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물리:기체분자운동론 [2014/10/08 18:58] – admin | 물리:기체분자운동론 [2023/09/05 15:46] (current) – external edit 127.0.0.1 | ||
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맥스웰 자신의 유도 과정은 간명하다. | 맥스웰 자신의 유도 과정은 간명하다. | ||
- | $N$개의 단분자 이상기체 입자를 생각해보자. $x,y,z$ 방향의 속도가 각각 $(v_x, v_x+dv_x)$, $(v_y, v_y+dv_y)$, $(v_z, v_z+dv_z)$의 간격 안에 있는 입자의 수를 $N \phi(v_x, | + | $N$개의 단분자 이상기체 입자를 생각해보자. $x,y,z$ 방향의 속도가 각각 $(v_x, v_x+dv_x)$, $(v_y, v_y+dv_y)$, $(v_z, v_z+dv_z)$의 간격 안에 있는 입자의 수를 $N g(v_x, |
- | $v_x$, $v_y$, $v_z$는 서로 독립이므로 $\phi(v_x, | + | $v_x$, $v_y$, $v_z$는 서로 독립이므로 $g(v_x, |
- | $$f(v_x) f(v_y) f(v_z) = \phi(v_x, v_y,v_z) = \phi(v_x^2 + v_y^2 + v_z^2) = \phi(v^2).$$ | + | $$f(v_x) f(v_y) f(v_z) = g(v_x, v_y,v_z) = g(v_x^2 + v_y^2 + v_z^2) = g(v^2).$$ |
- | 맥스웰은 이 함수 방정식을 만족하는 해가 $f(v_i)=C e^{Av_i^2}$이고 따라서 $\phi(v^2) = C^3 e^{Av^2}$일 것이라고 추론했다. 이 해가 $x \rightarrow \infty$에서 발산하지 않으려면 $A = -1/ | + | 맥스웰은 이 함수 방정식을 만족하는 해가 $f(v_i)=C e^{Av_i^2}$이고 따라서 $g(v^2) = C^3 e^{Av^2}$일 것이라고 추론했다. 이 해가 $x \rightarrow \infty$에서 발산하지 않으려면 $A = -1/ |
$\int_{-\infty}^{\infty} f(v_i) dv_i = 1$이라는 규격화 조건에 의해 상수 $C$가 $\frac{1}{\alpha \sqrt{\pi}}$로 결정된다 ([[수학: | $\int_{-\infty}^{\infty} f(v_i) dv_i = 1$이라는 규격화 조건에 의해 상수 $C$가 $\frac{1}{\alpha \sqrt{\pi}}$로 결정된다 ([[수학: | ||
- | $$f(v_i) = \frac{1}{\alpha\sqrt{\pi}} e^{-v_i^2/ | + | $$f(v_i) = \frac{1}{\alpha\sqrt{\pi}} e^{-v_i^2/ |
를 얻는다. | 를 얻는다. | ||
- | ======맥스웰 속력 분포====== | + | ======구면좌표계에서의 표현====== |
- | 위의 $\phi(v_x, v_y, | + | 위의 $g(v_x, v_y, |
[[수학: | [[수학: | ||
- | $$\phi(v_x, | + | $$g(v_x, |
계에 방향성이 없는 경우, 먼저 $\phi$에 대해 $0$부터 $2\pi$까지 적분하자. 그러면 속력과 방향이 $(v,v+dv)$, $(\theta, \theta+d\theta)$에 있을 확률은 | 계에 방향성이 없는 경우, 먼저 $\phi$에 대해 $0$부터 $2\pi$까지 적분하자. 그러면 속력과 방향이 $(v,v+dv)$, $(\theta, \theta+d\theta)$에 있을 확률은 | ||
- | $$2\pi v^2 \phi(v)dv \times \sin \theta ~d\theta = 4\pi v^2 \phi(v)dv \times \frac{1}{2} \sin \theta ~d\theta = f_s(v) dv \times \frac{d\Omega}{4\pi},$$ | + | $$2\pi v^2 g(\vec{v})dv \times \sin \theta ~d\theta = 4\pi v^2 g(\vec{v})dv \times \frac{1}{2} \sin \theta ~d\theta = f_s(v) dv \times \frac{1}{2} \sin \theta d\theta$$ |
- | 이다. 이 때에 $f_s(v) = 4\pi v^2 \phi(v)$는 속력 | + | 이다. 이 때에 $f_s(v) |
+ | 여기 곱해진 | ||
+ | 입체각 | ||
======압력====== | ======압력====== | ||
+ | |||
+ | 부피 $V$인 상자 안에 질량 $m$인 이상기체 분자 $N$개가 있고, 이들이 온도 $T$에서 평형을 이루어 맥스웰 분포를 따르고 있다고 하자. | ||
+ | 시간 $\Delta t$ 동안 넓이가 $A$인 면에 전달되는 운동량을 계산하려고 한다. | ||
+ | |||
+ | -어떤 기체분자가 면의 방향, 즉 면에서 수직하게 뻗어나오는 방향에 대해 $\theta$의 각도를 가지고 속력 $v$로 날아온다고 생각한다. 면 쪽으로 다가오려면 $\theta$는 $0$과 $\pi/2$ 사이에 있어야 하고, 실제 면에 가까워지는 속력은 $v \cos \theta$일 것이다. | ||
+ | -$\Delta t$ 동안에 면에 닿으려면 이 입자는 애초 $v \cos \theta \Delta t$보다 가까운 거리에 위치했어야 한다. 따라서 우리가 고려하는 입자들은 $v \cos\theta \Delta t A$의 부피 안에 있는 것들뿐이다. 전체 부피 $V$ 안에 있는 입자의 갯수가 $N$이므로, | ||
+ | -그 중 속력이 $(v,v+dv)$ 사이에 있고 방향이 $(\theta, \theta+d\theta)$ 사이에 있는 입자의 수는, 위에서 논의한 바에 따라 $N' f_s(v) dv \frac{1}{2} \sin \theta d\theta$가 된다. | ||
+ | -면에 부딪힌 후 튕겨 나가면서 전달하는 운동량은 $\Delta p = 2mv \cos \theta$이다. | ||
+ | |||
+ | 따라서 전달된 운동량의 총량은 평균적으로 | ||
+ | $$\Delta p_{\rm tot} = \int_0^{\pi/ | ||
+ | 이고 압력은 | ||
+ | \begin{eqnarray*} | ||
+ | P &=& \frac{\Delta p_{\rm tot}}{\Delta t} \frac{1}{A}\\ | ||
+ | &=& \int_0^{\pi/ | ||
+ | &=& \frac{N}{V} m \int_0^{\pi/ | ||
+ | &=& \frac{N}{V} m \frac{1}{3} \left< v^2 \right> | ||
+ | \end{eqnarray*} | ||
+ | 이다. 계산해보면 $\left< v^2 \right> = \frac{3}{2\alpha}$이므로 $P=\frac{N}{V} m \frac{1}{2\alpha}$을 얻는다. | ||
+ | 이를 이상기체의 상태방정식 $PV=Nk_B T$와 비교하면 $\alpha = \frac{m}{2k_B T}$임을 결정할 수 있다. 이 때 $k_B$는 볼츠만 상수, $T$는 온도를 의미한다. | ||
======참고문헌====== | ======참고문헌====== | ||
-에밀리오 세그레 지음, 노봉환 옮김, // | -에밀리오 세그레 지음, 노봉환 옮김, // | ||
+ | -R. Swendsen, //An Introduction to Statistical Mechanics and Thermodynamics// | ||