물리:엔트로피

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물리:엔트로피 [2017/03/29 21:51] – [엄밀한 열역학적 엔트로피] admin물리:엔트로피 [2017/03/29 22:58] – [예제] admin
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 ======열역학에서 엔트로피의 소개====== ======열역학에서 엔트로피의 소개======
-[[물리:온도]] $T_1$인 [[물리:열 저수조]]와 $T_2$인 또 다른 [[물리:열 저수조]]가 있다고 하자. 온도는 모두 절대온도 단위이며 $T_1 > T_2$라 하자. 앞의 [[물리:열 저수조]]에서 [[물리:열]] $Q_1$을 얻고 뒤의 [[물리:열 저수조]]에서 $|Q_2|$를 내어놓는 [[물리:카르노 기관]]을 생각하자. 이 때 $Q_1$을 양수로, $Q_2$를 음수로 놓는데, 왜냐하면 [[물리:카르노 기관]]이라는 계의 관점에서 에너지의 출입을 기술하기 위해서이다. [[물리:카르노 기관]]의 정의상, $Q_1$과 $Q_2$는 [[물리:가역성|가역적]]으로 주고 받은 [[물리:열]]이다.+[[물리:온도]] $T_1$인 [[물리:열 저수조]]와 $T_2$인 또 다른 [[물리:열 저수조]]가 있다고 하자. 온도는 모두 절대온도 단위이며 $T_1 > T_2$라 하자. 앞의 [[물리:열 저수조]]에서 [[물리:열]] $Q_1$을 얻고 뒤의 [[물리:열 저수조]]에서 $|Q_2|$를 내어놓는 [[물리:카르노 기관]]을 생각하자. 이 때 $Q_1$을 양수로, $Q_2$를 음수로 놓는데, 왜냐하면 [[물리:카르노 기관]]이라는 계의 관점에서 에너지의 출입을 기술하기 위해서이다. [[물리:카르노 기관]]의 정의상, $Q_1$과 $Q_2$는 [[물리:비가역성|가역적]]으로 주고 받은 [[물리:열]]이다.
  
 [[물리:카르노 기관]]의 한 순환 주기를 따라 계산해보면 [[물리:카르노 기관]]의 한 순환 주기를 따라 계산해보면
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 따라서 임의의 가역적인 순환 과정 $C$를 [[물리:카르노 기관|카르노 순환]]들의 합으로 분해하면 따라서 임의의 가역적인 순환 과정 $C$를 [[물리:카르노 기관|카르노 순환]]들의 합으로 분해하면
 $$\oint_C \frac{\delta Q_{\rm rev}}{T} = 0$$ $$\oint_C \frac{\delta Q_{\rm rev}}{T} = 0$$
-이 된다. rev는 [[물리:가역성|가역]]적으로 주고 받은 열임을 강조하기 위한 표시이다.+이 된다. rev는 [[물리:비가역성|가역]]적으로 주고 받은 열임을 강조하기 위한 표시이다.
  
 상태 공간 상에서 임의의 닫힌 궤도 $C$에 대해 위의 등식이 만족한다는 것은 어떤 [[물리:상태 함수]] $S$가 존재한다는 뜻이다. 상태 공간 상에서 임의의 닫힌 궤도 $C$에 대해 위의 등식이 만족한다는 것은 어떤 [[물리:상태 함수]] $S$가 존재한다는 뜻이다.
-상태 공간 상의 두 점 $A$와 $B$에서의 차이 $\Delta S$는, 둘을 잇는 임의의 [[물리:가역성|가역]] 과정을 찾아낸 후에+상태 공간 상의 두 점 $A$와 $B$에서의 차이 $\Delta S$는, 둘을 잇는 임의의 [[물리:비가역성|가역]] 과정을 찾아낸 후에
 [[수학:선적분]]을 통해 다음처럼 결정할 수 있다: [[수학:선적분]]을 통해 다음처럼 결정할 수 있다:
 $$\Delta S = S_B - S_A = \int_A^B \frac{\delta Q_{\rm rev}}{T}.$$ $$\Delta S = S_B - S_A = \int_A^B \frac{\delta Q_{\rm rev}}{T}.$$
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 =====고립계의 엔트로피 증가===== =====고립계의 엔트로피 증가=====
-상태 $A$에서 $B$로 가는 과정 $t_1$이 [[물리:가역성|비가역적]]이라고 해보자. +상태 $A$에서 $B$로 가는 과정 $t_1$이 [[물리:비가역성|비가역적]]이라고 해보자. 
-거꾸로 $B$에서 $A$로 돌아오는 [[물리:가역성|가역]] 과정 $t_2$가 존재한다고 가정하면, 클라우지우스 부등식에 의해+거꾸로 $B$에서 $A$로 돌아오는 [[물리:비가역성|가역]] 과정 $t_2$가 존재한다고 가정하면, 클라우지우스 부등식에 의해
 $$\int_{A,t_1}^B \frac{\delta Q}{T} + \int_{B,t_2}^A \frac{\delta Q_{\rm rev}}{T} \le 0$$ $$\int_{A,t_1}^B \frac{\delta Q}{T} + \int_{B,t_2}^A \frac{\delta Q_{\rm rev}}{T} \le 0$$
 이다. 좌변의 두 번째 항은 다름 아닌 $S(A) - S(B)$이다. 따라서 이다. 좌변의 두 번째 항은 다름 아닌 $S(A) - S(B)$이다. 따라서
 $$S(B) - S(A) \ge \int_{A,t_1}^B \frac{\delta Q}{T}$$ $$S(B) - S(A) \ge \int_{A,t_1}^B \frac{\delta Q}{T}$$
 이다. 만일 계가 열적으로 고립되어 있다면 $\delta Q = 0$이고 따라서 우변 전체가 $0$이 되면서 $S(B) \ge S(A)$를 얻는다. 이다. 만일 계가 열적으로 고립되어 있다면 $\delta Q = 0$이고 따라서 우변 전체가 $0$이 되면서 $S(B) \ge S(A)$를 얻는다.
-정리하면, 고립계가 [[물리:가역성|비가역적]]인 변화를 겪으면 엔트로피는 증가한다는 것이다. [[물리:가역성|가역적]]인 변화에서는 엔트로피가 유지된다.+정리하면, 고립계가 [[물리:비가역성|비가역적]]인 변화를 겪으면 엔트로피는 증가한다는 것이다. [[물리:비가역성|가역적]]인 변화에서는 엔트로피가 유지된다.
 즉 어떤 경우든 열역학에서 다루는 고립계의 엔트로피가 감소하지는 않는다. 즉 어떤 경우든 열역학에서 다루는 고립계의 엔트로피가 감소하지는 않는다.
  
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 =====예제===== =====예제=====
 +
 +두 물체 $A$와 $B$가 있다. 두 물체는 각기 온도와 무관하게 열용량 $C_A$와 $C_B$를 가지며 초기 온도는 $T_A$와 $T_B$이다. 두 물체 사이에서 [[물리:비가역성|가역적]]인 [[물리:열기관]]을 작동시켜 둘의 [[물리:온도]]를 같게 만들어가보자. [[물리:평형]]에 이르기까지의 모든 순간에 전체 계의 엔트로피 변화는 0이므로
 +$$ dS = \frac{\delta Q_A}{T_A} + \frac{\delta Q_B}{T_B} = C_A \frac{dT_A}{T_A} + C_B \frac{dT_B}{T_B}=0$$
 +이고, 따라서 두 물체의 최종 온도를 $T_f$라고 한다면
 +$$\int_{T_A}^{T_f} C_A \frac{dT_A}{T_A} + \int_{T_B}^{T_f} C_B \frac{dT_B}{T_B} = C_A \ln \frac{T_f}{T_A} + C_B \ln \frac{T_f}{T_B} = 0$$
 +이다. 이를 정리하면
 +$$T_f = T_A^{\frac{C_A}{C_A+C_B}} T_B^{\frac{C_B}{C_A+C_B}}$$
 +를 얻는다. 물체 하나만의 엔트로피 변화를 본다면
 +$$\Delta S_A = C_A \ln \frac{T_f}{T_A} = \frac{C_A C_B}{C_A + C_B} \ln \frac{T_B}{T_A} = -\Delta S_B$$
 +가 된다.
 +
 +완전히 [[물리:비가역성|비가역적]]으로 열을 교환했다면
 +$$T_f^{\rm irr} = \frac{C_A T_A + C_B T_B}{C_A + C_B}$$
 +를 얻었을 것이다. $T_A \neq T_B$인 한, 일반적으로 $T_f < T_f^{\rm irr}$이 성립한다.
 +
 +이런 [[물리:비가역성|비가역적]] 열교환에서 계의 엔트로피 변화를 다음처럼 생각해보자.
 +먼저 열용량이 $C_a$인 또다른 물체 $a$을 가져오는데, 그 초기 온도를 잘 잡음으로써
 +$A$와의 사이에서 [[물리:비가역성|가역적]]으로 열을 교환한 결과인 최종 온도 $T_f^{Aa}$가 위의 $T_f^{\rm irr}$가 같아지도록 한다. 이 과정에서 $A$의 엔트로피 변화는 물론
 +$$\Delta S_A = C_A \ln \frac{T_f^{Aa}}{T_A} = C_A \ln \frac{T_f^{\rm irr}}{T_A}$$
 +이다.
 +마찬가지로 물체 $B$도 열용량이 $C_b$인 물체 $b$와 [[물리:비가역성|가역적]]으로 열을 주고받음으로써 위의 $T_f^{\rm irr}$에 도달하게 하면 그 과정에서
 +$$\Delta S_B = C_B \ln \frac{T_f^{Bb}}{T_B} = C_B \ln \frac{T_f^{\rm irr}}{T_B}$$
 +만큼의 엔트로피 변화를 겪게 된다. 따라서 $A$와 $B$의 총 엔트로피 변화는
 +$$\Delta S_A + \Delta S_B = C_A \ln \frac{T_f^{\rm irr}}{T_A} + C_B \ln \frac{T_f^{\rm irr}}{T_B} = (C_A+C_B) \ln \frac{T_f^{\rm irr}}{T_f}$$
 +인데 $T_f < T_f^{\rm irr}$이기 때문에 이 양은 일반적으로 양수이다.
 +
 +물체에 (비가역적으로) 전달된 열 $\delta Q^{\rm irr}$를 온도로 나눔으로써 바로 엔트로피 변화를 구할 수 있다고 가정하면
 +$$\int \frac{\delta Q^{\rm irr}_A}{T_A} + \int \frac{\delta Q^{\rm irr}_B}{T_B} = C_A \int_{T_A}^{T_f^{\rm irr}} \frac{dT_A}{T_A} + C_B \int_{T_B}^{T_f^{\rm irr}} \frac{dT_A}{T_B}$$
 +와 같은 계산을 하게 되는데, 결과적으로는 동일하다.
 +
  
  
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   * Frank L. Lambert, [[http://dx.doi.org/10.1021/ed079p187|Disorder—A Cracked Crutch for Supporting Entropy Discussions]], J. Chem. Educ., 79, 187--192 (2002).   * Frank L. Lambert, [[http://dx.doi.org/10.1021/ed079p187|Disorder—A Cracked Crutch for Supporting Entropy Discussions]], J. Chem. Educ., 79, 187--192 (2002).
   * Sharon Glotzer, [[https://www.youtube.com/watch?v=chS8dpGB0E0|Transforming Nanoscience]], TEDxUofM (2012).   * Sharon Glotzer, [[https://www.youtube.com/watch?v=chS8dpGB0E0|Transforming Nanoscience]], TEDxUofM (2012).
 +  * Greiner, Neise, and Stöcker, //Thermodynamics and Statistical Mechanics// (Springer, New York, 1995), p. 55.
  
  
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