물리:고유상태_열화_가설_eigenstate_thermalization_hypothesis

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물리:고유상태_열화_가설_eigenstate_thermalization_hypothesis [2023/03/08 10:11] – minwoo물리:고유상태_열화_가설_eigenstate_thermalization_hypothesis [2023/11/15 16:56] (current) – minwoo
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 ===== Ergodicity ===== ===== Ergodicity =====
 +
 Ergodicity란, 열평형 상태에 있는 어떤 물리량의 시간 평균(time average)과 열역학적 모둠 평균(ensemble average)이 서로 같은 결과를 주는 성질을 말한다. Ergodicity란, 열평형 상태에 있는 어떤 물리량의 시간 평균(time average)과 열역학적 모둠 평균(ensemble average)이 서로 같은 결과를 주는 성질을 말한다.
  
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 $$ \\ $$ $$ \\ $$
-이 기대값을 '무한히 긴' 시간에 대해 평균을 내린다면 어떻게 표현이 될지, 아래와 같이 식으로 학인해보자.+이 기대값을 '무한히 긴' 시간에 대해 평균을 내린다면 어떻게 표현이 될지, 아래와 같이 식으로 확인해보자.
  
 \begin{align} \begin{align}
Line 48: Line 49:
 &= \lim_{\tau \to \infty } \frac{1}{\tau} \int _0 ^\tau \left[ \sum _{\alpha, \beta} C_{\alpha}^* C_{\beta} e^{i (E_{\alpha}-E_{\beta})t} O_{\alpha \beta} \right] dt  \\ &= \lim_{\tau \to \infty } \frac{1}{\tau} \int _0 ^\tau \left[ \sum _{\alpha, \beta} C_{\alpha}^* C_{\beta} e^{i (E_{\alpha}-E_{\beta})t} O_{\alpha \beta} \right] dt  \\
  
-&= \sum_\alpha |C_\alpha|^2 O_{\alpha \alpha} + i \lim_{\tau \to \infty} \left[ \sum_{\alpha \ne \beta} \frac{C_\alpha ^* C_\beta O_{\alpha \beta}}{E_\alpha - E_\beta}\left(\frac{e^{i(E_\alpha-E_\beta)-1}}{\tau}\right) \right]+&= \sum_\alpha |C_\alpha|^2 O_{\alpha \alpha} + \lim_{\tau \to \infty } \frac{1}{\tau} \int _0 ^\tau \left[ \sum _{\alpha \ne \beta} C_{\alpha}^* C_{\beta} e^{i (E_{\alpha}-E_{\beta})t} O_{\alpha \beta} \right] dt 
 \end{align} \end{align}
  
 이때 energy eigenstate의 degeneracy는 없다고 가정(non-degenerate)한다. 이때 energy eigenstate의 degeneracy는 없다고 가정(non-degenerate)한다.
  
-그러므로 '무한히 긴 시간'이 지나서 위와 같이 시간 평균을 취할 수 있다고 가정한다면, 그에 기여하는 값은 $O$의 대각선 성분(diagonal element) 뿐이다.+그러므로 위의 식에서 두 번째 적분 항은 $0$의 극한 값을 갖는다.
  
-$$ \\$$+$$ \\ $$ 
 +$e^{i (E_{\alpha}-E_{\beta})t}$의 인자는 서로 다른 위상(phase)을 가지므로, 시간 흐름이 진행되며 복소 평면(complex plane) 상에서 상쇄되는 '위상 어긋남(dephasing)'이 발생하고 
 + 
 +평균을 계산하는 시간 간격 $\tau$가 무한히 크기 때문이다. 
 + 
 +$$ \\ $$ 
 +따라서, 그에 기여하는 값은 $O$의 대각선 성분(diagonal element) 뿐이다. 
 + 
 +$$ \\ $$
 $$ \overline{\langle O \rangle} = \lim_{\tau \to \infty } \frac{1}{\tau} \int _0 ^\tau \langle \psi(t) | O | \psi(t) \rangle dt = \sum_\alpha |C_\alpha|^2 O_{\alpha \alpha} $$ $$ \overline{\langle O \rangle} = \lim_{\tau \to \infty } \frac{1}{\tau} \int _0 ^\tau \langle \psi(t) | O | \psi(t) \rangle dt = \sum_\alpha |C_\alpha|^2 O_{\alpha \alpha} $$
  
Line 61: Line 70:
 주의해야 할 부분은, 위와 같이 $\tau$를 $\infty$로 보내는 극한을 취하는 것 만으로는 열적 평형을 온전히 설명할 수 없다는 것이다. 주의해야 할 부분은, 위와 같이 $\tau$를 $\infty$로 보내는 극한을 취하는 것 만으로는 열적 평형을 온전히 설명할 수 없다는 것이다.
  
-계가 열적 평형에 도달하게 된다면, '대부분의 시간'에서 $\langle \psi(t)|O|\psi(t) \rangle$의 값이 $\overline{\langle O \rangle}$와 가까운 값이어야 하며, 그에 따라서 $\overline{\langle O \rangle} = \langle \psi(t)|O|\psi(t) \rangle$인 것이기 때문에+계가 열적 평형에 도달하게 된다면, '대부분의 시간'에서 $\langle \psi(t)|O|\psi(t) \rangle$의 값이 $\overline{\langle O \rangle}$와 가까운 값이어야 하며, 그에 따라 $\overline{\langle O \rangle} = \langle \psi(t)|O|\psi(t) \rangle$인 것이기 때문에
  
 $\tau \to \infty$ 이전에도 이미 시간 요동(temporal fluctuation)은 매우 작은 크기를 가져야만 한다. $\tau \to \infty$ 이전에도 이미 시간 요동(temporal fluctuation)은 매우 작은 크기를 가져야만 한다.
Line 88: Line 97:
 그에 따라 long-time average의 결과가 곧 작은 바른틀 모둠(microcanonical ensemble)의 결과와 동일하다는 것이다. 그에 따라 long-time average의 결과가 곧 작은 바른틀 모둠(microcanonical ensemble)의 결과와 동일하다는 것이다.
  
-$E_{mn} = (E_m + E_n)/2, \omega_{mn}=(E_m - E_n)$이며 $S(E)$는 열역학적 엔트로피이다.+$g_O$와 $f_O$는 변수에 대한 매끄러운 함수(smooth function)이고, $E_{mn} = (E_m + E_n)/2, \omega_{mn}=(E_m - E_n)$이며 $S(E)$는 열역학적 엔트로피이다.
  
 $$ \\ $$ $$ \\ $$
Line 132: Line 141:
  
 $$ \overline{\langle O \rangle} \approx g_O(\langle E \rangle) + \frac{1}{2}(\Delta E)^2 g_O''(\langle E \rangle)+ \mathcal{O}(e^{-S(E_{m})/2}). $$ $$ \overline{\langle O \rangle} \approx g_O(\langle E \rangle) + \frac{1}{2}(\Delta E)^2 g_O''(\langle E \rangle)+ \mathcal{O}(e^{-S(E_{m})/2}). $$
-과 같다. +과 같다.
  
 이때 $\Delta E$는 $\sum_m |C_m|^2 (E_m - \langle E \rangle)^2 $이고, $g_O''(\langle E \rangle)$은 $\left.\frac{d^2 g_O}{dE^2}\right\vert_{\langle E \rangle}$이다. 이때 $\Delta E$는 $\sum_m |C_m|^2 (E_m - \langle E \rangle)^2 $이고, $g_O''(\langle E \rangle)$은 $\left.\frac{d^2 g_O}{dE^2}\right\vert_{\langle E \rangle}$이다.
Line 178: Line 187:
 (diagonal ensemble로 취급되는 $\sum_\alpha |C_\alpha|^2 O_{\alpha \alpha}$은 무한히 긴 시간에 대한 time average임에 유의하자.) (diagonal ensemble로 취급되는 $\sum_\alpha |C_\alpha|^2 O_{\alpha \alpha}$은 무한히 긴 시간에 대한 time average임에 유의하자.)
  
 +$$ \\ $$
 +평형 상태에 있는 양자 고립계의 온도를 설명하기 위해서는 (바른틀 모둠에서) 다음과 같은 방식을 통해
 +
 +$$ E_0 = \text{Tr} \rho_c (\beta) H$$
 +
 +온도의 역수 (inverse temperature)개념에 해당하는 $\beta$를 얻을 수 있다.
 +
 +이때 $\rho_c$는 바른틀 모둠(canonical ensemble)의 밀도 행렬(density matrix)이다.
 +
 +$$ \\ $$
 ===== 시간 요동 (Temporal fluctuation) ===== ===== 시간 요동 (Temporal fluctuation) =====
  
Line 231: Line 250:
 열적 평형의 값에 도달하는 것의 설명을 가능하게 한다. 열적 평형의 값에 도달하는 것의 설명을 가능하게 한다.
  
-==== 고전적인 경우와 비교 ==== 
- 
-아래 그림은 고전적인 경우와 양자 경우의 열화(thermalization)를 한 눈에 비교할 수 있도록 설명한다. (참고 문헌 중 Marcos Rigol, 2008) 
- 
-{{:물리:rigol_eth.png?550|}} 
- 
-$$ \\ $$ 
-고전적인(classical) 경우를 표현한 $A$ 그림에서는, 혼돈(chaos) 현상에 의해서 열적인(thermal) 상태가 초기 상태와 전혀 유사하지 않다. 
- 
-$$ \\ $$ 
-양자(quantum)의 경우를 표현한 $B$ 그림은 ETH를 설명한다. 즉, 고전적인 경우와 달리 초기 상태의 에너지에 대해 불확정성(uncertainty)을 가지며 
- 
-그러한 에너지 분포는 좁은 폭을 가지고, 각각의 에너지 고유 상태가 열적인 상태를 이미 가지고 있다. 
- 
-다만, 시간이 지남에 따라 '위상 어긋남(dephasing)'으로 $ \langle O(t) \rangle = \langle \psi(t)|O|\psi(t) \rangle = \sum _{\alpha, \beta} C_{\alpha}^* C_{\beta} e^{i (E_{\alpha}-E_{\beta})t} O_{\alpha \beta} $ 의 
-  
-비대각선 성분을 $0$이 되도록 하여 $\overline{\langle O \rangle} = \sum_\alpha |C_\alpha|^2 O_{\alpha \alpha}$의 열적인 상태를 보이게 한다. 
- 
-$$ \\ $$ 
-(위상 어긋남이 발생하는 이유는, 앞서 언급한 식에서 $e^{i (E_{\alpha}-E_{\beta})t}$의 인자는 서로 다른 위상(phase)를 가지므로 
- 
-시간 흐름이 진행되며 복소 평면(complex plane) 상에서 상쇄되기 때문이다.) 
- 
-$$ \\ $$ 
 ===== ETH를 따르는 계 ===== ===== ETH를 따르는 계 =====
  
  • 물리/고유상태_열화_가설_eigenstate_thermalization_hypothesis.1678237913.txt.gz
  • Last modified: 2023/09/05 15:46
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