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--- 물리:위그너_함수 [2021/02/17 22:05] – [바일 변환] minjae
+++ 물리:위그너_함수 [2021/02/18 12:00] – [밀도 행렬과의 관계] minjae
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 어떤 연산자의 바일 변환(Weyl transform)은 아래와 같이 정의된다.
 \begin{equation}
-\~`{A}(x,p) = \int dye^{-ipy/\hbar}\langle x+\frac{y}{2}|\hat{A}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y}{2}\rangle
+\tilde{A}(x,p) = \int dye^{-ipy/\hbar}\langle x+\frac{y}{2}|\hat{A}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y}{2}\rangle
 \end{equation}
-두 연산자 $\hat{A}$, $\hat{B}$의 바일 변환은 아래와 같다.
+따라서 두 연산자 $\hat{A}$, $\hat{B}$의 바일 변환은 아래와 같다.
 \begin{align*}
-\tildea{A}(x,p) &= \int dye^{-ipy/\hbar}\langle x+\frac{y}{2}|\hat{A}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y}{2}\rangle, \\
+\tilde{A}(x,p) &= \int dye^{-ipy/\hbar}\langle x+\frac{y}{2}|\hat{A}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y}{2}\rangle, \\
-\~{B}(x,p) &= \int dy^{\prime}e^{-ipy^\prime/\hbar}\langle x+\frac{y^\prime}{2}|\hat{B}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y^\prime}{2}\rangle
+\tilde{B}(x,p) &= \int dy^{\prime}e^{-ipy^\prime/\hbar}\langle x+\frac{y^\prime}{2}|\hat{B}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y^\prime}{2}\rangle
 \end{align*}
 변환된 두 연산자를 곱하고 위치 $x$와 운동량 $p$의 모든 공간에 적분을 계산하면
 \begin{align*}
-\int\int dxdp\tildea{A}(x,p)\tildea{B}(x,p) &= \int\int\int\int dxdpdydy^{\prime}e^{-ip(y+y^{\prime})/\hbar}\langle x+\frac{y}{2}|\tildea{A}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y}{2}\rangle\langle x+\frac{y^{\prime}}{2}|\tildea{B}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y^{\prime}}{2}\rangle \\
+\int\int dxdp\tilde{A}(x,p)\tilde{B}(x,p) &= \int\int\int\int dxdpdydy^{\prime}e^{-ip(y+y^{\prime})/\hbar}\langle x+\frac{y}{2}|\hat{A}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y}{2}\rangle\langle x+\frac{y^{\prime}}{2}|\hat{B}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y^{\prime}}{2}\rangle \\
-&\int\int\int dxdydy^{\prime}\langle x+\frac{y}{2}|\tildea{A}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y^\prime}{2}\rangle\langle x+\frac{y^{\prime}}{2}|\tildea{B}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y^{\prime}}{2}\rangle \times 2\pi\hbar\delta(y+y^{\prime})
+&=\int\int\int dxdydy^{\prime}\langle x+\frac{y}{2}|\hat{A}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y^\prime}{2}\rangle\langle x+\frac{y^{\prime}}{2}|\hat{B}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y^{\prime}}{2}\rangle \times 2\pi\hbar\delta(y+y^{\prime}) \\
+&= 2\pi\hbar\int\int dxdy\langle x+\frac{y}{2}|\hat{A}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y}{2}\rangle\langle x-\frac{y}{2}|\hat{B}(\hat{x},\hat{p})|x+\frac{y}{2}\rangle
 \end{align*}
+이 된다. 첫 번쨰 줄에서 두 번째 줄로 넘어가는 과정에서 $\int\text{exp}[-ip(y+y)/\hbar]=2\pi\hbar\delta(y+y^\prime)$ 계산이 사용되었다. 이제 $u=x-\frac{y}{2}$, $v=x+\frac{y}{2}$으로 치환하여 계산하면 $\hat{A}\hat{B}$의 대각합과 관련됨을 알 수 있다.
+\begin{align*}
+\int\int dxdp\tilde{A}(x,p)\tilde{B}(x,p) = 2\pi\hbar\int\int dudv\langle v|\hat{A}|u\rangle\langle u|\hat{B}|v\rangle = h\text{Tr}[\hat{A}\hat{B}].
+\end{align*}
+======밀도 행렬과의 관계======
+밀도 행렬 $\hat\rho$와 연산자 $\hat{A}$를 곱하여 대각합을 취하면 $\hat{A}$의 평균을 구할 수 있다.
+\begin{align*}
+\text{Tr}[\hat\rho\hat{A}] &= \text{Tr}[|\psi\rangle\langle\psi|\hat{A}]\\
+&=\sum_n\langle n|\psi\rangle\langle\psi|\hat{A}|n\rangle \\
+&=\sum_n \langle\psi|\hat{A}|n\rangle\langle n|\psi\rangle \\
+&=\langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle \\
+&=\langle A\rangle
+\end{align*}
+이 관계식을 위에서 보인 두 연산자 곱의 대각합 관계식과 연결지으면
+\begin{align*}
+\langle A\rangle = \text{Tr}[\hat\rho\hat{A}] = \frac{1}{2\pi\hbar}\int\int dxdp\tilde\rho\tilde{A}
+\end{align*}
+임을 알 수 있다. 따라서 위그너 함수
+\begin{align*}
+W(x,p) = \frac{\tilde\rho}{2\pi\hbar}\int dye^{-ipy/\hbar}\psi\left(x+\frac{y}{2}\right)\psi^\ast\left(x-\frac{y}{2}\right)
+\end{align*}
+를 정의하면 위상 공간에서 위치 $x$, 운동량 $p$를 가지는 확률 밀도 함수가 $W(x,p)$임을 알 수 있다. 주의할 점은 위그너 함수는 확률 밀도함수에 준한다는 것이다(quasi-probability distribution function). 위그너 함수의 값은 음수가 될 수 있다.
+그러므로 위상 공간에서 $x$와 $p$의 평균값을 아래와 같이 계산할 수 있다.
+\begin{align*}
+\langle x\rangle &= \int\int dxdpW(x,p)x,\\
+\langle p\rangle &= \int\int dxdpW(x,p)p
+\end{align*}
+======참고문헌======
+  -Jon Brogaard, //Wigner function formalism in Quantum mechanics // (Niels Bohr Institute, University of Copenhagen, 2015).