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--- 물리:무작위장_이징_모형 [2018/05/15 17:39] – [온곳으로 연결된 경우] admin
+++ 물리:무작위장_이징_모형 [2021/05/25 14:06] – [참고문헌] admin
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 ======온곳으로 연결된 경우======
-모든 스핀이 모든 스핀과 연결되어 평균장 이론이 정확해지는 경우이다. 이 때의 해밀토니안은 아래와 같다:
+=====해밀토니안=====
+모든 스핀이 모든 스핀과 연결되어 [[:물리:평균장 이론]]이 정확해지는 경우이다. 이 때의 해밀토니안은 아래와 같다:
 $$H = -\frac{J}{N} \sum_{ij} s_i s_j - \sum s_i h_i.$$
 $1/N$은 해밀토니안을 크기 변수로 만들기 위해 넣었고, $h_i$가 스핀 $i$마다 다르게 주어져있음에 주의할 것.
+분배 함수는 다음과 같다:
-분배 함수는 여전히 다음과 같다:
+$$Z = \sum_{\left\{ s_i = \pm 1 \right\}} e^{-\beta H}.$$
-$$Z = \sum_{\left\{ s_i = \pm 1 \right\}} e^{\beta H}.$$
 이로부터 얻어지는 헬름홀츠 자유 에너지는
 $$\left< F \right>_h = -T \left< \ln Z \right>_h$$
 이며 이 때 $\left< \right>_h$는 $h$의 분포에 따른 평균을 의미한다.
-$\left< ln Z \right>_h$를 구하기 위해 소위 [[수학:복제(replica) 방법]]을 사용한다:
+=====복제 방법=====
+$\left< \ln Z \right>_h$를 구하기 위해 소위 [[수학:복제 방법]]을 사용한다:
 $$\ln Z = \lim_{n \to 0} \frac{Z^n-1}{n}.$$
 $Z^n$의 평균은 다음처럼 구해지며
 $$\left< Z^n \right>_h = \sum_{\left\{s_i^\alpha = \pm 1\right\}} \exp\left(\frac{\beta J}{N} \sum_\alpha \sum_{ij} s_i^\alpha s_j^\alpha \right) \left< \exp \left(\beta \sum_i \sum_\alpha s_i^\alpha h_i \right) \right>_h$$
-여기에서 $\alpha$는 몇 번째 복제본인지 가리키기 위한 인덱스이다.
+여기에서 $\alpha$는 몇 번째 복제본인지 가리키기 위한 인덱스로 $1$부터 $n$까지의 정수이다.
 먼저 다음의 결과를 유도해놓자:
 \begin{eqnarray*}
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 $$\left< Z^n \right>_h = \sum_{\left\{ s_i^\alpha = \pm 1 \right\}} \exp\left(\frac{\beta J}{N} \sum_\alpha \sum_{ij} s_i^\alpha s_j^\alpha \right) \exp \left[ \frac{1}{2} \beta^2 \sigma^2 \sum_i \left( \sum_\alpha s_i^\alpha \right)^2 \right]$$
 이다.
+여기에서 $$\sum_\alpha \sum_{ij} s_i^\alpha s_j^\alpha = \sum_\alpha \left( \sum_i s_i^\alpha \right)^2$$이기 때문에, [[:수학:허바드-스트라토노비치 변환]]을 사용하면 위의 지수함수 중 하나를 다음처럼 고쳐쓸 수 있다:
-여기에서 $$\sum_\alpha \sum_{ij} s_i^\alpha s_j^\alpha = \sum_\alpha \left( \sum_i s_i^\alpha \right)^2$$이어서
-[[:수학:허바드-스트라토노비치 변환]]을 사용하면 위의 지수함수 중 하나를 다음처럼 고쳐쓸 수 있다:
 $$\exp \left[ \frac{\beta J}{N} \sum_\alpha \left( \sum_i s_i^\alpha \right)^2 \right] = \frac{1}{(2\pi)^{n/2}} \int \prod_\alpha dx_\alpha \exp \left[ \sum_\alpha \left( x_\alpha \sqrt{\frac{2\beta J}{N}} \sum_i s_i^\alpha - \frac{1}{2} x_\alpha^2 \right) \right].$$
+따라서
+\begin{eqnarray*}
+\left< Z^n \right>_h &=& \sum_{\left\{ s_i^\alpha = \pm 1 \right\}} \frac{1}{(2\pi)^{n/2}} \int \prod_\alpha dx_\alpha \exp \left[ \sum_\alpha \left( x_\alpha \sqrt{\frac{2\beta J}{N}} \sum_i s_i^\alpha - \frac{1}{2} x_\alpha^2 \right) + \frac{1}{2} \beta^2 \sigma^2 \sum_i \left( \sum_\alpha s_i^\alpha \right)^2 \right]\\
+&=& \sum_{\left\{ s_i^\alpha = \pm 1 \right\}} \left( \frac{N}{2\pi} \right)^{n/2} \int \prod_\alpha d\tilde{x}_\alpha \exp \left[ \sum_\alpha \left( \tilde{x}_\alpha \sqrt{2\beta J} \sum_i s_i^\alpha - \frac{1}{2}N \tilde{x}_\alpha^2 \right) + \frac{1}{2} \beta^2 \sigma^2 \sum_i \left( \sum_\alpha s_i^\alpha \right)^2 \right]\\
+&=& \sum_{\left\{ s_i^\alpha = \pm 1 \right\}} \left( \frac{N}{2\pi} \right)^{n/2} \int \prod_\alpha d\tilde{x}_\alpha \exp \left( - \frac{1}{2}N \tilde{x}_\alpha^2 \right) \exp \left\{ \sum_i \left[ \sqrt{2\beta J} \sum_\alpha \tilde{x}_\alpha s_i^\alpha + \frac{1}{2} \beta^2 \sigma^2 \left( \sum_\alpha s_i^\alpha \right)^2 \right] \right\}\\
+\end{eqnarray*}
+이며 이 때 $\tilde{x}_\alpha \equiv x_\alpha / \sqrt{N}$으로 정의된다.
+스핀 배치에 대한 합, $\sum_{\left\{ s_i^\alpha = \pm 1 \right\}}$에 걸리는 부분만을 먼저 생각해보자:
+$$\sum_{\left\{ s_i^\alpha = \pm 1 \right\}} \exp \left\{ \sum_{i=1}^N \left[ \sqrt{2\beta J} \sum_\alpha \tilde{x}_\alpha s_i^\alpha + \frac{1}{2} \beta^2 \sigma^2 \left( \sum_\alpha s_i^\alpha \right)^2 \right] \right\} =
+\left\{ \sum_{\left\{ s^\alpha = \pm 1 \right\}} \exp \left[ \sqrt{2\beta J} \sum_\alpha \tilde{x}_\alpha s^\alpha + \frac{1}{2} \beta^2 \sigma^2 \left( \sum_\alpha s^\alpha \right)^2 \right] \right\}^N.$$
+위 식의 우변은 $Z_1^N$의 형태로 쓸 수 있으며 이 때
+$$Z_1(\tilde{x}_\alpha) \equiv \sum_{\left\{ s^\alpha = \pm 1 \right\}} \exp \left[ \sqrt{2\beta J} \sum_\alpha \tilde{x}_\alpha s^\alpha + \frac{1}{2} \beta^2 \sigma^2 \left( \sum_\alpha s^\alpha \right)^2 \right]$$
+로서 스핀 하나에 대한 분배 함수이다. 지수 함수 안의 내용을 $A(\{s^\alpha\}, \tilde{x}_\alpha)$로 정의하여
+$Z_1(\tilde{x}_\alpha) = \sum_{\left\{ s^\alpha = \pm 1 \right\}} \exp \left[ A(\{s^\alpha\}, \tilde{x}_\alpha) \right]$라고 적자.
+지금까지의 내용을 정리하면 다음과 같다:
+\begin{eqnarray*}
+\left< Z^n \right>_h &=& \left( \frac{N}{2\pi} \right)^{n/2} \int \prod_\alpha d\tilde{x}_\alpha \exp \left( - \frac{1}{2}N \tilde{x}_\alpha^2 \right) Z_1^N(\tilde{x}_\alpha)\\
+&=& \left( \frac{N}{2\pi} \right)^{n/2} \int \prod_\alpha d\tilde{x}_\alpha \exp \left[ N \left(- \frac{1}{2} \tilde{x}_\alpha^2 + \ln Z_1 \right) \right].
+\end{eqnarray*}
+=====안장점 근사=====
+적분 계산을 위해 [[:수학:안장점 근사]]를 사용하면,
+\begin{eqnarray*}
+&=& \frac{\partial}{\partial \tilde{x}_\alpha} \left[ - \frac{1}{2}\tilde{x}_\alpha^2 + \ln Z_1(\tilde{x}_\alpha) \right]\\
+&=& -\tilde{x}_\alpha + \frac{1}{Z_1} \frac{\partial Z_1}{\partial \tilde{x}_\alpha}\\
+&=& -\tilde{x}_\alpha + \frac{\sqrt{2\beta J} \sum_{\left\{ s^\alpha = \pm 1 \right\}} s^\alpha \exp[A(\{s^\alpha\}, \tilde{x}_\alpha)]}{\sum_{\left\{ s^\alpha = \pm 1 \right\}} \exp[A(\{s^\alpha\}, \tilde{x}_\alpha)]}.
+\end{eqnarray*}
+따라서
+$$\frac{\tilde{x}_\alpha}{\sqrt{2\beta J}} = \left< s^\alpha \right>_A$$
+인데 이것을 $m_\alpha$라고 부르자. 복제 대칭성이 있는 경우라면 $\alpha$에 상관없이 $m_\alpha = m$일 것이다. 우리는 이 대칭성이 존재하는 경우만을 다룬다. 이제
+$$\left< Z^n \right>_h = \exp\left[ Nn \left( -\frac{1}{2} 2 \beta J m^2 \right) + N \ln Z_1 (\tilde{x}_\alpha = \sqrt{2\beta J} m) - \frac{1}{2} n \ln c \right]$$
+이며, 여기에서
+$$ c \equiv \frac{\partial^2}{\partial \tilde{x}_\alpha^2} \left[ \frac{1}{2}\tilde{x}_\alpha^2 - \ln Z_1(\tilde{x}_\alpha) \right]_{\tilde{x}_\alpha = \sqrt{2\beta J}m} =
+- \left< ( s^\alpha - m )^2 \right>_A$$
+인데 $N \to \infty$에서 두 번째 항은 0으로 접근하므로 $\ln c$는 무시해도 좋다.
+=====$Z_1$의 계산=====
+$\tilde{x}_\alpha = \sqrt{2\beta J} m$에서의 $Z_1$을 계산해보자. 먼저 아래처럼 적은 다음
+$$e^{A(\{s^\alpha \},m)} = \exp \left[ 2\beta J m \sum_\alpha s^\alpha + \frac{1}{2}\beta^2 \sigma^2 \left( \sum_\alpha s^\alpha \right)^2 \right]$$
+지수함수 안의 제곱항을 [[:수학:허바드-스트라토노비치 변환]]으로 처리해준다:
+$$\exp \left[ \frac{1}{2} \beta^2 \sigma^2 \left( \sum_\alpha s^\alpha \right)^2 \right] = \sqrt{\frac{1}{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty du \exp \left[ -\frac{u^2}{2} + \beta \sigma \left( \sum_\alpha s^\alpha \right) u \right] .$$
+따라서
+$$e^{A\{s^\alpha \},m)} = \sqrt{\frac{1}{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty du \exp \left[ -\frac{u^2}{2} + (2\beta J m + \beta \sigma u) \left( \sum_\alpha s^\alpha \right) \right],$$
+\begin{eqnarray*}
+Z_1 \left( \tilde{x}_\alpha = \sqrt{2\beta J}m \right) &=& \sum_{\left\{ s^\alpha = \pm 1 \right\}} e^{A(\{s^\alpha\},m)}\\
+&=& \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2} \prod_{\alpha=1}^n \left[\sum_{s^\alpha = \pm 1} e^{(2\beta J m + \beta \sigma u) s^\alpha} \right]\\
+&=& \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2} \left[ 2 \cosh (2\beta J m + \beta \sigma u) \right]^n\\
+&=& \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2} \exp \left\{ n \ln \left[ 2 \cosh (2\beta J m + \beta \sigma u) \right] \right\}\\
+&\approx& \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2} \left\{ 1 + n \ln \left[ 2 \cosh (2\beta J m + \beta \sigma u) \right] \right\}\\
+&=& 1 + n \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2} \ln \left[ 2 \cosh (2\beta J m + \beta \sigma u) \right]
+\end{eqnarray*}
+이다. $n$이 작은 경우를 다루고 있으므로 $\ln (1+\epsilon) \approx \epsilon$임을 이용하면
+$$\lim_{n \to 0} \ln Z_1 = n \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2} \ln \left[ 2 \cosh (2\beta J m + \beta \sigma u) \right].$$
+=====자유 에너지의 계산=====
+지금까지 $n \ll 1$에서 다음을 구하였다:
+\begin{eqnarray}
+\left< Z^n \right>_h &\approx& \exp\left\{ Nn \left( -\beta J m^2 \right) + N n \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2} \ln \left[ 2 \cosh (2\beta J m + \beta \sigma u) \right] \right\}\\
+&\approx& 1 + Nn \left( -\beta J m^2 \right) + N n \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2} \ln \left[ 2 \cosh (2\beta J m + \beta \sigma u) \right].
+\end{eqnarray}
+그러므로
+\begin{eqnarray}
+\left< F \right>_h &=& -T \left( \lim_{n \to 0} \frac{\left< Z^n \right>_h - 1}{n} \right)\\
+&=& -N J m^2 - T N \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2} \ln \left[ 2 \cosh (2\beta J m + \beta \sigma u) \right]
+\end{eqnarray}
+이다.
+=====질서 변수=====
+이 자유 에너지를 최소로 만드는 질서변수 $m$을 찾으면
+$$0 = \frac{\partial \left< F \right>_h}{\partial m} = 2NJm - TN \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2}  \frac{2\sinh(2\beta J m + \beta \sigma u)}{2\cosh(2\beta J m + \beta \sigma u)} 2\beta J$$
+으로부터
+\begin{eqnarray}
+m &=& \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2}  \tanh(2\beta J m + \beta \sigma u)\\
+&=& \int \frac{dh}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} e^{-\frac{h^2}{2 \sigma^2}}  \tanh[\beta(2 J m + \sigma u)]\\
+&=& \int dh P(h)  \tanh[\beta(2 J m + \sigma u)]
+\end{eqnarray}
+을 얻는다. 중간에 $h = \sigma u$로 변수를 치환했다.
+이 방정식을 자체모순 없이 만족시키는 $m$을 구하면 된다.
+======함께 보기======
+[[물리::셰링턴-커크패트릭 모형]]
+======참고문헌======
+  * https://inordinatum.wordpress.com/2013/01/20/mean-field-solution-of-the-random-field-ising-model/
+  * T. Schneider and E. Pytte, //Random-field instability of the ferromagnetic state//, Phys. Rev. B 15, 1519 (1977)