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--- 물리:고유상태_열화_가설_eigenstate_thermalization_hypothesis [2023/03/10 09:06] – minwoo
+++ 물리:고유상태_열화_가설_eigenstate_thermalization_hypothesis [2023/11/15 16:56] (current) – minwoo
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 ===== Ergodicity =====
 Ergodicity란, 열평형 상태에 있는 어떤 물리량의 시간 평균(time average)과 열역학적 모둠 평균(ensemble average)이 서로 같은 결과를 주는 성질을 말한다.
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 $$ \\ $$
-이 기대값을 '무한히 긴' 시간에 대해 평균을 내린다면 어떻게 표현이 될지, 아래와 같이 식으로 학인해보자.
+이 기대값을 '무한히 긴' 시간에 대해 평균을 내린다면 어떻게 표현이 될지, 아래와 같이 식으로 확인해보자.
 \begin{align}
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 이때 energy eigenstate의 degeneracy는 없다고 가정(non-degenerate)한다.
-$$ \\ $$
+그러므로 위의 식에서 두 번째 적분 항은 $0$의 극한 값을 갖는다.
-그러므로 '무한히 긴 시간'이 지나서 위와 같이 시간 평균을 취할 수 있다고 가정한다면, 위의 식에서 두 번째 적분 항은 $0$의 극한 값을 갖는다.
-$e^{i (E_{\alpha}-E_{\beta})t}$의 인자는 서로 다른 위상(phase)를 가지므로 시간 흐름이 진행되며 복소 평면(complex plane) 상에서 상쇄되는
+$$ \\ $$
+$e^{i (E_{\alpha}-E_{\beta})t}$의 인자는 서로 다른 위상(phase)을 가지므로, 시간 흐름이 진행되며 복소 평면(complex plane) 상에서 상쇄되는 '위상 어긋남(dephasing)'이 발생하고
-'위상 어긋남(dephasing)'이 발생하기 때문이며 시간 간격 $\tau$가 무한히 크기 때문이다.
+평균을 계산하는 시간 간격 $\tau$가 무한히 크기 때문이다.
 $$ \\ $$
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 그에 따라 long-time average의 결과가 곧 작은 바른틀 모둠(microcanonical ensemble)의 결과와 동일하다는 것이다.
-$E_{mn} = (E_m + E_n)/2, \omega_{mn}=(E_m - E_n)$이며 $S(E)$는 열역학적 엔트로피이다.
+$g_O$와 $f_O$는 변수에 대한 매끄러운 함수(smooth function)이고, $E_{mn} = (E_m + E_n)/2, \omega_{mn}=(E_m - E_n)$이며 $S(E)$는 열역학적 엔트로피이다.
 $$ \\ $$
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 (diagonal ensemble로 취급되는 $\sum_\alpha |C_\alpha|^2 O_{\alpha \alpha}$은 무한히 긴 시간에 대한 time average임에 유의하자.)
+$$ \\ $$
+평형 상태에 있는 양자 고립계의 온도를 설명하기 위해서는 (바른틀 모둠에서) 다음과 같은 방식을 통해
+$$ E_0 = \text{Tr} \rho_c (\beta) H$$
+온도의 역수 (inverse temperature)개념에 해당하는 $\beta$를 얻을 수 있다.
+이때 $\rho_c$는 바른틀 모둠(canonical ensemble)의 밀도 행렬(density matrix)이다.
+$$ \\ $$
 ===== 시간 요동 (Temporal fluctuation) =====
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 열적 평형의 값에 도달하는 것의 설명을 가능하게 한다.
-==== 고전적인 경우와 비교 ====
-아래 그림은 고전적인 경우와 양자 경우의 열화(thermalization)를 한 눈에 비교할 수 있도록 설명한다. (참고 문헌 중 Marcos Rigol, 2008)
-{{:물리:rigol_eth.png?550|}}
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-고전적인(classical) 경우를 표현한 $A$ 그림에서는, 혼돈(chaos) 현상에 의해서 열적인(thermal) 상태가 초기 상태와 전혀 유사하지 않다.
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-양자(quantum)의 경우를 표현한 $B$ 그림은 ETH를 설명한다. 즉, 고전적인 경우와 달리 초기 상태의 에너지에 대해 불확정성(uncertainty)을 가지며
-그러한 에너지 분포는 좁은 폭을 가지고, 각각의 에너지 고유 상태가 열적인 상태를 이미 가지고 있다.
-다만, 시간이 지남에 따라 '위상 어긋남(dephasing)'으로 $ \langle O(t) \rangle = \langle \psi(t)|O|\psi(t) \rangle = \sum _{\alpha, \beta} C_{\alpha}^* C_{\beta} e^{i (E_{\alpha}-E_{\beta})t} O_{\alpha \beta} $ 의
-비대각선 성분을 $0$이 되도록 하여 $\overline{\langle O \rangle} = \sum_\alpha |C_\alpha|^2 O_{\alpha \alpha}$의 열적인 상태를 보이게 한다.
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 ===== ETH를 따르는 계 =====