물리:입실론_전개

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물리:입실론_전개 [2018/05/14 17:47] – [새로운 고정점에 따른 임계거동] admin물리:입실론_전개 [2023/09/05 15:46] (current) – external edit 127.0.0.1
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 \end{eqnarray*} \end{eqnarray*}
  
-[[배규호:wick의 정리|윅의 정리]]를 사용하면 6점 상관함수는 2점 상관함수들 곱의 조합으로 분해될 수 있어서 다음처럼 정리된다:+[[수학:윅의_정리|윅의 정리]]를 사용하면 6점 상관함수는 2점 상관함수들 곱의 조합으로 분해될 수 있어서 다음처럼 정리된다:
 \begin{eqnarray*} \begin{eqnarray*}
 &&\sum_{ijkl} \left< \phi_i^2(x) \phi_j^2(x) \phi_k(y) \phi_l(y) \right> \sigma'_k(y) \sigma_l'(y)\\ &&\sum_{ijkl} \left< \phi_i^2(x) \phi_j^2(x) \phi_k(y) \phi_l(y) \right> \sigma'_k(y) \sigma_l'(y)\\
Line 312: Line 312:
  
 ===4번 항=== ===4번 항===
-마지막 항은 여섯 개 변수에 대해 [[배규호:Wick의 정리|윅의 정리]]를 사용하는 것이다:+마지막 항은 여섯 개 변수에 대해 [[수학:윅의_정리|윅의 정리]]를 사용하는 것이다:
 \begin{eqnarray*} \begin{eqnarray*}
 && \left< (\sigma'_x \cdot \phi_x) (\sigma'_y \cdot \phi_y) \phi_x^2 \phi_y^2 \right>\\ && \left< (\sigma'_x \cdot \phi_x) (\sigma'_y \cdot \phi_y) \phi_x^2 \phi_y^2 \right>\\
Line 413: Line 413:
 $$\int d^4r ~G^2(r) = K_4 ~c^{-2} ~\ln s.$$ $$\int d^4r ~G^2(r) = K_4 ~c^{-2} ~\ln s.$$
  
-====새로운 고정점====+=====새로운 고정점=====
 이제껏 $O(\epsilon^2)$까지 계산한 결과, 이제껏 $O(\epsilon^2)$까지 계산한 결과,
 \begin{eqnarray*} \begin{eqnarray*}
Line 434: Line 434:
 이며 이 때 $s^{-2} \ll 1$로 가정했다. 이며 이 때 $s^{-2} \ll 1$로 가정했다.
  
-====새로운 고정점에 따른 임계거동====+====$d<4$의 임계거동====
  
 이 새로운 고정점 주위에서 $\delta r_0 \equiv r_0 - r_0^\ast$와 $\delta u \equiv u - u^\ast$가 어떻게 변화하는지 선형근사를 통해 적어보자. 이 새로운 고정점 주위에서 $\delta r_0 \equiv r_0 - r_0^\ast$와 $\delta u \equiv u - u^\ast$가 어떻게 변화하는지 선형근사를 통해 적어보자.
Line 475: Line 475:
 이 행렬의 고유값을 구함으로써 임계지수를 $O(\epsilon)$에서 계산할 수 있다. 이 행렬의 고유값을 구함으로써 임계지수를 $O(\epsilon)$에서 계산할 수 있다.
 \begin{eqnarray*} \begin{eqnarray*}
-\nu &=& \left( 2 - \frac{n+2}{n+8} \epsilon \right)^{-1} \approx \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \left( \frac{n+2}{n+8} \right) \epsilon\\ +\nu &\approx& \left( 2 - \frac{n+2}{n+8} \epsilon \right)^{-1} \approx \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \left( \frac{n+2}{n+8} \right) \epsilon\\ 
-\alpha &=& 2 - \nu d = 2 - \left[ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \left( \frac{n+2}{n+8} \right) \epsilon \right] (4-\epsilon) \approx \frac{4-n}{2(n+8)} \epsilon+\alpha &=& 2 - \nu d \approx 2 - \left[ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \left( \frac{n+2}{n+8} \right) \epsilon \right] (4-\epsilon) \approx \frac{4-n}{2(n+8)} \epsilon\\ 
 +\eta &=& 0\\ 
 +\beta &=& \frac{1}{2} \nu (d-2-\eta) \approx \left[ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \left( \frac{n+2}{n+8} \right) \epsilon \right] (4-\epsilon-2) \approx \frac{1}{2} - \frac{3}{2(n+8)} \epsilon\\ 
 +\gamma &=& \nu(2-\eta) \approx 1 + \frac{1}{2} \left( \frac{n+2}{n+8} \right) \epsilon\\ 
 +\delta &=& \frac{d+2-\eta}{d-2+\eta} \approx \frac{4-\epsilon+2}{4-\epsilon-2} \approx 3+\epsilon
 \end{eqnarray*} \end{eqnarray*}
 +
 +무모하게 보이지만 놀랍게도 이런 방식으로 저차원 모형의 결과를 예측할 수 있다. 3차원 이징 모형은 $\epsilon=1$, $n=1$인 경우인데 $\epsilon$의 차수를 높여가며 계산하면 다른 계산방법들과 일치하는 값으로 수렴한다. 세 번째 열은 5차항까지 더한 결과이다.
 +
 +^ 임계지수 ^ $O(\epsilon)$ ^ $O(\epsilon^5)$ ^ Direct RG ^ 고온 전개 ^
 +|$\nu$ | 0.58 | 0.630 | 0.630 | 0.633 |
 +|$\eta$| 0    | 0.037 | 0.031 | 0.042 |
 +
 +2차원 이징 모형의 경우에도 비슷한 경향을 보인다.
 +
 +^ 임계지수 ^ $O(\epsilon)$ ^ $O(\epsilon^5)$ ^ 정확한 값 ^
 +|$\nu$ | 0.67 | 0.99 | 1   |
 +|$\eta$| 0   | 0.26  | 0.25|
 +
  
  
 ======참고문헌====== ======참고문헌======
   * Shang-Keng Ma, //Modern Theory of Critical Phenomena// (Westview Press, 1976, 2000).   * Shang-Keng Ma, //Modern Theory of Critical Phenomena// (Westview Press, 1976, 2000).
 +  * John Cardy, //Scaling and Renormalization in Statistical Physics// (Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1996).
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