물리:입실론_전개

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물리:입실론_전개 [2018/05/13 23:40] – [새로운 고정점] admin물리:입실론_전개 [2023/09/05 15:46] (current) – external edit 127.0.0.1
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 \end{eqnarray*} \end{eqnarray*}
  
-[[배규호:wick의 정리|윅의 정리]]를 사용하면 6점 상관함수는 2점 상관함수들 곱의 조합으로 분해될 수 있어서 다음처럼 정리된다:+[[수학:윅의_정리|윅의 정리]]를 사용하면 6점 상관함수는 2점 상관함수들 곱의 조합으로 분해될 수 있어서 다음처럼 정리된다:
 \begin{eqnarray*} \begin{eqnarray*}
 &&\sum_{ijkl} \left< \phi_i^2(x) \phi_j^2(x) \phi_k(y) \phi_l(y) \right> \sigma'_k(y) \sigma_l'(y)\\ &&\sum_{ijkl} \left< \phi_i^2(x) \phi_j^2(x) \phi_k(y) \phi_l(y) \right> \sigma'_k(y) \sigma_l'(y)\\
Line 312: Line 312:
  
 ===4번 항=== ===4번 항===
-마지막 항은 여섯 개 변수에 대해 [[배규호:Wick의 정리|윅의 정리]]를 사용하는 것이다:+마지막 항은 여섯 개 변수에 대해 [[수학:윅의_정리|윅의 정리]]를 사용하는 것이다:
 \begin{eqnarray*} \begin{eqnarray*}
 && \left< (\sigma'_x \cdot \phi_x) (\sigma'_y \cdot \phi_y) \phi_x^2 \phi_y^2 \right>\\ && \left< (\sigma'_x \cdot \phi_x) (\sigma'_y \cdot \phi_y) \phi_x^2 \phi_y^2 \right>\\
Line 413: Line 413:
 $$\int d^4r ~G^2(r) = K_4 ~c^{-2} ~\ln s.$$ $$\int d^4r ~G^2(r) = K_4 ~c^{-2} ~\ln s.$$
  
-====새로운 고정점====+=====새로운 고정점=====
 이제껏 $O(\epsilon^2)$까지 계산한 결과, 이제껏 $O(\epsilon^2)$까지 계산한 결과,
 \begin{eqnarray*} \begin{eqnarray*}
Line 433: Line 433:
 - \epsilon \left( \frac{n+2}{n+8} \right) \frac{\Lambda^2 c}{2}$$ - \epsilon \left( \frac{n+2}{n+8} \right) \frac{\Lambda^2 c}{2}$$
 이며 이 때 $s^{-2} \ll 1$로 가정했다. 이며 이 때 $s^{-2} \ll 1$로 가정했다.
 +
 +====$d<4$의 임계거동====
 +
 +이 새로운 고정점 주위에서 $\delta r_0 \equiv r_0 - r_0^\ast$와 $\delta u \equiv u - u^\ast$가 어떻게 변화하는지 선형근사를 통해 적어보자.
 +\begin{eqnarray*}
 +\left. \frac{\partial r_0'}{\partial r_0} \right|_{r_0^\ast,u^\ast} &\approx& \left[ s^2 - s^2 \frac{u}{c^2} \left( \frac{n}{2}+1 \right) K_4~ \ln s \right]_{r_0^\ast,u^\ast}\\
 +&\approx& s^2 - s^2 \frac{1}{c^2} \left[ \epsilon \frac{2c^2}{(n+8) K_4} \right] \frac{n+2}{2} K_4 ~\ln s\\
 +&=& s^2 \left( 1 - \epsilon \frac{n+2}{n+8} \ln s \right)\\
 +&\approx& s^2 s^{-\frac{n+2}{n+8}\epsilon} = s^{y_1}.
 +\end{eqnarray*}
 +이 때 $y_1 \equiv 2 - \frac{n+2}{n+8} \epsilon$으로 정의한다.
 +
 +마찬가지로,
 +\begin{eqnarray*}
 +\left. \frac{\partial u'}{\partial u} \right|_{r_0^\ast,u^\ast} &\approx& \left[ s^\epsilon - s^\epsilon u \frac{n+8}{c^2} K_4 ~\ln s \right]_{r_0^\ast,u^\ast}\\
 +&\approx& s^\epsilon \left( 1-\epsilon \frac{2 c^2}{(n+8)K_4} \frac{n+8}{c^2} K_4 ~\ln s \right)\\
 +&=& s^\epsilon ( 1-2\epsilon \ln s)\\
 +&\approx& s^\epsilon s^{-2\epsilon} = s^{y_2}
 +\end{eqnarray*}
 +으로서, $y_2 \equiv -\epsilon$으로 놓는다.
 +
 +교차항들을 보면, 먼저 $$\frac{\partial u'}{\partial r_0} = 0$$이고
 +\begin{eqnarray*}
 +\left. \frac{\partial r_0'}{\partial u} \right|_{r_0^\ast,u^\ast} &\approx& s^2 \left[ \frac{1}{c} \left(\frac{n}{2}+1 \right) \frac{\Lambda^2}{2} K_4 (1-s^{-2}) + C\epsilon - r_0^\ast \frac{1}{c^2} \left(\frac{n}{2}+1\right) K_4 \ln s - 2u^\ast D \right]\\
 +&=& \left( \frac{n}{2}+1 \right) \frac{\Lambda^2}{2c} K_4 (s^2-1) + O(\epsilon)\\
 +&=& B \left( s^{y_1} - s^{y_2} \right) + O(\epsilon)
 +\end{eqnarray*}
 +이며 $B \equiv \left( \frac{n}{2}+1 \right) \frac{\Lambda^2}{2c} K_4$이다. 곧 확인할 수 있다시피, 사실 여기에서 $O(\epsilon)$의 항들을 공들여 구하지 않더라도 임계거동을 보는 데에는 지장이 없는데, $\frac{\partial u'}{\partial r_0} = 0$이기 때문이다.
 +
 +이제 위의 결과들을 모아 새로운 고정점 주위에서 [[물리:재규격화]]를 선형 방정식으로 적어보면 다음과 같다.
 +$$\begin{pmatrix}
 +\delta r_0' \\ \delta u'
 +\end{pmatrix}
 += \begin{pmatrix}
 +s^{y_1} & B(s^{y_1} - s^{y_2})\\
 +0 & s^{y_2}
 +\end{pmatrix}
 +\begin{pmatrix}
 +\delta r_0 \\ \delta u
 +\end{pmatrix}$$
 +이 행렬의 고유값을 구함으로써 임계지수를 $O(\epsilon)$에서 계산할 수 있다.
 +\begin{eqnarray*}
 +\nu &\approx& \left( 2 - \frac{n+2}{n+8} \epsilon \right)^{-1} \approx \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \left( \frac{n+2}{n+8} \right) \epsilon\\
 +\alpha &=& 2 - \nu d \approx 2 - \left[ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \left( \frac{n+2}{n+8} \right) \epsilon \right] (4-\epsilon) \approx \frac{4-n}{2(n+8)} \epsilon\\
 +\eta &=& 0\\
 +\beta &=& \frac{1}{2} \nu (d-2-\eta) \approx \left[ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \left( \frac{n+2}{n+8} \right) \epsilon \right] (4-\epsilon-2) \approx \frac{1}{2} - \frac{3}{2(n+8)} \epsilon\\
 +\gamma &=& \nu(2-\eta) \approx 1 + \frac{1}{2} \left( \frac{n+2}{n+8} \right) \epsilon\\
 +\delta &=& \frac{d+2-\eta}{d-2+\eta} \approx \frac{4-\epsilon+2}{4-\epsilon-2} \approx 3+\epsilon
 +\end{eqnarray*}
 +
 +무모하게 보이지만 놀랍게도 이런 방식으로 저차원 모형의 결과를 예측할 수 있다. 3차원 이징 모형은 $\epsilon=1$, $n=1$인 경우인데 $\epsilon$의 차수를 높여가며 계산하면 다른 계산방법들과 일치하는 값으로 수렴한다. 세 번째 열은 5차항까지 더한 결과이다.
 +
 +^ 임계지수 ^ $O(\epsilon)$ ^ $O(\epsilon^5)$ ^ Direct RG ^ 고온 전개 ^
 +|$\nu$ | 0.58 | 0.630 | 0.630 | 0.633 |
 +|$\eta$| 0    | 0.037 | 0.031 | 0.042 |
 +
 +2차원 이징 모형의 경우에도 비슷한 경향을 보인다.
 +
 +^ 임계지수 ^ $O(\epsilon)$ ^ $O(\epsilon^5)$ ^ 정확한 값 ^
 +|$\nu$ | 0.67 | 0.99 | 1   |
 +|$\eta$| 0   | 0.26  | 0.25|
 +
 +
 +
 +======참고문헌======
 +  * Shang-Keng Ma, //Modern Theory of Critical Phenomena// (Westview Press, 1976, 2000).
 +  * John Cardy, //Scaling and Renormalization in Statistical Physics// (Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1996).
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  • Last modified: 2023/09/05 15:46
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