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--- 물리:소성_사건_plastic_event_의_전파_인자_propagator [2023/04/18 13:38] – minwoo
+++ 물리:소성_사건_plastic_event_의_전파_인자_propagator [2023/09/07 06:57] (current) – minwoo
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 ====== Oseen tensors ======
-==== 레이놀즈 수 (Reynolds number) ====
-'비압축성'을 갖는 흐름(incompressible flow, $\nabla \cdot \boldsymbol{u}=0$)에 대한 나비에-스토크스 방정식(Navier-Stokes equation)은 다음과 같다.
+===== 레이놀즈 수 (Reynolds number) =====
+'비압축성'을 갖는 흐름(incompressible flow, $\nabla \cdot \mathbf{u}=0$)에 대한 나비에-스토크스 방정식(Navier-Stokes equation)은 다음과 같다.
 $$
-\rho \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial t} + \rho \boldsymbol{u} \cdot \nabla \boldsymbol{u} = - \nabla p + \mu \nabla ^2 \boldsymbol{u} + f_{ext}
+\rho \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \rho \mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u} = - \nabla p + \mu \nabla ^2 \mathbf{u} + f_{ext}
 $$
-$p$는 압력이다. $\rho \boldsymbol{u} \cdot \nabla \boldsymbol{u}$의 항은 관성 항(inertial term)이며, $\mu \nabla ^2 \boldsymbol{u}$는 점성 항(viscous term)으로서
+$p$는 압력이다. $\rho \mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u}$의 항은 관성 항(inertial term)이며, $\mu \nabla ^2 \mathbf{u}$는 점성 항(viscous term)으로서
 특성 속도의 크기가 $U_0$이며 그 속도에 대한 특성 길이의 크기를 $L$이라고 할 때, 각 항들은 다음과 같이 근사가 될 수 있다.
 $$
-\rho \boldsymbol{u} \cdot \nabla \boldsymbol{u} \approx \rho \frac{U_0 ^2}{L}, \ \  \mu \nabla ^2 \boldsymbol{u} \approx \frac{\mu U_0}{L^2}
+\rho \mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u} \approx \rho \frac{U_0 ^2}{L}, \ \  \mu \nabla ^2 \mathbf{u} \approx \frac{\mu U_0}{L^2}
 $$
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 레이놀즈 수가 큰 값일 경우에는 점도가 낮은 경우이고, 작은 값인 경우에는 점도가 높은 경우이다.
-즉, $Re \ll 1 $으로서 점도가 높은 경우인 층류(laminar flow)로 흐름을 가정한다면, $\rho \boldsymbol{u} \cdot \nabla \boldsymbol{u}$의 항은 근사적으로 무시할 수 있다.
+즉, $Re \ll 1 $으로서 '스토크스 흐름(Stokes flow)'을 가정한다면, $\rho \mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u}$의 항은 근사적으로 무시할 수 있다.
-또한, 그 경우에 유속의 변화율인 $\rho \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial t} \approx \rho \frac{U_0 ^2}{L}$의 항도 무시할 수 있으므로
+또한, 그 경우에 유속의 변화율인 $\rho \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} \approx \rho \frac{U_0 ^2}{L}$의 항도 무시할 수 있으므로
 나비에-스토크스 방정식은 다음과 같이 표현된다.
 $$
--\nabla p(\boldsymbol{r}) + \mu \nabla ^2 \boldsymbol{u(r)} = -\boldsymbol{F}\delta(\boldsymbol(r)), \\
+-\nabla p(\mathbf{r}) + \mu \nabla ^2 \mathbf{u(r)} = -\mathbf{F}\delta(\mathbf(r)), \\
-\nabla \cdot \boldsymbol{u} = 0.
+\nabla \cdot \mathbf{u} = 0.
 $$
-여기서 $\boldsymbol{F}$는 점성이 있는 액체(viscous liquid)에 담겨져 있는 하나의 점 입자에 작용되는 힘이다.
+여기서 $\mathbf{F}$는 점성이 있는 액체(viscous liquid)에 담겨져 있는 하나의 점 입자에 작용되는 힘이다.
 $$\\$$
-$\boldsymbol{u(r)}$에서 $\boldsymbol{r}$이 무한하면 $0$의 값으로 사라져야 한다면 ($\lim_{r \to \infty} |\boldsymbol{u(r)}| = 0$), 해 $\boldsymbol{u(r)}$은 유일하게 결정되어야 한다.
+$\mathbf{u(r)}$에서 $\mathbf{r}$이 무한하면 $0$의 값으로 사라져야 한다면 ($\lim_{r \to \infty} |\mathbf{u(r)}| = 0$), 해 $\mathbf{u(r)}$은 유일하게 결정되어야 한다.
 $$\\$$
-==== $p(\boldsymbol{r}), \ \boldsymbol{u(r)}$ ====
+===== $p(\mathbf{r}), \ \mathbf{u(r)}$ =====
-위에서 $f_{ext}=\boldsymbol{F}\delta(\boldsymbol(r))$라고 설정한 것에 따라, 해의 형태를 다음과 같이 가정하자.
+위에서 $f_{ext}=\mathbf{F}\delta(\mathbf{r})$라고 설정한 것에 따라, 해의 형태를 다음과 같이 가정하자.
-$$ p(\boldsymbol{r}) = \frac{\boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{P(r)}}{8\pi \mu}, \ \ \boldsymbol{u(r)} = \frac{\mathbb{G}(\boldsymbol{r}) \cdot \boldsymbol{F}}{8\pi \mu} $$
+$$ p(\mathbf{r}) = \frac{\mathbf{F} \cdot \mathbf{P(r)}}{8\pi \mu}, \ \ \mathbf{u(r)} = \frac{\mathbb{G}(\mathbf{r}) \cdot \mathbf{F}}{8\pi \mu} $$
-이때 $\boldsymbol{P(r)}$은 어떤 벡터장이며, $\mathbb{G}(\boldsymbol{r})$은 힘 $\boldsymbol{F}$(point force)에 적용되는 텐서이다.
+이때 $\mathbf{P(r)}$은 어떤 벡터장이며, $\mathbb{G}(\mathbf{r})$은 힘 $\mathbf{F}$(point force)에 적용되는 텐서이다.
 $$\\$$
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 $$
-p(\boldsymbol{r}) = \frac{P_j F_j}{8\pi \mu}, \ \ u_i(\boldsymbol{r}) = \frac{\mathbb{G}_{ij} F_j}{8\pi \mu}
+p(\mathbf{r}) = \frac{P_j F_j}{8\pi \mu}, \ \ u_i(\mathbf{r}) = \frac{\mathbb{G}_{ij} F_j}{8\pi \mu}
 $$
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 $$
-\mathcal{F}\{f \} = \hat{f} (\boldsymbol{k}) = \int_{\mathbb{R}^3} d\boldsymbol{r} f(\boldsymbol{r}) e^{-i\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{r}}, \\
+\mathcal{F}\{f \} = \hat{f} (\mathbf{k}) = \int_{\mathbb{R}^3} d\mathbf{r} f(\mathbf{r}) e^{-i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}}, \\
-\mathcal{F}^{-1}\{\hat{f} \} = f(\boldsymbol{r}) = \frac{1}{(2 \pi)^3} \int_{\mathbb{R}^3} d\boldsymbol{k} \hat{f}(\boldsymbol{k}) e^{i\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{r}}
+\mathcal{F}^{-1}\{\hat{f} \} = f(\mathbf{r}) = \frac{1}{(2 \pi)^3} \int_{\mathbb{R}^3} d\mathbf{k} \hat{f}(\mathbf{k}) e^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}}
 $$
 위의 변환 식에 따라서, 도함수의 푸리에 변환에 대한 간단한 결과를 다음과 같이 얻을 수 있다.
 $$
-\frac{d}{d\boldsymbol{r}} f(\boldsymbol{r}) = i\boldsymbol{k} \frac{1}{(2 \pi)^3} \int_{\mathbb{R}^3} d\boldsymbol{k} \hat{f}(\boldsymbol{k}) e^{i\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{r}} = i\boldsymbol{k} \mathcal{F}^{-1}\{\hat{f} \} \\
+\frac{d}{d\mathbf{r}} f(\mathbf{r}) = i\mathbf{k} \frac{1}{(2 \pi)^3} \int_{\mathbb{R}^3} d\mathbf{k} \hat{f}(\mathbf{k}) e^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}} = i\mathbf{k} \mathcal{F}^{-1}\{\hat{f} \} \\
-\to \mathcal{F}\{\frac{d}{d\boldsymbol{r}} f(\boldsymbol{r}) \} = i \boldsymbol{k} \mathcal{F}\{f\}
+\to \mathcal{F}\{\frac{d}{d\mathbf{r}} f(\mathbf{r}) \} = i \mathbf{k} \mathcal{F}\{f\}
 $$
 $$\\$$
-따라서, 나비에-스토크스 방정식인 $ -\nabla p(\boldsymbol{r}) + \mu \nabla ^2 \boldsymbol{u(r)} = -\boldsymbol{F}\delta(\boldsymbol(r)) $을 다음과 같이 고칠 수 있다.
+따라서, 나비에-스토크스 방정식인 $ -\nabla p(\mathbf{r}) + \mu \nabla ^2 \mathbf{u(r)} = -\mathbf{F}\delta(\mathbf{r}) $을 다음과 같이 고칠 수 있다.
 $$
--i \boldsymbol{k} \hat{p} - \mu k^2 \hat{u} = -\boldsymbol{F}.
+-i \mathbf{k} \hat{p} - \mu k^2 \hat{u} = -\mathbf{F}.
 $$
-위의 식에, 가정했던 $p(\boldsymbol{r})$과 $u_i(\boldsymbol{r})$의 해의 형태를 대입하고 성분 형태로 고치면 다음과 같다.
+위의 식에, 가정했던 $p(\mathbf{r})$과 $u(\mathbf{r})$의 해의 형태를 대입하고 성분 형태로 고치면 다음과 같다.
 $$
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 $$
--ik_i \frac{\hat{P}_j}{8\pi \mu} - k^2 \frac{\hat{\mathbb{G}_{ij}}}{8\pi} = \delta_{ij}.
+-ik_i \frac{\hat{P}_j}{8\pi \mu} - k^2 \frac{\hat{\mathbb{G}_{ij}}}{8\pi} = -\delta_{ij}.
+$$
+여기에, 비압축성(incompressibility) 조건인 $\nabla \cdot \mathbf{u} = 0$을 다음과 같이 푸리에 공간에 대해서 적용할 수 있다.
+$$ k_i \mathbb{G}_{ij}=0. $$
+(위의 식은 $\mathbf{u(r)} = \frac{\mathbb{G}(\mathbf{r}) \cdot \mathbf{F}}{8\pi \mu}$의 식을 참고하고 발산(divergence)의 공식을 참고하면 확인할 수 있다.)
+$$ \\ $$
+따라서, 양변에 $k_i$를 곱해주고 합 규약을 적용하면 다음과 같은 식을 얻는다.
+$$
+-ik^2 \frac{\hat{P}_j}{8\pi \mu} = -k_i\delta_{ij} = -k_j \\
+\to \frac{\hat{P}_j}{8\pi \mu} = -\frac{ik_j}{k^2}.
+$$
+이를 앞서 얻은 $-ik_i \frac{\hat{P}_j}{8\pi \mu} - k^2 \frac{\hat{\mathbb{G}_{ij}}}{8\pi} = -\delta_{ij}$ 의 식에 대입하여 다음과 같이 $\hat{\mathbb{G}}_{ij}$의 식을 얻는다.
+$$
+-\frac{k_ik_j}{k^2} - k^2 \frac{\hat{\mathbb{G}}_{ij}}{8\pi} =-\delta_{ij}\\
+\to \frac{\hat{\mathbb{G}}_{ij}}{8\pi}=\frac{\delta_{ij}}{k^2}
+-\frac{k_ik_j}{k^4}
+$$
+$$ \\ $$
+이때, 위의 결과에 대해서 다음을 'Oseen tensor'라고 부른다.
+$$
+\hat{\mathbf{O}}(\mathbf{k})=\frac{\hat{\mathbb{G}}}{8\mu\pi}=\frac{1}{\mu k^2}\left(\mathbf{I}-\frac{\mathbf{k}\mathbf{k}}{k^2}\right)
+$$
+편의상 $\mathbf{k}$를 $\mathbf{q}$로 표기하면, 다음과 같이 쓰인다.
+$$
+\hat{\mathbf{O}}(\mathbf{q}) =\frac{1}{\mu q^2}\left(\mathbf{I}-\frac{\mathbf{q}\mathbf{q}}{q^2}\right)
+$$
+==== $P(\boldsymbol{r})$ ====
+앞서 얻은 $\hat{P_j}$식을 푸리에 역변환 해주면 원 좌표에 대한 $P_j$의 식도 얻을 수 있다.
+$$
+\frac{P_j}{8\pi \mu} = \frac{-i}{(2 \pi)^3} \int_{\mathbb{R}^3} d\boldsymbol{k} \frac{k_j}{k^2} e^{i \boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{r}}
+$$
+위의 벡터 성분 표기의 의미는, 다음의 푸리에 역변환을 계산한 뒤
+$$
+\mathcal{F}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{k^2} \Bigr\} = \frac{1}{(2 \pi)^3} \int_{\mathbb{R}^3} d\boldsymbol{k} \frac{1}{k^2} e^{i\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{r}}
+$$
+그의 \mathbf{r}에 대한 기울기(gradient)를 계산하는 것과 같다.
+$$ \\ $$
+이때, (좌표축을 적절히 선택하면) $\lim_{\lambda \to 0}\mathcal{F}^{-1}\{e^{-\lambda r}k^{-2} \} = \mathcal{F}^{-1}\{k^{-2}\}=\frac{1}{4\pi r}$인 것을 다음과 같이 확인할 수 있다.
+\begin{align}
+\mathcal{F}{\Bigl\{ e^{-\lambda r}\frac{1}{4\pi r} \Bigr\} } &=  \int_0 ^{2\pi}  \int_0 ^{\pi} \int_0 ^{\infty} \left(e^{-\lambda r}\frac{1}{4\pi r}  e^{-ikr\cos\theta}  \right)r^2 \sin\theta \ dr  d\theta d\phi \\
+&= \frac{1}{2} \int_0 ^{\pi} \int_0 ^{\infty} \left(e^{-\lambda r} e^{-ikr\cos\theta} \right)r \sin\theta \ dr  d\theta \\
+&= \frac{1}{2} \int_{-1} ^{1} \int_0 ^{\infty} r\left( e^{-\lambda r}e^{-ikru} \right) \ dr  du \\
+&= \frac{1}{2} \int_0 ^{\infty}r e^{-\lambda r}\left[\frac{e^{ikr}-e^{-ikr}}{ikr} \right] \ dr \\
+&=\frac{1}{2ik}\int_0 ^{\infty} \left[e^{(-\lambda+ik)r } -e^{(-\lambda -ik)r}\right] \\
+&=\frac{1}{2ik} \left[\frac{e^{(-\lambda+ik)r}}{-\lambda +ik}-\frac{e^{(-\lambda-ik)r}}{-\lambda -ik}\right]_0^\infty\\
+&=\frac{1}{2ik} \left[0-\left( \frac{1}{-\lambda +ik}+\frac{1}{\lambda+ik}\right) \right]
+\end{align}
+$$\\$$
+\begin{align}
+\lim_{\lambda \to 0}\mathcal{F}{\Bigl\{ e^{-\lambda r}\frac{1}{4\pi r} \Bigr\} }
+&=\lim_{\lambda \to 0}\frac{1}{2ik} \left[0-\left( \frac{1}{-\lambda +ik}+\frac{1}{\lambda+ik}\right) \right]\\
+&= \frac{1}{2ik} \left[  \frac{-2}{ik} \right]\\
+&=\frac{1}{k^2} =\  \mathcal{F}\Bigl\{\frac{1}{4\pi r}\Bigr\}
+\end{align}
+따라서, $P_j$를 다음과 같이 구할 수 있다.
+$$
+\frac{P_j}{8\pi \mu} = -\nabla \mathcal{F}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{k^2}\Bigr\}=-\nabla \left(\frac{1}{4\pi r}\right)
+\\
+\to P_j = -2\mu \nabla\left(\frac{1}{r}\right)
 $$