물리:입실론_전개

내용

가우스 고정점 근방에서 재규격화의 결과를 1차항까지 구해서 차원 $d<4$에서는 이 고정점이 불안정해짐을 알 수 있다. 말하자면 차원을 연속변수로 상상해서 $d=4-\epsilon$로 적었을 때에 1차 근사로 $du'/ds = \epsilon u'$라는 것이다 ($0 < \epsilon \ll 1$). 만일 2차항까지 얻을 수 있으면 $$\frac{du'}{ds} = \epsilon u' - g u'^2 $$ 이 되고, 이 식을 풀어서 가우스 고정점 $u=0$ 외에도 새로운 고정점 $u^\ast = \epsilon/g$를 얻을 수 있다. 2차항의 계수 $g$가 $O(1)$의 양수여서 이 새로운 고정점이 가우스 고정점으로부터 $O(\epsilon)$ 만큼 떨어져있다고 가정할 것이고, 이 가정은 사후적으로 정당화할 것이다. 또 긴즈버그-란다우 모형의 맺음 변수 $u$와 $r_0$ 모두 $O(\epsilon)$ 정도로 작다는 가정 하에 앞으로의 계산을 진행한다.

섭동 전개

해밀토니안 $H$가 쉽게 풀 수 있는 $H_0$와 섭동항 $H_1$으로 나뉘어서 $H = H_0 + H_1$처럼 쓸 수 있다고 하자. 스핀 모형의 해밀토니안에 대해 재규격화란 다음처럼 정리된다: $$e^{-H'-AL^d} = \left[ \int \delta\phi e^{-H} \right]_{\sigma_k \to s^{1-\eta/2} \sigma_{sk}}.$$ 양변에 로그를 취하면 \begin{eqnarray*} H'+AL^d &=& -\ln \left[ \int \delta\phi e^{-H} \right]_{\sigma_k \to s^{1-\eta/2} \sigma_{sk}}\\ &=& -\ln \left[ \int \delta\phi e^{-H_0} \left( 1-H_1+\frac{1}{2}H_1^2 -\ldots \right) \right]_{\sigma_k \to s^{1-\eta/2} \sigma_{sk}}\\ &=& -\ln \left( \int \delta\phi e^{-H_0} - \int \delta\phi H_1 e^{-H_0} +\frac{1}{2} \int \delta\phi H_1^2 e^{-H_0} -\ldots \right)_{\sigma_k \to s^{1-\eta/2} \sigma_{sk}}\\ &=& -\ln \left[ \left( \int \delta\phi e^{-H_0} \right) \left( 1 - \frac{\int \delta\phi H_1 e^{-H_0}}{\int \delta\phi e^{-H_0}} +\frac{1}{2} \frac{\int \delta\phi H_1^2 e^{-H_0}}{\int \delta\phi e^{-H_0}} -\ldots \right) \right]_{\sigma_k \to s^{1-\eta/2} \sigma_{sk}}\\ &=& \left[ -\ln \int \delta\phi e^{-H_0} - \ln \left( 1 - \left< H_1 \right> + \frac{1}{2} \left< H_1^2 \right> \right) -\ldots \right]_{\sigma_k \to s^{1-\eta/2} \sigma_{sk}}\\ &=& \left[ -\ln \int \delta\phi e^{-H_0} + \left< H_1 \right> - \frac{1}{2} \left( \left< H_1^2 \right> - \left< H_1 \right>^2 \right) - \ldots \right]_{\sigma_k \to s^{1-\eta/2} \sigma_{sk}}\\ &=& H_0' + A_0' L^d + \left[ \left< H_1 \right> - \frac{1}{2} \left( \left< H_1^2 \right> - \left< H_1 \right>^2 \right) - \ldots \right]_{\sigma_k \to s^{1-\eta/2} \sigma_{sk}} \end{eqnarray*} 이것은 큐뮬런트 전개의 한 예이다.

긴즈버그-란다우 모형

다음처럼 해밀토니안을 두 부분으로 나누고 $$H_0 = \frac{1}{2} \int d^d x \left[ r_0 \sigma^2 + c (\nabla \sigma)^2 \right]$$ $$H_1 = \frac{1}{2} \int d^d x \frac{u}{4} \sigma^4$$ 섭동 계산을 수행하자.

섭동 전개의 첫 번째 항이 $$\left< H_1 \right> = \frac{1}{8} \int d^d x \left< \sigma^4 \right>$$ 이므로 $\left< \sigma^4 \right>$을 계산한다. 가우스 고정점의 계산에서처럼 스핀 변수 $\sigma$를 낮은 파수의 $\sigma'$과 높은 파수의 $\phi$로 나누어 $\sigma = \sigma' + \phi$로 적는다. 벡터로서의 성질에 유의해서 그 네제곱을 적어보면 \begin{eqnarray*} \sigma^4 &=& \left[ (\sigma'+\phi) \cdot (\sigma'+\phi) \right]^2 = (\sigma'^2 + 2\sigma' \cdot \phi + \phi^2 )^2\\ &=& \sigma'^4 + 4(\sigma' \cdot \phi)^2 + \phi^4 + 2\sigma'^2 \phi^2 + 4\sigma' \cdot \phi (\sigma'^2 + \phi^2) \end{eqnarray*} 이다. 평균을 취하면 $\phi$의 홀수차항은 가우스 적분의 성질에 의해 사라지고 다음을 얻는다. \begin{eqnarray*} \left< \sigma^4 \right> &=& \sigma'^4 + 4 \frac{1}{n} \left< \phi^2 \right> \sigma'^2 + \left< \phi^4 \right> + 2\sigma'^2 \left< \phi^2 \right>\\ &=& \sigma'^4 + 2\sigma'^2 \left( 1 + \frac{2}{n} \right) \left< \phi^2 \right> + \left< \phi^4 \right> \end{eqnarray*} 참고로 가우스 고정점의 계산에서 이미 $\left< (\phi \cdot \sigma')^2 \right> = \frac{1}{n} \left< \phi^2 \right> \sigma'^2$을 보인 바 있다. 이제 구해야 할 것은 $\left< \phi^2 \right>$와 $\left< \phi^4 \right>$이다.

$H_0$에 대해서 $\left< \phi^2 \right>$을 계산하면 다음과 같다: \begin{eqnarray*} \left< \phi^2 \right> &=& nK_d \int_{\Lambda/s}^{\Lambda} dq~q^{d-1} (r_0 + cq^2)^{-1}\\ &=& nK_d \int_{\Lambda/s}^{\Lambda} dq~q^{d-1} (cq^2)^{-1} \left(1+\frac{r_0}{cq^2} \right)^{-1}\\ &\approx& nK_d \int_{\Lambda/s}^{\Lambda} dq~q^{d-1} (cq^2)^{-1} \left(1-\frac{r_0}{cq^2} \right)\\ &=& nK_d \int_{\Lambda/s}^{\Lambda} dq \frac{1}{c} q^{d-3} - nK_d \int_{\Lambda/s}^{\Lambda} dq \frac{r_0}{c^2} q^{d-5}\\ &=& n_c (1-s^{2-d}) - nK_d \int_{\Lambda/s}^{\Lambda} dq \frac{r_0}{c^2} q^{d-5}. \end{eqnarray*} 이 때 $n_c \equiv \frac{n}{c} K_d \Lambda^{d-2} / (d-2)$이고 $K_d \equiv 2^{-d+1} \pi^{-d/2} / \Gamma(d/2)$이다. 마지막 줄로 넘어올 때의 계산은 가우스 고정점을 참고하라.

$d=4-\epsilon$에서 $\epsilon$에 대해 전개해보면 다음을 알 수 있다. $$s^{-2+\epsilon} = s^{-2} e^{\epsilon \ln s} \approx s^{-2} (1+\epsilon \ln s)$$ $$K_{4-\epsilon} \approx K_4 - \epsilon \frac{\gamma-1-\ln 4\pi}{16 \pi^2}$$ 이 때 $\gamma$는 오일러-마스케로니 상수를 의미한다. 따라서 $n_c^{(d=4-\epsilon)}$를 차근차근 전개해보면 어떤 상수 $b$를 통해 $n_c^{(d=4-\epsilon)} \approx n_c^{(d=4)} + b\epsilon$의 형태로 쓸 수 있다. 그러면 $O(\epsilon)$까지 적었을 때 $$\left< \phi^2 \right> \approx \left( n_c^{(d=4)} + b\epsilon \right) (1-s^{-2}-\epsilon s^{-2} \ln s) - nK_4 \int_{\Lambda/s}^{\Lambda} dq \frac{r_0}{c^2} q^{-1}$$ 인데, 특히 $r_0$ 자체가 $O(\epsilon)$으로 가정되어 있음에 유의하라. 마지막의 적분은 쉽게 수행할 수 있어서 그 결과 다음 식을 얻는다: \begin{eqnarray*} \left< \phi^2 \right> &\approx& \left( n_c^{(d=4)} + b\epsilon \right) (1-s^{-2}-\epsilon s^{-2} \ln s) - nK_4 \frac{r_0}{c^2} \ln s\\ &=& n_c^{(d=4)} (1-s^{-2}) - nK_4 \frac{r_0}{c^2} \ln s + C\epsilon. \end{eqnarray*} 이 때 $C \equiv b-n_c^{(d=4)}s^{-2}\ln s$로서, 우리가 추적해야 하는 $r_0$나 $u$에 무관한 상수이다.

가우스 고정점의 계산에서 이미 다음을 확인한 바 있다: $$\left< \phi^4 \right> = (n^2 + 2n) \left[ \frac{1}{n} \left< \phi^2 \right> \right]^2.$$

\begin{eqnarray*} \left< H_1 \right> &=& \frac{u}{8} \int d^d x \left< \sigma^4 \right>\\ &=& \frac{u}{8} \int d^d x \left[ \sigma'^4 + 2\sigma'^2 \left(1 + \frac{2}{n} \right) \left< \phi^2 \right> + \left< \phi^4 \right> \right]\\ &\approx& \frac{u}{8} \int d^d x \left\{ \sigma'^4 + 2\sigma'^2 \left( 1+\frac{2}{n} \right) \left[ n_c^{(d=4)} (1-s^{-2}) -nK_4 c^{-2} r_0 \ln s + C\epsilon \right] + \left< \phi^4 \right> \right\}\\ &=& \frac{1}{2} \int d^d x \left( r_0^{(1)} \sigma'^2 + \frac{u}{4} \sigma'^4 \right) \end{eqnarray*} 재규격화에 의해 $r_0$에 더해지는 기여분은 따라서 $$r_0^{(1)} = 2u\left( 1+\frac{2}{n} \right) \left[ n_c^{(d=4)} (1-s^{-2}) -nK_4 c^{-2} r_0 \ln s + C\epsilon \right]$$ 이다. $u$는 $O(\epsilon)$에서 변하는 것이 없고, 가우스 고정점의 계산에서 나오듯이 $u' = s^{4-d} u = s^{\epsilon} u$이다.

$(\nabla \sigma')^2$에 비례하는 항이 등장하지 않음을 유의하라. 즉 $c$는 $O(\epsilon)$에서 변하지 않고 이는 $c'=cs^{-\eta}$로부터 보았을 때에 기껏해야 $\eta = 0+O(\epsilon^2)$임을 함축한다.

\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2} \left< \left( H_1 - \left<H_1\right> \right)^2 \right> &=& -\frac{u^2}{128} \int d^d x ~d^d y \left< \left( \sigma_x^4 - \left< \sigma \right>^4 \right) \left( \sigma_y^4 - \left< \sigma \right>^4 \right) \right>\\ &=& -\frac{u^2}{128} \int d^dx~d^dy \left< \left\{ (\phi_x^4 - \left< \phi^4 \right>) + 4 \left[(\sigma_x' \cdot \phi_x)^2 - \left< (\sigma_x' \cdot \phi_x)^2 \right> \right] + 2{\sigma_x'}^2 (\phi_x^2-\left<\phi^2\right>) + 4\sigma_x' \cdot \phi_x ({\sigma_x'}^2+\phi_x^2) \right\} \right.\\ && \times \left. \left\{ (\phi_y^4 - \left< \phi^4 \right>) + 4 \left[(\sigma_y' \cdot \phi_y)^2 - \left< (\sigma_y' \cdot \phi_y)^2 \right> \right] + 2{\sigma_y'}^2 (\phi_y^2-\left<\phi^2\right>) + 4\sigma_y' \cdot \phi_y ({\sigma_y'}^2+\phi_y^2) \right\} \right> \end{eqnarray*} 적분식 안의 곱을 전개하여 16개의 적분식으로 나누어 쓸 것이다.

$$-\frac{u^2}{128} \int d^dx~d^dy \left< (\phi_x^4 - \left< \phi^4 \right>) (\phi_y^4 - \left< \phi^4 \right>) \right>$$ 여기에는 $\sigma'$이 들어가있지 않으므로 재규격화의 결과로 맺음 변수들($\sigma'^2$과 $\sigma'^4$ 등의 계수)이 어떻게 변할지 추적하는 일과는 큰 상관이 없다.

$$-\frac{u^2}{128} \int d^dx~d^dy \left< (\phi_x^4 - \left< \phi^4 \right>) \times 4 \left[ (\sigma_y' \cdot \phi_y)^2 - \left< (\sigma_y' \cdot \phi_y)^2 \right> \right] \right>$$

이 적분의 값을 구하기 위해 내부의 표현식을 살펴보자. \begin{eqnarray*} \left< (\phi_x^4 - \left< \phi^4 \right>) \left[ (\sigma_y' \cdot \phi_y)^2 - \left< (\sigma_y' \cdot \phi_y)^2 \right> \right] \right> &=& \left< \phi_x^4 (\sigma'_y \cdot \phi_y)^2 - \left< \phi^4 \right> (\sigma'_y \cdot \phi_y)^2 - \phi_x^4 \left< (\sigma'_y \cdot \phi_y)^2 \right> + \left< \phi^4 \right> \left< (\sigma'_y \cdot \phi_y)^2 \right>\right>\\ &=& \left< \phi_x^4 (\sigma'_y \cdot \phi_y)^2 \right> - \left< \phi^4 \right> \left< (\sigma'_y \cdot \phi_y)^2 \right>\\ &=& \left< (\phi_x \cdot \phi_x)^2 (\sigma'_y \cdot \phi_y)^2 \right> - \left< \phi^4 \right> \left< (\sigma'_y \cdot \phi_y)^2 \right> \end{eqnarray*} 이 중 두 번째 항은 가우스 고정점 계산에서 이미 구한 결과들로 쉽게 알아낼 수 있다. 먼저 스핀의 성분들을 언제나 직교하게 만들 수 있으므로 상관함수를 다음처럼 놓는다: $$\delta_{ij} G(x-y) = \left< \phi_i(x) \phi_j(y) \right>.$$ 그러면 $$\left< \phi^4 \right> = (n^2+2n) \left< \phi_i^2 \right>^2 = (n^2+2n) G^2(0)$$ 이고 \begin{eqnarray*} \left< (\phi \cdot \sigma')^2 \right> &=& \left< \sum_i \phi_i \sigma'_i \sum_j \phi_j \sigma'_j \right>\\ &=& \sum_{ij} \sigma'_i \sigma'_j \left< \phi_i \phi_j \right>\\ &=& \sum_{ij} \sigma'_i \sigma'_j G(0) \delta_{ij}\\ &=& \sum_i {\sigma'_i}^2 G(0) = G(0) {\sigma'}^2 \end{eqnarray*} 이기 때문에, $\left< \phi^4 \right> \left< (\sigma'_y \cdot \phi_y)^2 \right> = (n^2+2n)G^3(0) {\sigma'_y}^2$이다.

첫 번째 항을 좀더 자세히 들여다보면 다음과 같이 풀 수 있다: \begin{eqnarray*} \left< (\phi_x \cdot \phi_x)^2 (\sigma'_y \cdot \phi_y)^2 \right> &=& \left< \left[ \sum_i \phi_i^2(x) \right]^2 \left[ \sum_j \sigma'_j(y) \phi_j(y) \right]^2 \right>\\ &=& \left< \left[ \sum_i \phi_i^2(x) \right] \left[ \sum_j \phi_j^2(x) \right] \left[ \sum_k \sigma'_k(y) \phi_k(y) \right] \left[ \sum_l \sigma'_l(y) \phi_l(y) \right] \right>\\ &=& \sum_{ijkl} \sigma'_k(y) \sigma_l'(y) \left< \phi_i^2(x) \phi_j^2(x) \phi_k(y) \phi_l(y) \right> \end{eqnarray*}

윅의 정리를 사용하면 6점 상관함수는 2점 상관함수들 곱의 조합으로 분해될 수 있어서 다음처럼 정리된다: \begin{eqnarray*} &&\sum_{ijkl} \left< \phi_i^2(x) \phi_j^2(x) \phi_k(y) \phi_l(y) \right> \sigma'_k(y) \sigma_l'(y)\\ &=& \sum_{ijkl} \left< \phi_i^2(x) \right> \left< \phi_j^2(x) \right> \left< \phi_k(y) \phi_l(y) \right> \sigma'_k(y) \sigma_l'(y)\\ &&+ \sum_{ijkl} \left< \phi_i^2(x) \right> \left< \phi_j(x) \phi_k(y) \right> \left< \phi_j(x) \phi_l(y) \right> \sigma'_k(y) \sigma_l'(y)\\ &&+ \sum_{ijkl} \left< \phi_i^2(x) \right> \left< \phi_j(x) \phi_l(y)\right> \left< \phi_j(x) \phi_k(y)\right> \sigma'_k(y) \sigma_l'(y)\\ &&+ \sum_{ijkl} \left< \phi_i(x) \phi_j(x) \right> \left< \phi_i(x) \phi_j(x) \right> \left< \phi_k(y) \phi_l(y) \right> \sigma'_k(y) \sigma_l'(y)\\ &&+ \sum_{ijkl} \left< \phi_i(x) \phi_j(x) \right> \left< \phi_i(x) \phi_k(y) \right> \left< \phi_j(x) \phi_l(y) \right> \sigma'_k(y) \sigma_l'(y)\\ &&+ \sum_{ijkl} \left< \phi_i(x) \phi_j(x) \right> \left< \phi_i(x) \phi_l(y) \right> \left< \phi_j(x) \phi_k(y) \right> \sigma'_k(y) \sigma_l'(y)\\ &&+ \sum_{ijkl} \left< \phi_i(x) \phi_j(x) \right> \left< \phi_i(x) \phi_j(x) \right> \left< \phi_k(y) \phi_l(y) \right> \sigma'_k(y) \sigma_l'(y)\\ &&+ \sum_{ijkl} \left< \phi_i(x) \phi_j(x) \right> \left< \phi_i(x) \phi_k(y) \right> \left< \phi_j(x) \phi_l(y) \right> \sigma'_k(y) \sigma_l'(y)\\ &&+ \sum_{ijkl} \left< \phi_i(x) \phi_j(x) \right> \left< \phi_i(x) \phi_l(y) \right> \left< \phi_j(x) \phi_k(y) \right> \sigma'_k(y) \sigma_l'(y)\\ &&+ \sum_{ijkl} \left< \phi_i(x) \phi_k(y) \right> \left< \phi_i(x) \phi_j(x) \right> \left< \phi_j(x) \phi_l(y) \right> \sigma'_k(y) \sigma_l'(y)\\ &&+ \sum_{ijkl} \left< \phi_i(x) \phi_k(y) \right> \left< \phi_i(x) \phi_j(x) \right> \left< \phi_i(x) \phi_l(y) \right> \sigma'_k(y) \sigma_l'(y)\\ &&+ \sum_{ijkl} \left< \phi_i(x) \phi_k(y) \right> \left< \phi_i(x) \phi_l(y) \right> \left< \phi_j(x) \phi_j(x) \right> \sigma'_k(y) \sigma_l'(y)\\ &&+ \sum_{ijkl} \left< \phi_i(x) \phi_l(y) \right> \left< \phi_i(x) \phi_j(x) \right> \left< \phi_j(x) \phi_k(y) \right> \sigma'_k(y) \sigma_l'(y)\\ &&+ \sum_{ijkl} \left< \phi_i(x) \phi_l(y) \right> \left< \phi_i(x) \phi_j(x) \right> \left< \phi_j(x) \phi_k(y) \right> \sigma'_k(y) \sigma_l'(y)\\ &&+ \sum_{ijkl} \left< \phi_i(x) \phi_l(y) \right> \left< \phi_i(x) \phi_k(y) \right> \left< \phi_j(x) \phi_j(x) \right> \sigma'_k(y) \sigma_l'(y)\\ &=& \sum_i \left< \phi_i^2 \right> \sum_j \left< \phi_j^2 \right> \sum_k \left< \phi_k^2 \right> {\sigma'_k}^2(y)\\ &&+ \sum_i \left< \phi_i^2 \right> \sum_j G(x-y) G(x-y) {\sigma'_j}^2(y) \times 2\\ &&+ \sum_i \left< \phi_i^2 \right>^2 \sum_k G(0) {\sigma'_k}^2(y)\\ &&+ \sum_i \left< \phi_i^2 \right> G(x-y) G(x-y) {\sigma'_i}^2(y) \times 2\\ &&+ \sum_i \left< \phi_i^2 \right>^2 \sum_k \left< \phi_k^2 \right> {\sigma'_k}^2(y)\\ &&+ \sum_i \left< \phi_i^2 \right> G(x-y) G(x-y) {\sigma'_i}^2(y) \times 2\\ &&+ \sum_i G(x-y) \left< \phi_i^2 \right> G(x-y) {\sigma'_i}^2(y) \times 2\\ &&+ \sum_i G(x-y) G(x-y) \sum_j \left< \phi_j^2 \right> {\sigma'_i}^2(y)\\ &&+ \sum_i G(x-y) \left< \phi_i^2 \right> G(x-y) {\sigma'_i}^2(y) \times 2\\ &&+ \sum_i G(x-y) G(x-y) \sum_j \left< \phi_j^2 \right> {\sigma'_i}^2(y)\\ &=& n^2 G^3(0) {\sigma'}^2(y) \\ &&+ 2nG(0) G^2(x-y) {\sigma'}^2(y)\\ &&+ n G^2(0) G(0) {\sigma'}^2(y)\\ &&+ 2G(0) G^2(x-y) {\sigma'}^2(y)\\ &&+ n G^2(0) G(0) {\sigma'}^2(y)\\ &&+ 2G(0) G^2(x-y) {\sigma'}^2(y)\\ &&+ 2G(x-y) G(0) G(x-y) {\sigma'}^2(y)\\ &&+ nG^2(x-y) G(0) {\sigma'}^2(y)\\ &&+ 2G^2(x-y) G(0) {\sigma'}^2(y)\\ &&+ n G^2(x-y) G(0) {\sigma'}^2(y)\\ &=& \left[ (n^2+2n)G^3(0) + (4n+8)G(0)G^2(x-y) \right] {\sigma'}^2(y) \end{eqnarray*} 즉 우리가 애초 구하려던 적분 내부의 표현식은 $$\left< (\phi_x^4 - \left< \phi^4 \right>) \left[ (\sigma_y' \cdot \phi_y)^2 - \left< (\sigma_y' \cdot \phi_y)^2 \right> \right] \right> = (4n+8)G(0)G^2(x-y) {\sigma'}^2(y)$$ 이고, 따라서 두 번째 적분식 자체는 다음과 같다: $$-\frac{u^2}{8} \int d^dx~d^dy~ (n+2) G(0)G^2(x-y) {\sigma'}^2(y).$$

$$-\frac{u^2}{128} \int d^dx~d^dy \left< (\phi_x^4 - \left< \phi^4 \right>) \times 2 {\sigma'_y}^2 (\phi_y^2 - \left< \phi^2 \right>) \right>$$

여기에서도 적분 내부의 표현식을 살펴보자. \begin{eqnarray*} &&\left< (\phi_x^4 - \left< \phi^4 \right>) (\phi_y^2 - \left< \phi^2 \right>) \right> = \left< \sum_i \phi_i^2(x) \sum_j \phi_j^2(x) \sum_k \phi_k^2(y) \right> - \left< \phi^4 \right> \left< \phi^2 \right>\\ &=& \sum_{ijk} \left< \phi_i(x) \phi_i(x) \right> \left< \phi_j(x) \phi_j(x) \right> \left< \phi_k(y) \phi_k(y) \right> + \left< \phi_i(x) \phi_i(x) \right> \left< \phi_j(x) \phi_k(y) \right> \left< \phi_j(x) \phi_k(y) \right> + \left< \phi_i(x) \phi_i(x) \right> \left< \phi_j(x) \phi_k(y) \right> \left< \phi_j(x) \phi_k(y) \right>\\ && + \left< \phi_i(x) \phi_j(x) \right> \left< \phi_i(x) \phi_j(x) \right> \left< \phi_k(y) \phi_k(y) \right> + \left< \phi_i(x) \phi_j(x) \right> \left< \phi_i(x) \phi_k(y) \right> \left< \phi_j(x) \phi_k(y) \right> + \left< \phi_i(x) \phi_j(x) \right> \left< \phi_i(x) \phi_k(y) \right> \left< \phi_j(x) \phi_k(y) \right>\\ && + \left< \phi_i(x) \phi_j(x) \right> \left< \phi_i(x) \phi_j(x) \right> \left< \phi_k(y) \phi_k(y) \right> + \left< \phi_i(x) \phi_j(x) \right> \left< \phi_i(x) \phi_k(y) \right> \left< \phi_j(x) \phi_k(y) \right> + \left< \phi_i(x) \phi_j(x) \right> \left< \phi_i(x) \phi_k(y) \right> \left< \phi_j(x) \phi_k(y) \right>\\ && + \left< \phi_i(x) \phi_k(y) \right> \left< \phi_i(x) \phi_j(x) \right> \left< \phi_j(x) \phi_k(y) \right> + \left< \phi_i(x) \phi_k(y) \right> \left< \phi_i(x) \phi_j(x) \right> \left< \phi_j(x) \phi_k(y) \right> + \left< \phi_i(x) \phi_k(y) \right> \left< \phi_i(x) \phi_k(y) \right> \left< \phi_j(x) \phi_j(x) \right>\\ && + \left< \phi_i(x) \phi_k(y) \right> \left< \phi_i(x) \phi_j(x) \right> \left< \phi_j(x) \phi_k(y) \right> + \left< \phi_i(x) \phi_k(y) \right> \left< \phi_i(x) \phi_j(x) \right> \left< \phi_j(x) \phi_k(y) \right> + \left< \phi_i(x) \phi_k(y) \right> \left< \phi_i(x) \phi_k(y) \right> \left< \phi_j(x) \phi_j(x) \right>\\ &&- \left< \phi^4 \right> \left< \phi^2 \right>\\ &=& n^3 G^3(0) + n^2 G(0) G^2(x-y) + n^2 G(0) G^2(x-y)\\ &&+ n^2 G^3(0) + n G(0) G^2(x-y) + n G(0) G^2(x-y)\\ &&+ n^2 G^3(0) + n G(0) G^2(x-y) + n G(0) G^2(x-y)\\ &&+ n G(0) G^2(x-y) + n G(0) G^2(x-y) + n^2 G(0) G^2(x-y)\\ &&+ n G(0) G^2(x-y) + n G(0) G^2(x-y) + n^2 G(0) G^2(x-y)\\ &&- (n^2+2n) G^2(0) n G(0)\\ &=& (4n^2+8n) G(0) G^2(x-y). \end{eqnarray*} 따라서 적분식은 다음처럼 정리된다: $$-\frac{u^2}{128} \int d^dx~d^dy~ 2{\sigma'}^2(y) (4n^2+8n) G(0) G^2(x-y) = -\frac{u^2}{16} \int d^dx~d^dy~ {\sigma'}^2(y) (n^2+2n) G(0) G^2(x-y).$$ 참고로 방금 구한 두 번쨰와 세 번째의 적분식을 더하면 다음처럼 간단해진다: $$-\frac{u^2}{16} \int d^dx~d^dy~ {\sigma'}^2(y) (n+2)^2 G(0) G^2(x-y).$$

$$-\frac{u^2}{128} \int d^dx~d^dy \left< (\phi_x^4 - \left< \phi^4 \right>) \times 4 \sigma'_y \cdot \phi_y ({\sigma'_y}^2 + \phi_y^2) \right>$$ 이것은 $\phi_y$의 홀수차항만을 가지므로 가우스 적분의 성질에서 영이 됨을 바로 알 수 있다.

$$-\frac{u^2}{128} \int d^dx~d^dy \left< 4 \left[ (\sigma_x' \cdot \phi_x)^2 - \left< (\sigma_x' \cdot \phi_x)^2 \right> \right] \times (\phi_y^4 - \left< \phi^4 \right>) \right>$$ 이 식은 두 번째 적분식에서 $x$, $y$를 자리바꿈한 것에 불과해서 정확히 같은 기여를 준다.

$$-\frac{u^2}{128} \int d^dx~d^dy \left< 4 \left[ (\sigma_x' \cdot \phi_x)^2 - \left< (\sigma_x' \cdot \phi_x)^2 \right> \right] \times 4 \left[ (\sigma_y' \cdot \phi_y)^2 - \left< (\sigma_y' \cdot \phi_y)^2 \right> \right] \right>$$ 적분되고 있는 식은 다음처럼 정리된다: \begin{eqnarray*} &&\left< \left[ (\sigma_x' \cdot \phi_x)^2 - \left< (\sigma_x' \cdot \phi_x)^2 \right> \right] \left[ (\sigma_y' \cdot \phi_y)^2 - \left< (\sigma_y' \cdot \phi_y)^2 \right> \right] \right>\\ &=& \left< (\sigma'_x \cdot \phi_x)^2 (\sigma'_y \cdot \phi_y)^2 \right> - \left< (\sigma'_x \cdot \phi_x)^2 \right> \left< (\sigma'_y \cdot \phi_y)^2 \right>\\ &=& \left< \sum_i \sigma'_i(x) \phi_i(x) \sum_j \sigma'_j(x) \phi_j(x) \sum_k \sigma'_k(y) \phi_k(y) \sum_l \sigma'_l(y) \phi_l(y) \right> - \left< (\sigma'_x \cdot \phi_x)^2 \right> \left< (\sigma'_y \cdot \phi_y)^2 \right>\\ &=& \sum_{ijkl} \left< \phi_i(x) \phi_j(x) \phi_k(y) \phi_l(y) \right> \sigma'_i(x) \sigma'_j(x) \sigma'_k(y) \sigma'_l(y) - \left< (\sigma'_x \cdot \phi_x)^2 \right> \left< (\sigma'_y \cdot \phi_y)^2 \right>\\ &=& \sum_{ijkl} \left< \phi_i(x) \phi_j(x) \right> \left< \phi_k(y) \phi_l(y) \right> \sigma'_i(x) \sigma'_j(x) \sigma'_k(y) \sigma'_l(y)\\ &&+ \sum_{ijkl} \left< \phi_i(x) \phi_k(y) \right> \left< \phi_j(x) \phi_l(y) \right> \sigma'_i(x) \sigma'_j(x) \sigma'_k(y) \sigma'_l(y)\\ &&+ \sum_{ijkl} \left< \phi_i(x) \phi_l(y) \right> \left< \phi_j(x) \phi_k(y) \right> \sigma'_i(x) \sigma'_j(x) \sigma'_k(y) \sigma'_l(y)\\ &&- \left< (\sigma'_x \cdot \phi_x)^2 \right> \left< (\sigma'_y \cdot \phi_y)^2 \right>\\ &=& \sum_i G(0) \sum_k G(0) {\sigma'_i}^2(x) {\sigma'_k}^2(y)\\ &&+ \sum_i G(x-y) \sum_j G(x-y) \sigma'_i(x) \sigma'_i(y) \sigma'_j(x) \sigma'_j(y)\\ &&+ \sum_i G(x-y) \sum_j G(x-y) \sigma'_i(x) \sigma'_i(y) \sigma'_j(x) \sigma'_j(y)\\ &&- \left< (\sigma'_x \cdot \phi_x)^2 \right> \left< (\sigma'_y \cdot \phi_y)^2 \right>\\ &=& 2G^2(x-y) \left[ \sigma'(x) \cdot \sigma'(y) \right]^2. \end{eqnarray*} 따라서 적분은 $$-\frac{u^2}{4} \int d^dx~d^dy \left[ \sigma'(x) \cdot \sigma'(y) \right]^2 G^2(x-y).$$

$$-\frac{u^2}{128} \int d^dx~d^dy \left< 4 \left[ (\sigma_x' \cdot \phi_x)^2 - \left< (\sigma_x' \cdot \phi_x)^2 \right> \right] \times 2{\sigma'}^2(y) (\phi_y^2 - \left< \phi^2 \right>) \right>$$ 여기에서 \begin{eqnarray*} &&\left< \left[ (\sigma_x' \cdot \phi_x)^2 - \left< (\sigma_x' \cdot \phi_x)^2 \right> \right] \times (\phi_y^2 - \left< \phi^2 \right>) \right> = \left< (\sigma'_x \cdot \phi_x)^2 \phi_y^2 \right> - \left< (\sigma'_x \cdot \phi_x)^2 \right> \left< \phi_y^2 \right>\\ &=& \left< \sum_i \sigma'_i(x) \phi_i(x) \sum_j \sigma'_j(x) \phi_j(x) \sum_k \phi_k^2(y) \right> - \left< (\sigma'_x \cdot \phi_x)^2 \right> \left< \phi_y^2 \right>\\ &=& \sum_{ijk} \left< \phi_i(x) \phi_j(x) \phi_k^2(y) \right> \sigma'_i(x) \sigma'_j(x) - \left< (\sigma'_x \cdot \phi_x)^2 \right> \left< \phi_y^2 \right>\\ &=& \sum_{ijk} \left< \phi_i(x) \phi_j(x) \right> \left< \phi_k^2(y) \right> \sigma'_i(x) \sigma'_j(x) + \sum_{ijk} \left< \phi_i(x) \phi_k(y) \right> \left< \phi_j(x) \phi_k(y) \right> \sigma'_i(x) \sigma'_j(x) \times 2 - \left< (\sigma'_x \cdot \phi_x)^2 \right> \left< \phi_y^2 \right>\\ &=& \sum_i G(0) {\sigma'_i}^2(x) \sum_k G(0) + 2\sum_i G^2(x-y) {\sigma'_i}^2 - \left< (\sigma'_x \cdot \phi_x)^2 \right> \left< \phi_y^2 \right>\\ &=& {\sigma'}^2(x) G(0) nG(0) + 2G^2(x-y){\sigma'}^2 - G(0) {\sigma'}^2(x) nG(0)\\ &=& 2G^2(x-y){\sigma'}^2(x) \end{eqnarray*} 이므로, 이 적분식은 다음처럼 쓸 수 있다: $$-\frac{u^2}{8} \int d^dx~d^dy ~ G^2(x-y) {\sigma'}^2(x) {\sigma'}^2(y).$$

$$-\frac{u^2}{128} \int d^dx~d^dy \left< 4 \left[ (\sigma_x' \cdot \phi_x)^2 - \left< (\sigma_x' \cdot \phi_x)^2 \right> \right] \times 4 \sigma'_y \cdot \phi_y ({\sigma'_y}^2 + \phi_y^2) \right>$$ 이 식은 $\phi_y$의 홀수차항만을 포함하므로 영이다.

$$-\frac{u^2}{128} \int d^dx~d^dy \left< 2 {\sigma'_x}^2 (\phi_x^2 - \left< \phi^2 \right>) \times \left( \phi_y^4 - \left< \phi^4 \right> \right) \right>$$ 이 식의 계산은 세 번째 적분식과 같다.

$$-\frac{u^2}{128} \int d^dx~d^dy \left< 2 {\sigma'_x}^2 (\phi_x^2 - \left< \phi^2 \right>) \times 4 \left[ (\sigma'_y \cdot \phi_y)^2 - \left< (\sigma'_y \cdot \phi_y)^2 \right> \right] \right>$$ 이 식의 계산은 일곱 번째 적분식과 같다.

$$-\frac{u^2}{128} \int d^dx~d^dy \left< 2 {\sigma'_x}^2 (\phi_x^2 - \left< \phi^2 \right>) \times 2 {\sigma'_y}^2 (\phi_y^2 - \left< \phi^2 \right>) \right>$$ 이 계산은 가장 간단하다: \begin{eqnarray*} \left< (\phi_x^2 - \left< \phi^2 \right>) (\phi_y^2 - \left< \phi^2 \right>) \right> &=& \left< \phi_x^2 \phi_y^2 \right> - \left< \phi^2 \right>^2\\ &=& \left< \sum_i \phi_i^2(x) \sum_j \phi_j^2(y) \right> - \left< \phi^2 \right>^2\\ &=& \sum_{ij} \left< \phi_i^2(x) \phi_j^2(y) \right> - \left< \phi^2 \right>^2\\ &=& \sum_{ij} \left< \phi_i^2(x) \right> \left< \phi_j^2(y) \right> + 2\left< \phi_i(x) \phi_j(y)\right> - \left< \phi^2 \right>^2\\ &=& n^2 G^2(0) + 2n G^2(x-y) - [nG(0)]^2\\ &=& 2n G^2(x-y) \end{eqnarray*} 따라서 구하려던 적분식은 다음과 같고 $$-\frac{u^2}{16} \int d^dx~d^dy ~{\sigma'}^2(x) {\sigma'}^2(y)~ n G^2(x-y)$$ 여기에 일곱 번째 적분, 그리고 열 번째 적분을 더하면 $$-\frac{u^2}{16} \int d^dx~d^dy ~{\sigma'}^2(x) {\sigma'}^2(y)~ (n+4) G^2(x-y)$$ 가 된다.

이후의 적분 다섯 개 중에서 네 개는 홀수차항 때문에 영이 되고, 의미 있는 적분은 아래의 하나뿐이다.

$$-\frac{u^2}{128} \int d^dx~d^dy \left< 4 \sigma'_x \cdot \phi_x ({\sigma'_x}^2 + \phi_x^2) \times 4 \sigma'_y \cdot \phi_y ({\sigma'_y}^2 + \phi_y^2) \right>$$ 먼저 적분 안의 표현식을 다시 네 부분으로 나누자: \begin{eqnarray*} \left< (\sigma'_x \cdot \phi_x) ({\sigma'_x}^2 + \phi_x^2) \times (\sigma'_y \cdot \phi_y) ({\sigma'_y}^2 + \phi_y^2) \right> &=& \left< (\sigma'_x \cdot \phi_x) (\sigma'_y \cdot \phi_y) {\sigma'_x}^2 {\sigma'_y}^2 \right> + \left< (\sigma'_x \cdot \phi_x) (\sigma'_y \cdot \phi_y) \phi_x^2 {\sigma'_y}^2 \right>\\ && + \left< (\sigma'_x \cdot \phi_x) (\sigma'_y \cdot \phi_y) {\sigma'_x}^2 \phi_y^2 \right> + \left< (\sigma'_x \cdot \phi_x) (\sigma'_y \cdot \phi_y) \phi_x^2 \phi_y^2 \right> \end{eqnarray*}

1번 항

먼저 우변의 첫 번째 항의 경우는 간단하다: \begin{eqnarray*} \left< (\sigma'_x \cdot \phi_x) (\sigma'_y \cdot \phi_y) {\sigma'_x}^2 {\sigma'_y}^2 \right> &=& \left< \sum_i \sigma'_i(x) \phi_i(x) \sum_j \sigma'_j(y) \phi_j(y) \right> {\sigma'}^2(x) {\sigma'}^2(y)\\ &=& {\sigma'}^2(x) {\sigma'}^2(y) \sum_{ij} \left< \phi_i(x) \phi_j(y) \right> \sigma'_i(x) \sigma'_j(y)\\ &=& {\sigma'}^2(x) {\sigma'}^2(y) \sum_i G(x-y) \sigma'_i(x) \sigma'_i(y)\\ &=& {\sigma'}^2(x) {\sigma'}^2(y) G(x-y) [\sigma'(x) \cdot \sigma'(y)]. \end{eqnarray*}

2번 항

그 다음 항도 어렵지 않게 풀 수 있다: \begin{eqnarray*} \left< (\sigma'_x \cdot \phi_x) (\sigma'_y \cdot \phi_y) \phi_x^2 {\sigma'_y}^2 \right> &=& \left< \sum_i \sigma'_i(x) \phi_i(x) \sum_j \phi_j (x) \sum_k \sigma'_k(y) \phi_k(y) \right> {\sigma'}^2 (y)\\ &=& {\sigma'}^2 (y) \sum_{ijk} \left< \phi_i(x) \phi_j^2(x) \phi_k(y) \right> \sigma'_i(x) \sigma'_k(y)\\ &=& {\sigma'}^2 (y) \sum_{ijk} \left< \phi_i(x) \phi_j(x) \right> \left< \phi_j(x) \phi_k(y) \right> \sigma'_i(x) \sigma'_k(y) \times 2 + \left< \phi_i(x) \phi_k(y) \right> \left< \phi_j^2(x) \right> \sigma'_i(x) \sigma'_k(y)\\ &=& {\sigma'}^2 (y) \left[ \sum_i G(0) G(x-y) \sigma'_i(x) \sigma'_i(y) \times 2 + \sum_i G(x-y) \sigma'_i(x) \sigma'_i(y) \sum_j G(0) \right]\\ &=& {\sigma'}^2 (y) \left[ \sum_i G(0) G(x-y) \sigma'_i(x) \sigma'_i(y) \times 2 + \sum_i G(x-y) \sigma'_i(x) \sigma'_i(y) n G(0) \right]\\ &=& {\sigma'}^2 (y) \left[ \sigma'(x) \cdot \sigma'(y) \right] (n+2) G(0) G(x-y). \end{eqnarray*}

3번 항

3번 항은 2번 항에서 $x$와 $y$를 자리바꿈한 것이며 $\int d^dx~d^dy$를 하면 같은 값을 줄 것이다.

4번 항

마지막 항은 여섯 개 변수에 대해 윅의 정리를 사용하는 것이다: \begin{eqnarray*} && \left< (\sigma'_x \cdot \phi_x) (\sigma'_y \cdot \phi_y) \phi_x^2 \phi_y^2 \right>\\ &=& \sum_{ijkl} \left< \phi_i(x) \phi_j^2(x) \phi_k(y) \phi_l^2(y) \right> \sigma'_i(x) \sigma'_k(y)\\ &=& \sum_{ijkl} \left< \phi_i(x) \phi_j(x) \right> \left< \phi_j(x) \phi_k(y) \right> \left< \phi_l^2(y) \right> \sigma'_i(x) \sigma'_k(y) \times 2\\ &&+ \left< \phi_i(x) \phi_j(x) \right> \left< \phi_j(x) \phi_l(y) \right> \left< \phi_k(y) \phi_l(y) \right> \sigma'_i(x) \sigma'_k(y) \times 4\\ &&+ \left< \phi_i(x) \phi_k(y) \right> \left< \phi_j^2(x) \right> \left< \phi_l^2(y) \right> \sigma'_i(x) \sigma'_k(y)\\ &&+ \left< \phi_i(x) \phi_k(y) \right> \left< \phi_j(x) \phi_l(y) \right> \left< \phi_j(x) \phi_l(y) \right> \sigma'_i(x) \sigma'_k(y) \times 2\\ &&+ \left< \phi_i(x) \phi_l(y) \right> \left< \phi_j^2(x) \right> \left< \phi_k(y) \phi_l(y) \right> \sigma'_i(x) \sigma'_k(y) \times 2\\ &&+ \left< \phi_i(x) \phi_l(y) \right> \left< \phi_j(x) \phi_k(y) \right> \left< \phi_j(x) \phi_l(y) \right> \sigma'_i(x) \sigma'_k(y) \times 2\\ &&+ \left< \phi_i(x) \phi_l(y) \right> \left< \phi_j(x) \phi_l(y) \right> \left< \phi_j(x) \phi_k(y) \right> \sigma'_i(x) \sigma'_k(y) \times 2\\ &=& \sum_i G(0) G(x-y) \sigma'_i(x) \sigma'_i(y) \sum_l G(0) \times 2\\ &&+ \sum_i G(0) G(x-y) G(0) \sigma'_i(x) \sigma'_i(y) \times 4\\ &&+ \sum_i G(x-y) \sigma'_i(x) \sigma'_i(y) \sum_j G(0) \sum_l G(0)\\ &&+ \sum_i G(x-y) \sigma'_i(x) \sigma'_i(y) \sum_j G^2(x-y) \times 2\\ &&+ \sum_i G(x-y) G(0) \sigma'_i(x) \sigma'_i(y) \sum_j G(0) \times 2\\ &&+ \sum_i G^3(x-y) \sigma'_i(x) \sigma'_i(y) \times 4\\ &=& 2n \sigma'(x) \cdot \sigma'(y) G^2(0) G(x-y) + 4 \sigma'(x) \cdot \sigma'(y) G^2(0) G(x-y)\\ &&+ n^2 \sigma'(x) \cdot \sigma'(y) G(x-y) G^2(0) + 2n \sigma'(x) \cdot \sigma'(y) G^3(x-y)\\ &&+ 2n \sigma'(x) \cdot \sigma'(y) G^2(0) G(x-y) + 4 \sigma'(x) \cdot \sigma'(y) G^3(x-y)\\ &=& (n^2+4n+4) \sigma'(x) \cdot \sigma'(y) G^2(0) G(x-y) + (2n+4) \sigma'(x) \cdot \sigma'(y) G^3(x-y). \end{eqnarray*}

이 네 항의 결과를 모으면, 열여섯 번째 적분은 결국 다음과 같다: \begin{eqnarray*} &&-\frac{u^2}{128} \int d^dx~d^dy \left< 4 \sigma'_x \cdot \phi_x ({\sigma'_x}^2 + \phi_x^2) \times 4 \sigma'_y \cdot \phi_y ({\sigma'_y}^2 + \phi_y^2) \right>\\ &=& -\frac{u^2}{8} \int d^dx~d^dy \left\{ {\sigma'}^2(x) {\sigma'}^2(y) \left[ \sigma'(x) \cdot \sigma'(y) \right] G(x-y) + 2 {\sigma'}^2(y) \left[ \sigma'(x) \cdot \sigma'(y) \right] (n+2) G(0) G(x-y) \right.\\ && + \left. \left[ \sigma'(x) \cdot \sigma'(y) \right] (n+2)^2 G^2(0) G(x-y) + 2 \left[ \sigma'(x) \cdot \sigma'(y) \right] (n+2) G^3(x-y) \right\} \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \left< \left( H_1 - \left<H_1\right> \right)^2 \right> &=& - u^2 \int d^dx~d^dy \left\{ \frac{1}{128} \left< (\phi_x^4 - \left< \phi^4 \right>) (\phi_y^4 - \left< \phi^4 \right>) \right>\right. &\mbox{(#1)}\\ &&+ \frac{1}{8} {\sigma'}^2(y) (n+2)^2 G(0) G^2(x-y) &\mbox{(#2,3,5,9)}\\ &&+ \frac{1}{4} \left[ \sigma'(x) \cdot \sigma'(y) \right] (n+2) G^3(x-y) &\mbox{(#16)}\\ &&+ \frac{1}{16} {\sigma'}^2(x) {\sigma'}^2(y)~ (n+4) G^2(x-y) &\mbox{(#7,10,11)}\\ &&+ \frac{1}{4} \left[ \sigma'(x) \cdot \sigma'(y) \right]^2 G^2(x-y)&\mbox{(#6)}\\ &&+ \frac{1}{4} {\sigma'}^2(y) \left[ \sigma'(x) \cdot \sigma'(y) \right] (n+2) G(0) G(x-y)&\mbox{(#16)}\\ &&+ \frac{1}{8} {\sigma'}^2(x) {\sigma'}^2(y) \left[ \sigma'(x) \cdot \sigma'(y) \right] G(x-y)&\mbox{(#16)}\\ &&+ \left.\frac{1}{8} \left[ \sigma'(x) \cdot \sigma'(y) \right] (n+2)^2 G^2(0) G(x-y) \right\} &\mbox{(#16)}\\ \end{eqnarray*}

우리가 알고 싶은 것은 ${\sigma'}^4$ 앞의 계수인데, 위 식에는 ${\sigma'}^2(x) {\sigma'}^2(y)$ 같은 항들만 들어있다. $\sigma'$은 낮은 파수만을 가지므로 $\sigma'(y) \approx \sigma'(x)$로 가정한다. 이는 기울기 전개(gradient expansion), $$\sigma'(y) = \sigma'(x) + r \cdot \nabla \sigma'(x) + \frac{1}{2} (r \cdot \nabla)^2 \sigma'(x) + \ldots,$$ 에서 첫 항만 취한 것에 해당한다. 여기에서 $r \equiv y-x$에 해당하는 변위 벡터이며 $G(r)=G(-r)$일 것이다. 이렇게 변환한 결과는 아래와 같다:

\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \left< \left( H_1 - \left<H_1\right> \right)^2 \right> &\approx& - u^2 \int d^dx~d^dr \left\{ \frac{1}{128} \left< (\phi_x^4 - \left< \phi^4 \right>) (\phi_y^4 - \left< \phi^4 \right>) \right>\right.\\ &&+ \frac{1}{8} {\sigma'}^2(x) (n+2)^2 G(0) G^2(r)\\ &&+ \frac{1}{4} {\sigma'}^2(x) (n+2) G^3(r)\\ &&+ \frac{1}{16} {\sigma'}^4(x)~ (n+4) G^2(r)\\ &&+ \frac{1}{4} {\sigma'}^4(x)~ G^2(r)\\ &&+ \frac{1}{4} {\sigma'}^4(x) (n+2) G(0) G(r)\\ &&+ \frac{1}{8} {\sigma'}^6(x) G(r)\\ &&+ \left.\frac{1}{8} {\sigma'}^2(x) (n+2)^2 G^2(0) G(r) \right\}. \end{eqnarray*}

위 적분을 보다 간략히 하기 위해 $\epsilon$에 대해 전개했을 때 영차항, 즉 $d=4$에서의 상관함수 $G$의 모양을 살펴보자. $r_0 \sim O(\epsilon)$이어서 $G(k) = (r_0 + ck^2)^{-1} \approx (ck^2)^{-1}$이므로 $$G(r) \approx (2\pi)^{-4} \int d^4k (ck^2)^{-1} e^{ik\cdot r}$$ 이다. 이 때에 4차원의 구면적분을 보면 $$d^4k = k^3 \sin^2 \phi_1 \sin \phi_2 ~d\phi_1 d\phi_2 d\phi_3$$ 으로서, $\phi_1, \phi_2 \in [0,\pi]$이고 $\phi_3 \in [0,2\pi]$이다. 또 $k \cdot r = kr \cos \phi_1$으로 놓을 수 있으므로 적분을 행하면, \begin{eqnarray*} \int d^4k ~k^{-2} e^{ik \cdot r} &=& \int k \sin^2 \phi_1 \sin \phi_2 e^{ikr \cos \phi_1} d\phi_1 d\phi_2 d\phi_3 dk\\ &=& 4\pi \iint k \sin^2 \phi_1 e^{ikr \cos \phi_1} d\phi_1 dk\\ &=& 4\pi \iint_{-1}^1 k \sqrt{1-x^2} e^{ikrx} dx dk\\ &=& 4\pi \int k \frac{\pi}{kr} J_1 (kr) dk\\ &=& \frac{4\pi^2}{r} \left[ \frac{1-J_0(kr)}{r} \right]_{k=\Lambda/s}^{\Lambda}\\ &=& \frac{4\pi^2}{r^2} \left[ J_0 (\Lambda r/s) - J_0 (\Lambda r) \right]. \end{eqnarray*} 따라서 $d=4$에서 $$G(r) \approx (2\pi)^{-2} r^{-2} c^{-1} \left[ J_0 (\Lambda r/s) - J_0 (\Lambda r) \right]$$ 이며, $O(\epsilon^0)$에서 $$\int d^dr G(r) = 0$$ 임을 확인할 수 있다. 이로 인해 위 섭동 계산 중 $G(r)$이 한 번씩만 들어간 마지막 세 항의 기여가 0이 된다: \begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \left< \left( H_1 - \left<H_1\right> \right)^2 \right> &\approx& - u^2 \int d^dx~d^dr \left\{ \frac{1}{128} \left< (\phi_x^4 - \left< \phi^4 \right>) (\phi_y^4 - \left< \phi^4 \right>) \right>\right.\\ &&+ \frac{1}{8} {\sigma'}^2(x) (n+2)^2 G(0) G^2(r)\\ &&+ \frac{1}{4} {\sigma'}^2(x) (n+2) G^3(r)\\ &&+ \frac{1}{16} {\sigma'}^4(x)~ (n+4) G^2(r)\\ &&+ \left. \frac{1}{4} {\sigma'}^4(x)~ G^2(r) \right\}. \end{eqnarray*} 이를 정리하면, $$\frac{1}{2} \left< \left( H_1 - \left<H_1\right> \right)^2 \right> \approx \mbox{const.} -\frac{1}{2} \int d^dx \left[ {\sigma'}^2(x) u^2D + {\sigma'}^4(x) \frac{\Delta u}{4} \right]$$ 이며 이 때에 \begin{eqnarray*} u^2D &=& -u^2 \int d^dr \left[ \frac{1}{4} {\sigma'}^2(x) (n+2)^2 G(0) G^2(r) + \frac{1}{2} {\sigma'}^2(x) (n+2) G^3(r) \right]\\ \Delta u &=& -u^2 \int d^dr \left( \frac{n+4}{2} +2 \right) G^2(r) \end{eqnarray*} 이다.

앞에서 구한 $G$의 구체적인 형태로부터 다음의 내용도 계산으로 확인할 수 있다: $$\int d^4r ~G^2(r) = K_4 ~c^{-2} ~\ln s.$$

이제껏 $O(\epsilon^2)$까지 계산한 결과, \begin{eqnarray*} u' &=& s^\epsilon (u+\Delta u) = s^\epsilon \left[u - u^2 \frac{n+8}{2c^2} K_4~\ln s \right]\\ &\approx& (1+ \epsilon \ln s) \left[u - u^2 \frac{n+8}{2c^2} K_4~\ln s \right]\\ &\approx& u - u^2 \frac{n+8}{2c^2} K_4~\ln s + \epsilon u \ln s \end{eqnarray*} 이다. 고정점에서 $u'=u=u^\ast$임을 풀어보면 가우스 고정점 $u^\ast=0$ 외에도 $$u^\ast = \epsilon \frac{2 c^2}{(n+8) K_4}$$ 인 새로운 고정점이 나타났음을 볼 수 있다. 우리가 애초에 가정했던 것처럼 $u^\ast \sim O(\epsilon)$이다.

$r_0$의 경우 재규격화의 결과는 다음과 같은데 \begin{eqnarray*} r_0' &\approx& s^2 \left[ r_0 + r_0^{(1)} + u^2D \right]\\ &=& s^2 \left[ r_0 + \frac{u}{c} \left( \frac{n}{2}+1 \right) \frac{\Lambda^2}{2} K_4 (1-s^{-2}) + uC\epsilon - r_0 \frac{u}{c^2} K_4 ~\ln s - u^2D \right] \end{eqnarray*} 새로운 고정점에 대응되는 $r_0^\ast$를 $O(\epsilon)$에서 찾으면, 바로 위의 우변에서 첫 두 항의 합을 0으로 만드는 값이어서 $$r_0^\ast = -\frac{u^\ast}{c} \left( \frac{n}{2} +1 \right) \frac{\Lambda^2}{2} K_4 (1-s^{-2}) \approx - \epsilon \left( \frac{n+2}{n+8} \right) \frac{\Lambda^2 c}{2}$$ 이며 이 때 $s^{-2} \ll 1$로 가정했다.

이 새로운 고정점 주위에서 $\delta r_0 \equiv r_0 - r_0^\ast$와 $\delta u \equiv u - u^\ast$가 어떻게 변화하는지 선형근사를 통해 적어보자. \begin{eqnarray*} \left. \frac{\partial r_0'}{\partial r_0} \right|_{r_0^\ast,u^\ast} &\approx& \left[ s^2 - s^2 \frac{u}{c^2} \left( \frac{n}{2}+1 \right) K_4~ \ln s \right]_{r_0^\ast,u^\ast}\\ &\approx& s^2 - s^2 \frac{1}{c^2} \left[ \epsilon \frac{2c^2}{(n+8) K_4} \right] \frac{n+2}{2} K_4 ~\ln s\\ &=& s^2 \left( 1 - \epsilon \frac{n+2}{n+8} \ln s \right)\\ &\approx& s^2 s^{-\frac{n+2}{n+8}\epsilon} = s^{y_1}. \end{eqnarray*} 이 때 $y_1 \equiv 2 - \frac{n+2}{n+8} \epsilon$으로 정의한다.

마찬가지로, \begin{eqnarray*} \left. \frac{\partial u'}{\partial u} \right|_{r_0^\ast,u^\ast} &\approx& \left[ s^\epsilon - s^\epsilon u \frac{n+8}{c^2} K_4 ~\ln s \right]_{r_0^\ast,u^\ast}\\ &\approx& s^\epsilon \left( 1-\epsilon \frac{2 c^2}{(n+8)K_4} \frac{n+8}{c^2} K_4 ~\ln s \right)\\ &=& s^\epsilon ( 1-2\epsilon \ln s)\\ &\approx& s^\epsilon s^{-2\epsilon} = s^{y_2} \end{eqnarray*} 으로서, $y_2 \equiv -\epsilon$으로 놓는다.

교차항들을 보면, 먼저 $$\frac{\partial u'}{\partial r_0} = 0$$이고 \begin{eqnarray*} \left. \frac{\partial r_0'}{\partial u} \right|_{r_0^\ast,u^\ast} &\approx& s^2 \left[ \frac{1}{c} \left(\frac{n}{2}+1 \right) \frac{\Lambda^2}{2} K_4 (1-s^{-2}) + C\epsilon - r_0^\ast \frac{1}{c^2} \left(\frac{n}{2}+1\right) K_4 \ln s - 2u^\ast D \right]\\ &=& \left( \frac{n}{2}+1 \right) \frac{\Lambda^2}{2c} K_4 (s^2-1) + O(\epsilon)\\ &=& B \left( s^{y_1} - s^{y_2} \right) + O(\epsilon) \end{eqnarray*} 이며 $B \equiv \left( \frac{n}{2}+1 \right) \frac{\Lambda^2}{2c} K_4$이다. 곧 확인할 수 있다시피, 사실 여기에서 $O(\epsilon)$의 항들을 공들여 구하지 않더라도 임계거동을 보는 데에는 지장이 없는데, $\frac{\partial u'}{\partial r_0} = 0$이기 때문이다.

이제 위의 결과들을 모아 새로운 고정점 주위에서 재규격화를 선형 방정식으로 적어보면 다음과 같다. $$\begin{pmatrix} \delta r_0' \\ \delta u' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} s^{y_1} & B(s^{y_1} - s^{y_2})\\ 0 & s^{y_2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \delta r_0 \\ \delta u \end{pmatrix}$$ 이 행렬의 고유값을 구함으로써 임계지수를 $O(\epsilon)$에서 계산할 수 있다. \begin{eqnarray*} \nu &\approx& \left( 2 - \frac{n+2}{n+8} \epsilon \right)^{-1} \approx \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \left( \frac{n+2}{n+8} \right) \epsilon\\ \alpha &=& 2 - \nu d \approx 2 - \left[ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \left( \frac{n+2}{n+8} \right) \epsilon \right] (4-\epsilon) \approx \frac{4-n}{2(n+8)} \epsilon\\ \eta &=& 0\\ \beta &=& \frac{1}{2} \nu (d-2-\eta) \approx \left[ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \left( \frac{n+2}{n+8} \right) \epsilon \right] (4-\epsilon-2) \approx \frac{1}{2} - \frac{3}{2(n+8)} \epsilon\\ \gamma &=& \nu(2-\eta) \approx 1 + \frac{1}{2} \left( \frac{n+2}{n+8} \right) \epsilon\\ \delta &=& \frac{d+2-\eta}{d-2+\eta} \approx \frac{4-\epsilon+2}{4-\epsilon-2} \approx 3+\epsilon \end{eqnarray*}

무모하게 보이지만 놀랍게도 이런 방식으로 저차원 모형의 결과를 예측할 수 있다. 3차원 이징 모형은 $\epsilon=1$, $n=1$인 경우인데 $\epsilon$의 차수를 높여가며 계산하면 다른 계산방법들과 일치하는 값으로 수렴한다. 세 번째 열은 5차항까지 더한 결과이다.

임계지수 $O(\epsilon)$ $O(\epsilon^5)$ Direct RG 고온 전개
$\nu$ 0.58 0.630 0.630 0.633
$\eta$ 0 0.037 0.031 0.042

2차원 이징 모형의 경우에도 비슷한 경향을 보인다.

임계지수 $O(\epsilon)$ $O(\epsilon^5)$ 정확한 값
$\nu$ 0.67 0.99 1
$\eta$ 0 0.26 0.25

참고문헌

  • Shang-Keng Ma, Modern Theory of Critical Phenomena (Westview Press, 1976, 2000).
  • John Cardy, Scaling and Renormalization in Statistical Physics (Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1996).
  • 물리/입실론_전개.txt
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