Oseen tensors

'비압축성'을 갖는 흐름(incompressible flow, $\nabla \cdot \mathbf{u}=0$)에 대한 나비에-스토크스 방정식(Navier-Stokes equation)은 다음과 같다.

$$ \rho \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \rho \mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u} = - \nabla p + \mu \nabla ^2 \mathbf{u} + f_{ext} $$

$p$는 압력이다. $\rho \mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u}$의 항은 관성 항(inertial term)이며, $\mu \nabla ^2 \mathbf{u}$는 점성 항(viscous term)으로서

특성 속도의 크기가 $U_0$이며 그 속도에 대한 특성 길이의 크기를 $L$이라고 할 때, 각 항들은 다음과 같이 근사가 될 수 있다.

$$ \rho \mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u} \approx \rho \frac{U_0 ^2}{L}, \ \ \mu \nabla ^2 \mathbf{u} \approx \frac{\mu U_0}{L^2} $$

$$ \\ $$ 이때, 레이놀즈 수 (Reynolds number)는 다음과 같이 '점도 항에 대한 관성 항의 비'로 정의 된다.

$$ Re = \frac{\rho U_0^2 / L}{\mu U_0 / L^2} = \frac{\rho U_0 L}{\mu}$$

$$ \\ $$

레이놀즈 수가 큰 값일 경우에는 점도가 낮은 경우이고, 작은 값인 경우에는 점도가 높은 경우이다.

즉, $Re \ll 1 $으로서 '스토크스 흐름(Stokes flow)'을 가정한다면, $\rho \mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u}$의 항은 근사적으로 무시할 수 있다.

또한, 그 경우에 유속의 변화율인 $\rho \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} \approx \rho \frac{U_0 ^2}{L}$의 항도 무시할 수 있으므로

나비에-스토크스 방정식은 다음과 같이 표현된다.

$$ -\nabla p(\mathbf{r}) + \mu \nabla ^2 \mathbf{u(r)} = -\mathbf{F}\delta(\mathbf(r)), \\ \nabla \cdot \mathbf{u} = 0. $$

여기서 $\mathbf{F}$는 점성이 있는 액체(viscous liquid)에 담겨져 있는 하나의 점 입자에 작용되는 힘이다.

$$\\$$

$\mathbf{u(r)}$에서 $\mathbf{r}$이 무한하면 $0$의 값으로 사라져야 한다면 ($\lim_{r \to \infty} |\mathbf{u(r)}| = 0$), 해 $\mathbf{u(r)}$은 유일하게 결정되어야 한다.

$$\\$$

위에서 $f_{ext}=\mathbf{F}\delta(\mathbf{r})$라고 설정한 것에 따라, 해의 형태를 다음과 같이 가정하자.

$$ p(\mathbf{r}) = \frac{\mathbf{F} \cdot \mathbf{P(r)}}{8\pi \mu}, \ \ \mathbf{u(r)} = \frac{\mathbb{G}(\mathbf{r}) \cdot \mathbf{F}}{8\pi \mu} $$

이때 $\mathbf{P(r)}$은 어떤 벡터장이며, $\mathbb{G}(\mathbf{r})$은 힘 $\mathbf{F}$(point force)에 적용되는 텐서이다.

$$\\$$ 아인슈타인의 합 규약에 따라, 위의 식을 벡터 성분 표현으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$ p(\mathbf{r}) = \frac{P_j F_j}{8\pi \mu}, \ \ u_i(\mathbf{r}) = \frac{\mathbb{G}_{ij} F_j}{8\pi \mu} $$

그리고, 앞서 살펴본 나비에-스토크스 방정식을 푸리에 변환을 이용하여 보다 간단하게 고칠 수 있다.

$$\\$$ 우선, 푸리에 변환의 쌍(Fourier transform pair)은 다음과 같다.

$$ \mathcal{F}\{f \} = \hat{f} (\mathbf{k}) = \int_{\mathbb{R}^3} d\mathbf{r} f(\mathbf{r}) e^{-i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}}, \\ \mathcal{F}^{-1}\{\hat{f} \} = f(\mathbf{r}) = \frac{1}{(2 \pi)^3} \int_{\mathbb{R}^3} d\mathbf{k} \hat{f}(\mathbf{k}) e^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}} $$ 위의 변환 식에 따라서, 도함수의 푸리에 변환에 대한 간단한 결과를 다음과 같이 얻을 수 있다.

$$ \frac{d}{d\mathbf{r}} f(\mathbf{r}) = i\mathbf{k} \frac{1}{(2 \pi)^3} \int_{\mathbb{R}^3} d\mathbf{k} \hat{f}(\mathbf{k}) e^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}} = i\mathbf{k} \mathcal{F}^{-1}\{\hat{f} \} \\ \to \mathcal{F}\{\frac{d}{d\mathbf{r}} f(\mathbf{r}) \} = i \mathbf{k} \mathcal{F}\{f\} $$

$$\\$$ 따라서, 나비에-스토크스 방정식인 $ -\nabla p(\mathbf{r}) + \mu \nabla ^2 \mathbf{u(r)} = -\mathbf{F}\delta(\mathbf{r}) $을 다음과 같이 고칠 수 있다.

$$ -i \mathbf{k} \hat{p} - \mu k^2 \hat{u} = -\mathbf{F}. $$

위의 식에, 가정했던 $p(\mathbf{r})$과 $u(\mathbf{r})$의 해의 형태를 대입하고 성분 형태로 고치면 다음과 같다.

$$ -ik_i \frac{\hat{P}_j}{8\pi \mu} F_j - k^2 \frac{\hat{\mathbb{G}_{ij}}}{8\pi} F_j = -F_i = -F_j \delta_{ij}. $$

마지막 항에서 크로네커-델타(Kronecker delta)를 사용했으므로 $F_j$를 제거할 수 있다.

$$ -ik_i \frac{\hat{P}_j}{8\pi \mu} - k^2 \frac{\hat{\mathbb{G}_{ij}}}{8\pi} = -\delta_{ij}. $$

여기에, 비압축성(incompressibility) 조건인 $\nabla \cdot \mathbf{u} = 0$을 다음과 같이 푸리에 공간에 대해서 적용할 수 있다.

$$ k_i \mathbb{G}_{ij}=0. $$

(위의 식은 $\mathbf{u(r)} = \frac{\mathbb{G}(\mathbf{r}) \cdot \mathbf{F}}{8\pi \mu}$의 식을 참고하고 발산(divergence)의 공식을 참고하면 확인할 수 있다.)

$$ \\ $$ 따라서, 양변에 $k_i$를 곱해주고 합 규약을 적용하면 다음과 같은 식을 얻는다.

$$ -ik^2 \frac{\hat{P}_j}{8\pi \mu} = -k_i\delta_{ij} = -k_j \\ \to \frac{\hat{P}_j}{8\pi \mu} = -\frac{ik_j}{k^2}. $$

이를 앞서 얻은 $-ik_i \frac{\hat{P}_j}{8\pi \mu} - k^2 \frac{\hat{\mathbb{G}_{ij}}}{8\pi} = -\delta_{ij}$ 의 식에 대입하여 다음과 같이 $\hat{\mathbb{G}}_{ij}$의 식을 얻는다.

$$ -\frac{k_ik_j}{k^2} - k^2 \frac{\hat{\mathbb{G}}_{ij}}{8\pi} =-\delta_{ij}\\ \to \frac{\hat{\mathbb{G}}_{ij}}{8\pi}=\frac{\delta_{ij}}{k^2} -\frac{k_ik_j}{k^4} $$

$$ \\ $$ 이때, 위의 결과에 대해서 다음을 'Oseen tensor'라고 부른다.

$$ \hat{\mathbf{O}}(\mathbf{k})=\frac{\hat{\mathbb{G}}}{8\mu\pi}=\frac{1}{\mu k^2}\left(\mathbf{I}-\frac{\mathbf{k}\mathbf{k}}{k^2}\right) $$

편의상 $\mathbf{k}$를 $\mathbf{q}$로 표기하면, 다음과 같이 쓰인다.

$$ \hat{\mathbf{O}}(\mathbf{q}) =\frac{1}{\mu q^2}\left(\mathbf{I}-\frac{\mathbf{q}\mathbf{q}}{q^2}\right) $$

앞서 얻은 $\hat{P_j}$식을 푸리에 역변환 해주면 원 좌표에 대한 $P_j$의 식도 얻을 수 있다.

$$ \frac{P_j}{8\pi \mu} = \frac{-i}{(2 \pi)^3} \int_{\mathbb{R}^3} d\boldsymbol{k} \frac{k_j}{k^2} e^{i \boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{r}} $$

위의 벡터 성분 표기의 의미는, 다음의 푸리에 역변환을 계산한 뒤 $$ \mathcal{F}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{k^2} \Bigr\} = \frac{1}{(2 \pi)^3} \int_{\mathbb{R}^3} d\boldsymbol{k} \frac{1}{k^2} e^{i\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{r}} $$

그의 \mathbf{r}에 대한 기울기(gradient)를 계산하는 것과 같다. $$ \\ $$

이때, (좌표축을 적절히 선택하면) $\lim_{\lambda \to 0}\mathcal{F}^{-1}\{e^{-\lambda r}k^{-2} \} = \mathcal{F}^{-1}\{k^{-2}\}=\frac{1}{4\pi r}$인 것을 다음과 같이 확인할 수 있다.

\begin{align} \mathcal{F}{\Bigl\{ e^{-\lambda r}\frac{1}{4\pi r} \Bigr\} } &= \int_0 ^{2\pi} \int_0 ^{\pi} \int_0 ^{\infty} \left(e^{-\lambda r}\frac{1}{4\pi r} e^{-ikr\cos\theta} \right)r^2 \sin\theta \ dr d\theta d\phi \\ &= \frac{1}{2} \int_0 ^{\pi} \int_0 ^{\infty} \left(e^{-\lambda r} e^{-ikr\cos\theta} \right)r \sin\theta \ dr d\theta \\ &= \frac{1}{2} \int_{-1} ^{1} \int_0 ^{\infty} r\left( e^{-\lambda r}e^{-ikru} \right) \ dr du \\ &= \frac{1}{2} \int_0 ^{\infty}r e^{-\lambda r}\left[\frac{e^{ikr}-e^{-ikr}}{ikr} \right] \ dr \\ &=\frac{1}{2ik}\int_0 ^{\infty} \left[e^{(-\lambda+ik)r } -e^{(-\lambda -ik)r}\right] \\ &=\frac{1}{2ik} \left[\frac{e^{(-\lambda+ik)r}}{-\lambda +ik}-\frac{e^{(-\lambda-ik)r}}{-\lambda -ik}\right]_0^\infty\\ &=\frac{1}{2ik} \left[0-\left( \frac{1}{-\lambda +ik}+\frac{1}{\lambda+ik}\right) \right] \end{align}

$$\\$$ \begin{align} \lim_{\lambda \to 0}\mathcal{F}{\Bigl\{ e^{-\lambda r}\frac{1}{4\pi r} \Bigr\} } &=\lim_{\lambda \to 0}\frac{1}{2ik} \left[0-\left( \frac{1}{-\lambda +ik}+\frac{1}{\lambda+ik}\right) \right]\\ &= \frac{1}{2ik} \left[ \frac{-2}{ik} \right]\\ &=\frac{1}{k^2} =\ \mathcal{F}\Bigl\{\frac{1}{4\pi r}\Bigr\} \end{align}

따라서, $P_j$를 다음과 같이 구할 수 있다. $$ \frac{P_j}{8\pi \mu} = -\nabla \mathcal{F}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{k^2}\Bigr\}=-\nabla \left(\frac{1}{4\pi r}\right) \\ \to P_j = -2\mu \nabla\left(\frac{1}{r}\right) $$