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물리:입실론_전개 [2018/05/13 23:04] – [상관함수의 모양] admin | 물리:입실론_전개 [2023/09/05 15:46] (current) – external edit 127.0.0.1 | ||
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Line 130: | Line 130: | ||
\end{eqnarray*} | \end{eqnarray*} | ||
- | [[배규호:wick의 정리|윅의 정리]]를 사용하면 6점 상관함수는 2점 상관함수들 곱의 조합으로 분해될 수 있어서 다음처럼 정리된다: | + | [[수학:윅의_정리|윅의 정리]]를 사용하면 6점 상관함수는 2점 상관함수들 곱의 조합으로 분해될 수 있어서 다음처럼 정리된다: |
\begin{eqnarray*} | \begin{eqnarray*} | ||
&& | && | ||
Line 312: | Line 312: | ||
===4번 항=== | ===4번 항=== | ||
- | 마지막 항은 여섯 개 변수에 대해 [[배규호:Wick의 정리|윅의 정리]]를 사용하는 것이다: | + | 마지막 항은 여섯 개 변수에 대해 [[수학:윅의_정리|윅의 정리]]를 사용하는 것이다: |
\begin{eqnarray*} | \begin{eqnarray*} | ||
&& \left< (\sigma' | && \left< (\sigma' | ||
Line 391: | Line 391: | ||
이며, $O(\epsilon^0)$에서 | 이며, $O(\epsilon^0)$에서 | ||
$$\int d^dr G(r) = 0$$ | $$\int d^dr G(r) = 0$$ | ||
- | 임을 확인할 수 있다. | + | 임을 확인할 수 있다. |
+ | \begin{eqnarray*} | ||
+ | \frac{1}{2} \left< \left( H_1 - \left< | ||
+ | & | ||
+ | &&+ \frac{1}{8} {\sigma' | ||
+ | &&+ \frac{1}{4} {\sigma' | ||
+ | &&+ \frac{1}{16} {\sigma' | ||
+ | &&+ \left. \frac{1}{4} {\sigma' | ||
+ | \end{eqnarray*} | ||
+ | 이를 정리하면, | ||
+ | $$\frac{1}{2} \left< \left( H_1 - \left< | ||
+ | \approx \mbox{const.} -\frac{1}{2} \int d^dx \left[ {\sigma' | ||
+ | 이며 이 때에 | ||
+ | \begin{eqnarray*} | ||
+ | u^2D &=& -u^2 \int d^dr \left[ \frac{1}{4} {\sigma' | ||
+ | \Delta u &=& -u^2 \int d^dr \left( \frac{n+4}{2} +2 \right) G^2(r) | ||
+ | \end{eqnarray*} | ||
+ | 이다. | ||
+ | |||
+ | 앞에서 구한 $G$의 구체적인 형태로부터 다음의 내용도 계산으로 확인할 수 있다: | ||
+ | $$\int d^4r ~G^2(r) = K_4 ~c^{-2} ~\ln s.$$ | ||
+ | |||
+ | =====새로운 고정점===== | ||
+ | 이제껏 $O(\epsilon^2)$까지 계산한 결과, | ||
+ | \begin{eqnarray*} | ||
+ | u' &=& s^\epsilon (u+\Delta u) = s^\epsilon \left[u - u^2 \frac{n+8}{2c^2} K_4~\ln s \right]\\ | ||
+ | & | ||
+ | & | ||
+ | \end{eqnarray*} | ||
+ | 이다. 고정점에서 $u' | ||
+ | $$u^\ast = \epsilon \frac{2 c^2}{(n+8) K_4}$$ | ||
+ | 인 새로운 고정점이 나타났음을 볼 수 있다. 우리가 애초에 가정했던 것처럼 $u^\ast \sim O(\epsilon)$이다. | ||
+ | |||
+ | $r_0$의 경우 [[물리: | ||
+ | \begin{eqnarray*} | ||
+ | r_0' & | ||
+ | &=& s^2 \left[ r_0 + \frac{u}{c} \left( \frac{n}{2}+1 \right) \frac{\Lambda^2}{2} K_4 (1-s^{-2}) + uC\epsilon - r_0 \frac{u}{c^2} K_4 ~\ln s - u^2D \right] | ||
+ | \end{eqnarray*} | ||
+ | 새로운 고정점에 대응되는 $r_0^\ast$를 $O(\epsilon)$에서 찾으면, 바로 위의 우변에서 첫 두 항의 합을 0으로 만드는 값이어서 | ||
+ | $$r_0^\ast = -\frac{u^\ast}{c} \left( \frac{n}{2} +1 \right) \frac{\Lambda^2}{2} K_4 (1-s^{-2}) \approx | ||
+ | - \epsilon \left( \frac{n+2}{n+8} \right) \frac{\Lambda^2 c}{2}$$ | ||
+ | 이며 이 때 $s^{-2} \ll 1$로 가정했다. | ||
+ | |||
+ | ====$d< | ||
+ | |||
+ | 이 새로운 고정점 주위에서 $\delta r_0 \equiv r_0 - r_0^\ast$와 $\delta u \equiv u - u^\ast$가 어떻게 변화하는지 선형근사를 통해 적어보자. | ||
+ | \begin{eqnarray*} | ||
+ | \left. \frac{\partial r_0' | ||
+ | & | ||
+ | &=& s^2 \left( 1 - \epsilon \frac{n+2}{n+8} \ln s \right)\\ | ||
+ | & | ||
+ | \end{eqnarray*} | ||
+ | 이 때 $y_1 \equiv 2 - \frac{n+2}{n+8} \epsilon$으로 정의한다. | ||
+ | |||
+ | 마찬가지로, | ||
+ | \begin{eqnarray*} | ||
+ | \left. \frac{\partial u' | ||
+ | & | ||
+ | &=& s^\epsilon ( 1-2\epsilon \ln s)\\ | ||
+ | & | ||
+ | \end{eqnarray*} | ||
+ | 으로서, $y_2 \equiv -\epsilon$으로 놓는다. | ||
+ | |||
+ | 교차항들을 보면, 먼저 $$\frac{\partial u' | ||
+ | \begin{eqnarray*} | ||
+ | \left. \frac{\partial r_0' | ||
+ | &=& \left( \frac{n}{2}+1 \right) \frac{\Lambda^2}{2c} K_4 (s^2-1) + O(\epsilon)\\ | ||
+ | &=& B \left( s^{y_1} - s^{y_2} \right) + O(\epsilon) | ||
+ | \end{eqnarray*} | ||
+ | 이며 $B \equiv \left( \frac{n}{2}+1 \right) \frac{\Lambda^2}{2c} K_4$이다. 곧 확인할 수 있다시피, | ||
+ | |||
+ | 이제 위의 결과들을 모아 새로운 고정점 주위에서 [[물리: | ||
+ | $$\begin{pmatrix} | ||
+ | \delta r_0' \\ \delta u' | ||
+ | \end{pmatrix} | ||
+ | = \begin{pmatrix} | ||
+ | s^{y_1} & B(s^{y_1} - s^{y_2})\\ | ||
+ | 0 & s^{y_2} | ||
+ | \end{pmatrix} | ||
+ | \begin{pmatrix} | ||
+ | \delta r_0 \\ \delta u | ||
+ | \end{pmatrix}$$ | ||
+ | 이 행렬의 고유값을 구함으로써 임계지수를 $O(\epsilon)$에서 계산할 수 있다. | ||
+ | \begin{eqnarray*} | ||
+ | \nu & | ||
+ | \alpha &=& 2 - \nu d \approx 2 - \left[ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \left( \frac{n+2}{n+8} \right) \epsilon \right] (4-\epsilon) \approx \frac{4-n}{2(n+8)} \epsilon\\ | ||
+ | \eta &=& 0\\ | ||
+ | \beta &=& \frac{1}{2} \nu (d-2-\eta) \approx \left[ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \left( \frac{n+2}{n+8} \right) \epsilon \right] (4-\epsilon-2) \approx \frac{1}{2} - \frac{3}{2(n+8)} \epsilon\\ | ||
+ | \gamma &=& \nu(2-\eta) \approx 1 + \frac{1}{2} \left( \frac{n+2}{n+8} \right) \epsilon\\ | ||
+ | \delta &=& \frac{d+2-\eta}{d-2+\eta} \approx \frac{4-\epsilon+2}{4-\epsilon-2} \approx 3+\epsilon | ||
+ | \end{eqnarray*} | ||
+ | |||
+ | 무모하게 보이지만 놀랍게도 이런 방식으로 저차원 모형의 결과를 예측할 수 있다. 3차원 이징 모형은 $\epsilon=1$, | ||
+ | |||
+ | ^ 임계지수 ^ $O(\epsilon)$ ^ $O(\epsilon^5)$ ^ Direct RG ^ 고온 전개 ^ | ||
+ | |$\nu$ | 0.58 | 0.630 | 0.630 | 0.633 | | ||
+ | |$\eta$| 0 | 0.037 | 0.031 | 0.042 | | ||
+ | |||
+ | 2차원 이징 모형의 경우에도 비슷한 경향을 보인다. | ||
+ | |||
+ | ^ 임계지수 ^ $O(\epsilon)$ ^ $O(\epsilon^5)$ ^ 정확한 값 ^ | ||
+ | |$\nu$ | 0.67 | 0.99 | 1 | | ||
+ | |$\eta$| 0 | 0.26 | 0.25| | ||
+ | |||
+ | ======참고문헌====== | ||
+ | * Shang-Keng Ma, //Modern Theory of Critical Phenomena// (Westview Press, 1976, 2000). | ||
+ | * John Cardy, //Scaling and Renormalization in Statistical Physics// (Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1996). |