어 있지 않은 '보편성(universality)'을 보인다.

$$ \\ $$ $p_\alpha = |C_\alpha|^2$은 계를 고유상태(eigenstate) $E_\alpha$에 있는 것으로 발견할 확률으로서

위에서 설명한 물리적인 이유로 인해 특정 에너지 주변으로 몰려(concentrated) 있다.

$$ \\ $$ $\sum_\alpha |C_\alpha|^2 O_{\alpha \alpha}$에서 각각의 $O_{\alpha \alpha}$는 smooth function이므로, 매우 유사한 값의 에너지에 대해서 거의 변하지 않는 결과를 준다.

따라서 ETH는 '각각의' 고유상태(eigenstate)에 대한 기대값 $O_{\alpha \alpha}=\langle E_\alpha|O|E_\alpha \rangle$가 microcanonical ensemble의 결과와 잘 상응한다는 것을 의미한다.

$$ \langle E_\alpha|O|E_\alpha \rangle \approx O_{M.E} $$

$$ \\ $$ ETH ansatz를 정리하자면 아래와 같다.

('물리적인 초기 상태'를 고려하여) 계의 크기가 클수록 $\Delta E$가 $E$에 대해서 매우 작으며, 관측가능량 $O$가 에너지 고유상태 기저에 대해

$ O_{mn} = g_O(E_{mn})\delta_{mn} + e^{-S(E_{mn})/2} f_O (E_{mn}, \omega_{mn}) R_{mn} $의 형태를 가지면 $ \langle E_m|O|E_m \rangle \approx O_{M.E} $를 의미한다.

또한 비대각선(off-diagonal) 성분에 있는 엔트로피 $S(E_{m})$에 의해서, 시간 요동(temporal fluctuation)이 계의 크기가 클수록 0에 가까우므로

열적 평형의 값에 도달하는 것의 설명을 가능하게 한다.

모든 닫힌 양자계와 고립 양자계가 ETH를 만족하는 것은 아니다.

가령, 적분가능계(integrable system)에 속하는 계는 ETH를 만족하지 않는 것으로 알려져 있다.

(이는 고전적인(classical) 계에서도 integrable system은 매우 많은 보존량(conserved quantity, constant of motion)들을 가지므로 ergodic하지 않다는 것과 잘 상응한다.)

$$ \\ $$ 또한, '다체 국소화(Many-Body Localization, MBL)'가 발생하는 계는 ETH를 따르지 않는데, 이는 해당 계가 '초기 조건'의 기억(memory)을 계속 가지고 있기 때문이다.

(위에서 ETH를 설명하기 위한 $\Delta E$의 조건이 $ (\Delta E)^2 \left|\frac{ g_O''(\langle E \rangle) }{g_O(\langle E \rangle)}\right| \ll 1$인 이유에 유의하자.)

$$ \\ $$

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Mark Srednicki, The approach to thermal equilibrium in quantized chaotic systems, 1999.

Marcos Rigol, Vanja Dunjko, and Maxim Olshanii, Thermalization and its mechanism for generic isolated quantum systems, 2008.

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